FANDOM


Tangenta la curba

Generalităţi Edit

Definiţia 1: Se numeşte tangentă la curba $ \Gamma \! $ în punctul M poziţia limită a dreptei determinată de punctele M şi M1 de pe curbă când punctul M1 tinde către M (dacă acea limită există).

Teoremă: Dacă funcţiile x, y, z sunt derivabile şi

$ x'^2 (t) + y'^2 (t) + z'^2 (t) \ne 0 $

atunci ecuaţia tangentei la curbă este (coordonatele unui punct de pe tangentă fiind notate X, Y, Z):

$ \frac {X - x (t)}{x' (t)} = \frac {Y - y (t)}{y' (t)} = \frac {Z - z (t)}{z' (t)} $   (ETPS)
Demonstraţie: Conform definiţiei derivatei unui vector şi a tangentei, dacă T aparţine tangentei (vezi figura precedentă) atunci vectorii $ \overrightarrow {MT} $ şi $ \vec {r'} (t) $ sunt coliniari, deci coordonatele lor sunt proporţionale şi rezultă ecuaţia (ETPS).

Tangenta la o curbă plană Edit

Definiţia 2. Un punct $ M (\vec r (t)) \in \Gamma, \! $ corespunzător valorii $ t \in I, \! $ se numeşte punct regulat al curbei dacă satisface condiţia $ \dot {\vec r} \neq 0. \! $


Observaţie O curbă se zice regulată dacă toate punctele sale sunt regulate.


Fie $ M (\vec r (t)) \! $ un punct regulat al curbei $ \Gamma \! $ şi $ \vec r(t) = \vec {OM} \! $ vectorul de poziţie al punctului M în reperul $ \mathcal R^O_a = \{ O; \vec i; \vec j \}, \! $ iar $ M'(\vec r (t+h)) \! $ un alt punct de pe curbă. Dreapta determinată de punctele $ M \! $ şi $ M' \! $ este o secantă pentru $ \Gamma. \! $

Definirea tangentei unei curbe plane

Definiţia 3. Tangenta la $ \Gamma \! $ în punctul M este dreapta obţinută ca limită a poziţiilor secantelor $ D (M, M') \! $ când cel de-al doilea punct $ M' \! $ tinde spre primul punct $ M \! $ pe $ \Gamma : \! $

$ \mathbf T_M (\Gamma) = \lim_{h \to 0} D (M, M') \! $

i.e. dreapta $ \mathbf T_M (\Gamma) \! $ va intersecta curba în două puncte confundate.


Deoarece $ \vec {MM'} = \vec r (t+h) - \vec r (t) \! $ este vector director al secantei $ D (M, M'), \! $ prin amplificare cu $ \frac 1 h \! $ obţinem că $ \frac {\vec r (t+h) \vec r (t)}{h} \! $ este tot vector director al secantei $ D (M, M'). \! $ Trecând la limită, deducem că vectorul:

$ \lim_{h \to 0} \frac {\vec r (t+h) \vec r (t)}{h} = \dot {\vec r} (t). \! $

este vector director al tangentei $ \mathbf T_M (\Gamma). \! $


Scriem în continuare diferite reprezentări pentru ecuaţiile tangentei la curba $ \Gamma \! $ într-un punct regulat $ M_0 (\dot {\vec r}(t_0) \neq 0) \! $ al curbei:


  • Ecuaţia vectorială: $ \mathbf T_{M_0} (\Gamma): \; \vec R = \vec r (t_0) + \lambda \dot {\vec r} (t_0), \; \; \lambda \in \mathbb R \! $
  • Ecuaţiile parametrice: $ \mathbf T_{M_0} (\Gamma): \; \begin{cases} X=x(t_0) + \lambda \dot x (t_0) \\ Y=y(t_0) + \lambda \dot y (t_0) \end{cases} \; \; \lambda \in \mathbb R \! $
  • Ecuaţia carteziană: $ \mathbf T_{M_0} (\Gamma): \; \frac{X-x(t_0)}{\dot x(t_0) } = \frac{Y-y(t_0)}{\dot y(t_0)} \! $

sau $ Y-y(t_0) = k_T [X-x(t_0)] \! $ unde $ k_T = \frac {\dot y (t_0)}{\dot x (t_0)} \! $ este panta tangentei.


Observaţie. Panta $ k_T \! $ a tangentei $ \mathbf T_{M_0} (\Gamma) \! $ se mai poate exprima astfel:

  • dacă curba $ \Gamma \! $ este dată prin ecuaţia carteziană implicită $ F(x, y) =0, \! $ atunci:
$ k_{\Gamma} = -\frac{F'_x(x_0, y_0)}{F'_y(x_0, y_0)}; \! $
  • dacă curba $ \Gamma \! $ este dată prin ecuaţia carateziană implicită $ y=y(x), \! $ atunci: $ k_{T}=\dot y(x_0). \! $


Exemplu: Fie o curbă dată prin ecuaţia vectorială:

$ \vec r (t)= (t-1)\vec i + (t^2+2) \vec j \! $

Ecuaţiile tangentei la curbă în punctul $ M(t=1) \! $ (adică $ M(0, 3) \! $) sunt:

  • Ecuaţia vectorială: $ \vec R=\vec r (t)+\lambda \dot \vec r (t) \; \Leftrightarrow \; \vec R=(t-1+ \lambda ) \vec i +(t^2+2+2 \lambda t) \vec j \! $ Deoarece $ t=1 \! $ pentru punctul $ M, \! $ obţinem: $ \vec R=\lambda \vec i +(3+2 \lambda ) \vec j \! $
  • Ecuaţiile parametrice: $ \begin{cases} X=\lambda \\ Y=3+2 \lambda \end{cases} \! $
  • Eliminând $ \lambda, \! $ obţinem ecuaţia carteziană: $ Y=3+2X. \! $


Definiţia 4. Dreapta normală la curba $ \Gamma \! $ în punctul $ M_0, \! $ notată $ N_{M_0}(\Gamma) \! $ este dreapta ortogonală în punctul $ M_0 \! $ pe tangenta $ T_{M_0}(\Gamma) \! $ la curbă în acel punct.


Ecuaţia normalei la curba $ \Gamma \! $ în punctul $ M_0 \! $ se scrie punând condiţiile de perpendicularitate între tangentă şi normală: produsul dintre pantele celor două drepte să fie egal cu -1. De aici, deducem că panta normalei $ N_{M_0}(\Gamma) \! $ este $ k_N=-\frac{\dot x(t_0)}{\dot y(t_0)}. \! $ Ecuaţia carteziană a normalei este deci:

$ N_{M_0}(\Gamma): \; Y-y(t_0) =k_N [X-x(t_0)]. \! $

Tangenta la o curbă în spaţiu Edit

Fie $ \Gamma: \; \vec r= \vec r(t), \! $ o curbă spaţială, $ M_0= \vec r (t_0) \in \Gamma, \! $ şi dreapta tangentă la curba $ \Gamma \! $ în punctul $ M_0 \! $ definită ca în cazul curbelor plane (vezi Definiţia 3).


Reprezentările tangentei la o curbă spaţială în punctul $ M_0 \! $ se obţin la fel ca şi în cazul curbelor plane:

  • ecuaţia vectorială:
$ T_{M_0} (\Gamma): \; \vec R = \vec r(t_0)+ \lambda \dot \vec r(t_0), \; \lambda \in \mathbb R \! $
  • ecuaţiile parametrice:
$ T_{M_0} (\Gamma) : \; \begin{cases} X=x(t_0) + \lambda \dot x(t_0) \\ Y=y(t_0) + \lambda \dot y(t_0) \\ Z=z(t_0) + \lambda \dot z(t_0) \end{cases}, \; \lambda \in \mathbb R \! $
  • ecuaţiile carteziene se obţin din cele parametrice eliminând parametrul $ \lambda: \! $
$ T_{M_0} (\Gamma) : \; \frac{X-x(t_0)}{\dot x(t_0)} = \frac{Y-y(t_0)}{\dot y(t_0)} = \frac {Z-z(t_0)}{\dot z(t_0)}. \! $


Observaţii

1. Dacă se cunosc ecuaţiile vectoriale sau parametrice ale curbei $ \Gamma, \! $ atunci vectorul director al tangentei la curbă este: $ \dot \vec r(t_0) = (\dot x(t_0), \dot y(t_0), \dot z(t_0)). \! $

2. Dacă se cunosc ecuaţiile carteziene explicite ale lui $ \Gamma, \! $ atunci făcând o parametrizare naturală $ \begin{cases} x=t \\ y=y(t) \\ z=z(t) \end{cases}, \! $ obţinem vectorul director al tangentei: $ (1, \dot y(x_0), \dot z (x_0)). \! $

3. Dacă se cunosc ecuaţiile carteziene implicite ale curbei $ \Gamma: \; \begin{cases} f(x, y, z) = 0 \\ g(x, y, z) = 0 \end{cases}, \! $ atunci prin diferenţiere avem:

$ \begin{cases} f'_x dx + f'_y dy + f'_z dz = 0 \\ g'_x dx + g'_y dy + g'_z dz = 0 \end{cases}, \! $
Dreapta tangenta si planul normal

Dreapta tangentă şi planul normal

Parametrii directori pentru tangenta $ T_{M_0} (\Gamma) \! $ sunt daţi de coeficienţii mărimilor $ (dx, dy, dz) \! $ obţinuţi prin dezvoltarea după prima linie a determinantului:

$ \begin{vmatrix} dx & dy & dz \\ f'_x & f'_y & f'_z \\ g'_x & g'_y & g'_z \end{vmatrix} \! $


Notăm:

$ \begin{vmatrix} f'_y & f'_z \\ g'_y & g'_z \end{vmatrix} = \frac{D(f, g)}{D(y, z)} \! $     $ \begin{vmatrix} f'_z & f'_x \\ g'_z & g'_x \end{vmatrix} = \frac{D(f, g)}{D(z, x)} \! $   &nbsp $ \begin{vmatrix} f'_x & f'_y \\ g'_x & g'_y \end{vmatrix} = \frac{D(f, g)}{D(x, y)} \! $

Astfel, vectorul director al tangentei la curba $ \Gamma \! $ este:

$ \left ( \frac{D(f, g)}{D(y, z)}, \frac{D(f, g)}{D(z, x)}, \frac{D(f, g)}{D(x, y)} \right ) \! $

iar ecuaţia tangentei se scrie în acest caz:

$ T_{M_0} (\Gamma): \; \frac{X-x(t_0)}{\left . \frac{D(f,g)}{D(y, z)} \right |_{M_0}} = \frac{Y-y(t_0)}{\left . \frac{D(f,g)}{D(z, x)} \right |_{M_0}} = \frac{Z-z(t_0)}{\left . \frac{D(f,g)}{D(x, y)} \right |_{M_0}} \! $


Definiţie. Planul normal în punctul regulat $ M_0 \! $ la curba $ \Gamma, \! $ notat $ P^n_{M_0} (\Gamma), \! $ este planul ortogonal pe tangenta la curbă în punctul $ M_0. \! $


Ecuaţia vectorială a planului normal este:

$ P^n_{M_0} (\Gamma): \; \mathcal h \vec R - \vec r(t); \dot \vec r \mathcal i = 0 \! $


Explicitând vectorii care intervin în ecuaţia vectorială se obţine ecuaţia carteziană a planului normal:

$ P^n_{M_0} (\Gamma): \; [X-x(t_0)] \cdot \dot x (t_0) + [Y-y(t_0)] \cdot \dot y (t_0) + [Z-z(t_0)] \cdot \dot z (t_0) \! $


echivalentă cu:

$ P^n_{M_0} (\Gamma): \; [X-x(t_0)] \left . \frac{D(f, g)}{D(y, z)} \right |_{M_0} + [Y-y(t_0)] \left . \frac{D(f, g)}{D(z, x)} \right |_{M_0} + [Z-z(t_0)] \left . \frac{D(f, g)}{D(x, y)} \right |_{M_0} =0. \! $


Observaţie. Deoarece tangenta este perpendiculară pe planul normal în $ M_0, \! $ vectorul director al tangentei coincide cu vectorul normal al planului normal, astfel că, dacă se cunoaşte ecuaţia planului normal la curbă în punctul regulat $ M_0: \! $

$ P^n_{M_0} (\Gamma) : \; A(x-x_0) + B(y-y_0) + C(z-z_0) + D =0 \! $

atunci ecuaţia tangentei la curbă în acelaşi punct este:

$ T_{M_0} (\Gamma): \; \frac{X-x_0}{A} = \frac{Y-y_0}{B} = \frac{Z-z_0}{C}. \! $

Vezi şi Edit


Resurse Edit