Fandom

Math Wiki

Tangentă la o curbă

1.029pages on
this wiki
Add New Page
Comments0 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Tangenta la curba.png

Generalităţi Edit

Definiţia 1: Se numeşte tangentă la curba \Gamma \! în punctul M poziţia limită a dreptei determinată de punctele M şi M1 de pe curbă când punctul M1 tinde către M (dacă acea limită există).

Teoremă: Dacă funcţiile x, y, z sunt derivabile şi

x'^2 (t) + y'^2 (t) + z'^2 (t) \ne 0

atunci ecuaţia tangentei la curbă este (coordonatele unui punct de pe tangentă fiind notate X, Y, Z):

\frac {X - x (t)}{x' (t)} = \frac {Y - y (t)}{y' (t)} = \frac {Z - z (t)}{z' (t)}   (ETPS)
Demonstraţie: Conform definiţiei derivatei unui vector şi a tangentei, dacă T aparţine tangentei (vezi figura precedentă) atunci vectorii \overrightarrow {MT} şi \vec {r'} (t) sunt coliniari, deci coordonatele lor sunt proporţionale şi rezultă ecuaţia (ETPS).

Tangenta la o curbă plană Edit

Definiţia 2. Un punct M (\vec r (t)) \in \Gamma, \! corespunzător valorii t \in I, \! se numeşte punct regulat al curbei dacă satisface condiţia \dot {\vec r} \neq 0. \!


Observaţie O curbă se zice regulată dacă toate punctele sale sunt regulate.


Fie M (\vec r (t)) \! un punct regulat al curbei \Gamma \! şi \vec r(t) = \vec {OM} \! vectorul de poziţie al punctului M în reperul \mathcal R^O_a = \{ O; \vec i; \vec j \}, \! iar M'(\vec r (t+h)) \! un alt punct de pe curbă. Dreapta determinată de punctele M \! şi M' \! este o secantă pentru \Gamma. \!

Definirea tangentei unei curbe plane.png

Definiţia 3. Tangenta la \Gamma \! în punctul M este dreapta obţinută ca limită a poziţiilor secantelor D (M, M') \! când cel de-al doilea punct M' \! tinde spre primul punct M \! pe \Gamma : \!

\mathbf T_M (\Gamma) = \lim_{h \to 0} D (M, M') \!

i.e. dreapta \mathbf T_M (\Gamma) \! va intersecta curba în două puncte confundate.


Deoarece \vec {MM'} = \vec r (t+h) - \vec r (t) \! este vector director al secantei D (M, M'), \! prin amplificare cu \frac 1 h \! obţinem că \frac {\vec r (t+h) \vec r (t)}{h} \! este tot vector director al secantei D (M, M'). \! Trecând la limită, deducem că vectorul:

\lim_{h \to 0} \frac {\vec r (t+h) \vec r (t)}{h} = \dot {\vec r} (t). \!

este vector director al tangentei \mathbf T_M (\Gamma). \!


Scriem în continuare diferite reprezentări pentru ecuaţiile tangentei la curba \Gamma \! într-un punct regulat M_0 (\dot {\vec r}(t_0) \neq 0) \! al curbei:


  • Ecuaţia vectorială: \mathbf T_{M_0} (\Gamma): \; \vec R = \vec r (t_0) + \lambda \dot {\vec r} (t_0), \; \; \lambda \in \mathbb R \!
  • Ecuaţiile parametrice: \mathbf T_{M_0} (\Gamma): \; \begin{cases} X=x(t_0) + \lambda \dot x (t_0) \\ Y=y(t_0) + \lambda \dot y (t_0) \end{cases} \; \; \lambda \in \mathbb R \!
  • Ecuaţia carteziană: \mathbf T_{M_0} (\Gamma): \; \frac{X-x(t_0)}{\dot x(t_0) } = \frac{Y-y(t_0)}{\dot y(t_0)} \!

sau Y-y(t_0) = k_T [X-x(t_0)] \! unde k_T = \frac {\dot y (t_0)}{\dot x (t_0)} \! este panta tangentei.


Observaţie. Panta k_T \! a tangentei \mathbf T_{M_0} (\Gamma) \! se mai poate exprima astfel:

  • dacă curba \Gamma \! este dată prin ecuaţia carteziană implicită F(x, y) =0, \! atunci:
k_{\Gamma} = -\frac{F'_x(x_0, y_0)}{F'_y(x_0, y_0)}; \!
  • dacă curba \Gamma \! este dată prin ecuaţia carateziană implicită y=y(x), \! atunci: k_{T}=\dot y(x_0). \!


Exemplu: Fie o curbă dată prin ecuaţia vectorială:

\vec r (t)= (t-1)\vec i + (t^2+2) \vec j \!

Ecuaţiile tangentei la curbă în punctul M(t=1) \! (adică M(0, 3) \!) sunt:

  • Ecuaţia vectorială: \vec R=\vec r (t)+\lambda \dot \vec r (t) \; \Leftrightarrow \; \vec R=(t-1+ \lambda ) \vec i +(t^2+2+2 \lambda t) \vec j \! Deoarece t=1 \! pentru punctul M, \! obţinem: \vec R=\lambda \vec i +(3+2 \lambda ) \vec j \!
  • Ecuaţiile parametrice: \begin{cases} X=\lambda \\ Y=3+2 \lambda \end{cases} \!
  • Eliminând \lambda, \! obţinem ecuaţia carteziană: Y=3+2X. \!


Definiţia 4. Dreapta normală la curba \Gamma \! în punctul M_0, \! notată N_{M_0}(\Gamma) \! este dreapta ortogonală în punctul M_0 \! pe tangenta T_{M_0}(\Gamma) \! la curbă în acel punct.


Ecuaţia normalei la curba \Gamma \! în punctul M_0 \! se scrie punând condiţiile de perpendicularitate între tangentă şi normală: produsul dintre pantele celor două drepte să fie egal cu -1. De aici, deducem că panta normalei N_{M_0}(\Gamma) \! este k_N=-\frac{\dot x(t_0)}{\dot y(t_0)}. \! Ecuaţia carteziană a normalei este deci:

N_{M_0}(\Gamma): \; Y-y(t_0) =k_N [X-x(t_0)]. \!

Tangenta la o curbă în spaţiu Edit

Fie \Gamma: \; \vec r= \vec r(t), \! o curbă spaţială, M_0= \vec r (t_0) \in \Gamma, \! şi dreapta tangentă la curba \Gamma \! în punctul M_0 \! definită ca în cazul curbelor plane (vezi Definiţia 3).


Reprezentările tangentei la o curbă spaţială în punctul M_0 \! se obţin la fel ca şi în cazul curbelor plane:

  • ecuaţia vectorială:
T_{M_0} (\Gamma): \; \vec R = \vec r(t_0)+ \lambda \dot \vec r(t_0), \; \lambda \in \mathbb R \!
  • ecuaţiile parametrice:
T_{M_0} (\Gamma) : \; \begin{cases} X=x(t_0) + \lambda \dot x(t_0)  \\ Y=y(t_0) + \lambda \dot y(t_0)  \\ Z=z(t_0) + \lambda \dot z(t_0)  \end{cases}, \; \lambda \in \mathbb R  \!
  • ecuaţiile carteziene se obţin din cele parametrice eliminând parametrul \lambda: \!
T_{M_0} (\Gamma) : \; \frac{X-x(t_0)}{\dot x(t_0)} = \frac{Y-y(t_0)}{\dot y(t_0)} = \frac {Z-z(t_0)}{\dot z(t_0)}. \!


Observaţii

1. Dacă se cunosc ecuaţiile vectoriale sau parametrice ale curbei \Gamma, \! atunci vectorul director al tangentei la curbă este: \dot \vec r(t_0) = (\dot x(t_0), \dot y(t_0), \dot z(t_0)). \!

2. Dacă se cunosc ecuaţiile carteziene explicite ale lui \Gamma, \! atunci făcând o parametrizare naturală \begin{cases} x=t \\ y=y(t) \\ z=z(t)  \end{cases}, \! obţinem vectorul director al tangentei: (1, \dot y(x_0), \dot z (x_0)). \!

3. Dacă se cunosc ecuaţiile carteziene implicite ale curbei \Gamma: \; \begin{cases} f(x, y, z) = 0 \\ g(x, y, z) = 0 \end{cases}, \! atunci prin diferenţiere avem:

\begin{cases} f'_x dx + f'_y dy + f'_z dz = 0 \\ g'_x dx + g'_y dy + g'_z dz = 0  \end{cases}, \!
Dreapta tangenta si planul normal.png

Dreapta tangentă şi planul normal

Parametrii directori pentru tangenta T_{M_0} (\Gamma) \! sunt daţi de coeficienţii mărimilor (dx, dy, dz) \! obţinuţi prin dezvoltarea după prima linie a determinantului:

\begin{vmatrix} dx & dy & dz \\ f'_x & f'_y & f'_z \\ g'_x & g'_y & g'_z \end{vmatrix} \!


Notăm:

\begin{vmatrix} f'_y & f'_z \\ g'_y & g'_z \end{vmatrix} = \frac{D(f, g)}{D(y, z)} \!     \begin{vmatrix} f'_z & f'_x \\ g'_z & g'_x \end{vmatrix} = \frac{D(f, g)}{D(z, x)} \!   &nbsp \begin{vmatrix} f'_x & f'_y \\ g'_x & g'_y \end{vmatrix} = \frac{D(f, g)}{D(x, y)} \!

Astfel, vectorul director al tangentei la curba \Gamma \! este:

\left ( \frac{D(f, g)}{D(y, z)}, \frac{D(f, g)}{D(z, x)}, \frac{D(f, g)}{D(x, y)}  \right ) \!

iar ecuaţia tangentei se scrie în acest caz:

T_{M_0} (\Gamma): \; \frac{X-x(t_0)}{\left . \frac{D(f,g)}{D(y, z)} \right |_{M_0}} = \frac{Y-y(t_0)}{\left . \frac{D(f,g)}{D(z, x)} \right |_{M_0}} = \frac{Z-z(t_0)}{\left . \frac{D(f,g)}{D(x, y)} \right |_{M_0}} \!


Definiţie. Planul normal în punctul regulat M_0 \! la curba \Gamma, \! notat P^n_{M_0} (\Gamma), \! este planul ortogonal pe tangenta la curbă în punctul M_0. \!


Ecuaţia vectorială a planului normal este:

P^n_{M_0} (\Gamma): \; \mathcal h \vec R - \vec r(t); \dot \vec r \mathcal i = 0 \!


Explicitând vectorii care intervin în ecuaţia vectorială se obţine ecuaţia carteziană a planului normal:

P^n_{M_0} (\Gamma): \; [X-x(t_0)] \cdot \dot x (t_0) +  [Y-y(t_0)] \cdot \dot y (t_0) +  [Z-z(t_0)] \cdot \dot z (t_0) \!


echivalentă cu:

P^n_{M_0} (\Gamma): \; [X-x(t_0)] \left . \frac{D(f, g)}{D(y, z)} \right |_{M_0} + [Y-y(t_0)] \left . \frac{D(f, g)}{D(z, x)} \right |_{M_0} + [Z-z(t_0)] \left . \frac{D(f, g)}{D(x, y)} \right |_{M_0} =0. \!


Observaţie. Deoarece tangenta este perpendiculară pe planul normal în M_0, \! vectorul director al tangentei coincide cu vectorul normal al planului normal, astfel că, dacă se cunoaşte ecuaţia planului normal la curbă în punctul regulat M_0: \!

P^n_{M_0} (\Gamma) : \; A(x-x_0) + B(y-y_0) + C(z-z_0) + D =0  \!

atunci ecuaţia tangentei la curbă în acelaşi punct este:

T_{M_0} (\Gamma): \; \frac{X-x_0}{A} = \frac{Y-y_0}{B} = \frac{Z-z_0}{C}. \!

Vezi şi Edit


Resurse Edit

Also on Fandom

Random Wiki