FANDOM


Teorema lui Bolzano-Weierstrass. Dacă şirul de numere reale $ (a_n) \! $ este mărginit, atunci conţine un subşir convergent.

Demonstraţie. Fie $ S_N = \{ a_n \; | \; n>N \}. \! $

Dacă fiecare mulţime $ S_N \! $ are un cel mai mare element, atunci considerăm următorul subşir al şirului $ (a_n) \! $:

$ b_1=a_{n_1} = \max S_1; \; b_2=a_{n_2}=\max S_n; \; b_3=a_{n_3}=\max S_{n_2}; \; \cdots \! $

Şirul $ (b_n) \! $ este un subşir al şirului $ (a_n) \! $ şi este descrescător. Deoarece $ (a_n) \! $ este mărginit, şirul $ (b_n) \! $ este şi el mărginit. Rezultă că astfel şirul $ (b_n) \! $ este convergent. Dacă pentru un M, $ S_M \! $ nu are un cel mai mare element atunci pentru orice $ (a_m) \! $ cu $ m>M \! $ există $ a_n \! $ cu $ n>m \! $ şi $ a_n>a_m. \! $ Fie $ c_1 = a_{M+1} \! $ şi $ c_2 \! $ primul termen al şirului $ a_n \! $ după $ c_1= a_{M+1} \! $ care are proprietatea $ c_2>c_1. \! $ În continuare fie $ c_3 \! $ primul termen al şirului $ a_n \! $ după $ c_2 \! $ care verifică $ c_3> c_2 \! $ şi aşa mai departe. Se obţine în acest fel un subşir $ (c_n) \! $ al şirului $ (a_n); \! $ care este monoton crescător. Deoarece $ (c_n) \! $ este mărginit, este convergent. QED.

Intuitiv este clar că dacă $ a_n \underset {n \to \infty}{\rightarrow} L \! $ atunci termenii şirului care au rang mare diferă puţin de L şi deci şi unul de celălalt. Mai exact avem:

TEOREMĂ: Criteriul Cauchy de convergenţă al unui şir de numere reale. Un şir $ (a_n) \! $ de numere reale este convergent dacă şi numai dacă pentru orice $ \epsilon >0 \! $ există $ N=N(\epsilon) \! $ astfel încât să avem:

$ |a_p-a_q|< \epsilon, \; \forall p, q > N(\epsilon) \! $

Demonstraţie. Presupunem că şirul $ (a_n) \! $ converge la L şi considerăm un număr $ \epsilon >0. \! $ Există $ N=N(\epsilon) \! $ astfel încât $ |a_n-L|< \frac {\epsilon}{2} \! $ pentru orice $ n>N(\epsilon). \! $ Prin urmare: $ |a_p-L|< \frac{\epsilon}{2} \! $ şi $ |a_q-L|< \frac{\epsilon}{2}, \; \forall p, q > N(\epsilon) \! $ şi rezultă că:

$ |a_p-a_q| \le |a_p-L|+ |a_q-L| < \epsilon, \; \forall p, q > N(\epsilon). \! $

$ \! $

Presupunem acum că pentru orice $ \epsilon >0 \! $ există $ N=N(\epsilon) \! $ astfel încât $ |a_p-a_q|< \epsilon, \; \forall p, q > N(\epsilon). \! $ Pentru $ \epsilon =1 \! $ şi $ N_1 = N(1) \! $ ales astfel încât $ |a_p-a_q|<1, \; \forall p, q > N_1, \! $ avem:

$ |a_n|= |a_n-a_{N_1+1}+ a_{N_1+1}| \le |a_n-a_{N_1+1}| + |a_{N_1+1}| \le 1+ |a_{N_1+1}|, \; \forall n \ge N_1+1 \! $

şi deci:

$ |a_n| \le \max \{ |a_1|, |a_2|, \cdots , |a_{N_1}|, |a_{N_1+1}| +1 \}= M, \forall n. \! $

Cu alte cuvinte şirul $ (a_n) \! $ este mărginit.

Conform teoremei Bolzano-Weierstrass, şirul $ (a_n) \! $ conţine un subşir $ (a_{n_k}) \! $ convergent. Fie $ L=\lim_{n_k \to \infty} a_{n_k} \! $ şi $ \epsilon \! $ un număr real pozitiv. Există $ N_1 = N_1(\epsilon) \! $ astfel încât $ |a_{n_k} -L|< \frac {\epsilon}{2}, \; \forall n_k> N_1 \! $ şi există $ N_2 = N_2(\epsilon) \! $ astfel încât $ |a_p-a_q|<\frac {\epsilon}{2}, \; \forall p, q > N_2. \! $ De aici rezultă că pentru orice $ n>N_3= \max \{ N_1, N_2 \} \! $ avem:

$ |a_n -L| \le |a_n - a_{n_k}| + |a_{n_k}-L| <\frac {\epsilon}{2} +\frac {\epsilon}{2}= \epsilon. \! $

unde $ n_k \! $ este ales astfel încât $ n_k> N_3. \! $

Resurse Edit