Se consideră că mulțimea are structura naturală de spațiu vectorial şi, de asemenea, are structura de spaţiu vectorial real de dimensiune n cu operaţiile de adunare şi înmulţire cu scalari definite astfel: pentru orice
O submulţime se numeşte suprafaţă diferenţiabilă (regulată, sau simplu suprafaţă) dacă o vecinătate deschisă a lui P în o mulţime deschisă şi o aplicație astfel încât:
1) x este diferenţiabilă x (u, v) = x^1 (u, v), x^2 (u, v), x^3 (u, v))
2) x este homeomorfism
3) (condiţia de regularitate)
Perechea (sau simplu, x) poartă numele de parametrizare, iar se numeşte hartă.
Fie o suprafaţă regulată din şi un punct
Fie un vector tangent în P la
Notând cu spaţiul vectorilor tangenţi în punctul P la suprafaţa putem scrie
Mulţimea vectorilor tangenţi la în punctul se notează cu
În general,
Pe avem produsul scalar care induce în mod natural un produs scalar în subspaţiul suprafaţă,
