Fandom

Math Wiki

Teorema Bolzano–Weierstrass

1.029pages on
this wiki
Add New Page
Comment1 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Teorema lui Bolzano-Weierstrass. Dacă şirul de numere reale (a_n) \! este mărginit, atunci conţine un subşir convergent.

Demonstraţie. Fie S_N = \{ a_n \; | \; n>N \}. \!

Dacă fiecare mulţime S_N \! are un cel mai mare element, atunci considerăm următorul subşir al şirului (a_n) \!:

b_1=a_{n_1} = \max S_1; \; b_2=a_{n_2}=\max S_n; \; b_3=a_{n_3}=\max S_{n_2}; \; \cdots \!

Şirul (b_n) \! este un subşir al şirului (a_n) \! şi este descrescător. Deoarece (a_n) \! este mărginit, şirul (b_n) \! este şi el mărginit. Rezultă că astfel şirul (b_n) \! este convergent. Dacă pentru un M, S_M \! nu are un cel mai mare element atunci pentru orice (a_m) \! cu m>M \! există a_n \! cu n>m \! şi a_n>a_m. \! Fie c_1 = a_{M+1} \! şi c_2 \! primul termen al şirului a_n \! după c_1= a_{M+1} \! care are proprietatea c_2>c_1. \! În continuare fie c_3 \! primul termen al şirului a_n \! după c_2 \! care verifică c_3> c_2 \! şi aşa mai departe. Se obţine în acest fel un subşir (c_n) \! al şirului (a_n); \! care este monoton crescător. Deoarece (c_n) \! este mărginit, este convergent. QED.

Intuitiv este clar că dacă a_n \underset {n \to \infty}{\rightarrow} L \! atunci termenii şirului care au rang mare diferă puţin de L şi deci şi unul de celălalt. Mai exact avem:

TEOREMĂ: Criteriul Cauchy de convergenţă al unui şir de numere reale. Un şir (a_n) \! de numere reale este convergent dacă şi numai dacă pentru orice \epsilon >0 \! există N=N(\epsilon) \! astfel încât să avem:

|a_p-a_q|< \epsilon, \; \forall p, q > N(\epsilon) \!

Demonstraţie. Presupunem că şirul (a_n) \! converge la L şi considerăm un număr \epsilon >0. \! Există N=N(\epsilon) \! astfel încât |a_n-L|< \frac {\epsilon}{2} \! pentru orice n>N(\epsilon). \! Prin urmare: |a_p-L|< \frac{\epsilon}{2} \! şi |a_q-L|< \frac{\epsilon}{2}, \; \forall p, q > N(\epsilon) \! şi rezultă că:

|a_p-a_q| \le |a_p-L|+ |a_q-L| < \epsilon, \; \forall p, q > N(\epsilon). \!

 \!

Presupunem acum că pentru orice \epsilon >0 \! există N=N(\epsilon) \! astfel încât |a_p-a_q|< \epsilon, \; \forall p, q > N(\epsilon). \! Pentru \epsilon =1 \! şi N_1 = N(1) \! ales astfel încât |a_p-a_q|<1, \; \forall p, q > N_1, \! avem:

|a_n|= |a_n-a_{N_1+1}+ a_{N_1+1}| \le |a_n-a_{N_1+1}| + |a_{N_1+1}| \le 1+ |a_{N_1+1}|, \; \forall n \ge N_1+1 \!

şi deci:

|a_n| \le \max \{ |a_1|, |a_2|, \cdots , |a_{N_1}|, |a_{N_1+1}| +1 \}= M, \forall n. \!

Cu alte cuvinte şirul (a_n) \! este mărginit.

Conform teoremei Bolzano-Weierstrass, şirul (a_n) \! conţine un subşir (a_{n_k}) \! convergent. Fie L=\lim_{n_k \to \infty} a_{n_k} \! şi \epsilon \! un număr real pozitiv. Există N_1 = N_1(\epsilon) \! astfel încât |a_{n_k} -L|< \frac {\epsilon}{2}, \; \forall n_k> N_1 \! şi există N_2 = N_2(\epsilon) \! astfel încât |a_p-a_q|<\frac {\epsilon}{2}, \; \forall p, q > N_2. \! De aici rezultă că pentru orice n>N_3= \max \{ N_1, N_2 \} \! avem:

|a_n -L| \le |a_n - a_{n_k}| + |a_{n_k}-L| <\frac {\epsilon}{2} +\frac {\epsilon}{2}= \epsilon.  \!

unde n_k \! este ales astfel încât n_k> N_3. \!

Resurse Edit

Also on Fandom

Random Wiki