Fandom

Math Wiki

Suprafață minimală

1.029pages on
this wiki
Add New Page
Comments0 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

În spaţiul \mathbb R^3, \! numim suprafaţă minimală o suprafață care are proprietatea că orice punct al acesteia posedă o vecinătate (de frontieră C), care este suprafaţa de frontieră C şi având arie minimă.

O suprafaţă minimală are, în orice punct al acesteia curbura medie nulă.

Cea mai simplă formă de suprafaţă minimală este planul. În spațiu, singura suprafaţă de revoluţie care să fie şi minimală este catenoida (Euler, 1740). Tot în spaţiu, singura suprafaţă minimală riglată este elicoidul lui Meusnier.

Istoric Edit

Ca urmare a peste doua secole de cercetare, suprafetele minimale reprezinta unul dintre cele mai bine studiate subiecte ale geometriei diferentiale, avand o multitudine de aplicatii practice in arhitectura, fizica si chimie.

Initiator este matematicianul Joseph-Louis Lagrange (1736 - 1813), care a definit pentru prima oara o suprafata minimala ca fiind cea pentru care curbura medie este nula (1760). Intuitiv, dupa cum si numele sugereaza, sunt suprafetele de arie minima marginite de o curba data. Definitia lui Lagrange este insa, avantajoasa, mai intai pentru ca se poate calcula curbura in orice punct mai usor decat aria intregii suprafete, iar apoi, este independenta de curba de contur, in consecinta, suprafetele extinse la infinit pot fi, de asemenea, minimale.

Primele exemple de suprafete minimale au aparut inca din sec. XVIII, mai intai cel trivial, al suprafetei marginite de o curba plana inchisa, iar apoi, in 1776, inginerul si geometrul francez Jean Jean Baptiste Meusnier (1754 - 1793) construieste alte doua exemple: catenoidul, singura suprafata minimala de rotatie, neplana si elicoidul (sectiunea II.2.) despre care s-a demonstrat ca este singura suprafata minimala riglata, neplana (Catalan, do Carmo). Urmatorul exemplu a fost publicat in 1835, fiind construit de matematicianul german Heinrich Ferdinand Scherk (1798 - 1885)

O contributie importanta in studiul suprafetelor minimale a fost adusa de catre fizicianul belgian Joseph Antoine Ferdinand Plateau (1801 - 1883), care, in experimentele sale, prin introducerea in solutie de apa si glicerina a unor fire sub forma unor curbe inchise obtinea suprafete minimale. A aparut, astfel, intrebarea cunoscuta sub numele „problema lui Plateau”: „Exista, pentru orice curba inchisa, oricat de complicata, o suprafata de arie minima care sa o aibe drept contur?”. Aceasta problema a fost rezolvata in 1931 de matematicienii Jesse Douglas (1897-1965) si Tibor Rado (1895-1965) (independent unul de altul) care au demonstrat existenta suprafetei minimale avand o curba de contur data, fara a evidentia, insa, multe proprietati geometrice ale acestor suprafete. Problema unicitatii este inca deschisa, primele conditii pentru unicitatea suprafetelor minimale in \mathbb R^3 ,\! marginite de curbe Jordan, se datoreaza lui T. Rado, J.C.C. Nitsche si A. Tromba.

Incercarile experimentale ale lui Plateau au relevat totodata importanta suprafetelor minimale in teoria capilaritatii ca suprafete de energie potentiala minima. O alta observatie importanta este ca suprafetele construite in maniera experimenetelor lui Plateau au propietatea de a avea aceeasi presiune de ambele parti ale suprafetei si deci, de a fi in echilibru – intuitiv, stratul aflat in echilibru, perturbat, va reveni la starea initiala care este suprafata minimala. Tot experimental au luat nastere suprafetele cunoscute sub numele de “bulele lui Plateau”. Asupra bulelor duble s-a dat conjectura ca doua parti egale de sfera avand ca frontiera comuna un disc (deci o suprafata plana) au o suprafata totala minima. Cazul celor doua parti egale ca volum a fost demonstrat in 1995 (Hass) prin reducerea problemei la un set de 200260 de integrale rezolvate cu ajutorul calculatorului. La inceputul anului 2000, Frank Morgan, Michael Hutchings, Manuel Ritoré, si Antonio Ros au demonstrat conjectura pentru bule duble oarecare. In acest caz, al celor doua parti de sfera inegale, s-a aratat ca suprafata separatoare care minimizeaza aria totala este o portiune de sfera care se intersecteaza cu cealalta suprafata sferica sub unghiul diedru de 120°. Mai mult, curbura acestei suprafete de separare este diferenta curburilor celor doua parti de sfera ce formeaza bula dubla. Problema bulelor duble ale lui Plateau a fost apoi extinsa si in spatiul 4-dimensional si pentru anumite cazuri in spatiul 5-dimensional.

Suprafetele minimale nu pot fi privite, insa, ca suprafete ce pot fi obtinute cu ajutorul ideii experimentelor lui Plateau. Fiecare portiune suficient de mica a oricarei suprafete minimale poate fi obtinuta, intr-adevar, in aceasta maniera, dar pentru suprafete mult mai largi nu mai este posibil, ceea ce conduce la ideea unui echilibru instabil al energiei potentiale. Apare, de asemenea, ideea unei noi clase de suprafete minimale ce reprezinta interesul de studiu din ultimii treizeci de ani, din punct de vedere conceptual destul de departe de intelesul initial al notiunii de „suprafata minimala”, anume suprafetele minimale fara o anumita curba drept frontiera, ce pot fi extinse la infinit. Observatia naturala ca o astfel de suprafata minimala infinita, fara autointersectii, este suprafata separatoare ce imparte spatiul in doua regiuni, a fost folosita in numeroase modele fizice si in chimie, in experimente precum echilibrul polimerilor cu lanturi lungi, ale caror structuri, pentru o mai buna intelegere, sunt comparate cu suprafetele minimale triplu periodice.

Suprafetele minimale au o sfera larga de aplicabilitate si in cristalografie, de exemplu pentru cristalele zeolite, constituite dintr-un schelet de silicon, aluminiu si atomi de hidrogen, spatiul ramas fiind completat cu cristale de gheata. In timpul unei incalziri atente, apa se evapora, ramanand un schelet foarte poros folosit in schimburile de ioni, in separarea moleculelor si in cracarea uleiului. Sa constatat ca unitatile tetraedrale de structura ale sodalitelor au forma unei suprafete minimale Schwarz. Legaturi similare au fost gasite si pentru alte zeolite. O asemanare interesanta a fost gasita si in investigarea campurilor electrice ale retelelor de cristale lichide, intre suprafetele minimale si campurile de potential zero (unde punctele incarcate sunt in nodurile retelei de cristale). In aceste studii suprafetele minimale joaca rolul de modele pentru potentiale structuri spatiale, cele din viata reala fiind mai complicate, insa, decat modelele pur matematice.

Una dintre metodele de a genera noi exemple de suprafete minimale este aceea de a modifica suprafete minimale infinite existente. Aceasta incercare a fost incurajata de studiul lui Robert Osserman, care a readus in atentie o metoda a lui Karl Theodor Weierstrass (1815 - 1897), care, folosind analiza complexa, a descoperit “formulele de reprezentare” (sectiunea V.1.) cu ajutorul careia poate fi generata orice suprafata minimala prin alegerea unei perechi de functii complexe, dar care nu imi descrie proprietati geometrice ale suprafetei (de exemplu, autointersectiile). Cu ajutorul parametrizarilor Weierstrass, R. Osserman a reusit sa modifice suprafete minimale cunoscute facandu-le mult mai complicate, chiar daca modificarea efectuata are un efect vizibil numai pe o mica parte a suprafetei. Cu ajutorul noii teorii Osserman, s-au obtinut trinoidul (catenoidul cu trei terminatii) si binoidul (obtinut prin adaugarea a inca doua terminatii in zona cea mai ingusta a catenoidului) (Luquesio P. Jorge, William M. Meeks). De asemenea a fost descoperita una dintre cele mai interesante suprafete minimale: suprafata Costa (numita si Costa- Hoffman-Meeks), ce-a de-a treia suprafata neperiodica – alaturi de catenoid si plan

De asemenea, pot fi modificate suprafete minimale existente si prin adaugarea de „tunele”. Cu ajutorul acestei metode au fost obtinute cele mai recente exemple de suprafete minimale, prin adaugarea de noi tunele verticale in tunelele orizontale ale suprafetei Schwarz. In general, pot fi complicate prin adaugarea de tunele suprafetele minimale triplu-periodice. Mai mult, s-a dovedit ca aceasta metoda nu poate fi aplicata catenoidului (rezultat demonstrat de Richard Schoen), insa, in mod surprinzator, functioneaza la catenoidul cu patru terminatii (A. Arnez, M. Steffens, C. Teitzel, si independent, J. Berglund, W. Rossman).


În 1984, B. Meeks şi D. Hoffman au demonstrat că pentru orice k>0, \! există o suprafaţă minimală care să fie omeomorfă unei suprafețe de tip k, din care au fost extrase trei puncte.


Suprafata minimala fig 1.png Suprafata minimala fig 2.png Suprafata minimala fig 3.png Suprafata minimala fig 4.png Suprafata minimala fig 5.png Suprafata minimala fig 6.png Suprafata minimala fig 7.png Suprafata minimala fig 8.png Suprafata minimala fig 9.png Suprafata minimala fig 10.png Suprafata minimala fig 11.png Suprafata minimala fig 12.png Suprafata minimala fig 13.png Suprafata minimala fig 14.png Suprafata minimala fig 15.png Suprafata minimala fig 16.png Suprafata minimala fig 17.png Suprafata minimala fig 18.png Suprafata minimala fig 19.png Suprafata minimala fig 20.png Suprafata minimala fig 21.png Suprafata minimala fig 22.png Suprafata minimala fig 23.png Suprafata minimala fig 24.png Suprafata minimala fig 25.png

Vezi şi Edit

Resurse Edit

Also on Fandom

Random Wiki