FANDOM


Se consideră că mulțimea $ \mathbb R^n \! $ are structura naturală de spațiu vectorial şi, de asemenea, $ T_P \mathbb R^n \! $ are structura de spaţiu vectorial real de dimensiune n cu operaţiile de adunare şi înmulţire cu scalari definite astfel: $ (p, v) + (p, w) = (p, v+w), \; \lambda (p, v) = (p, \lambda v), \! $ pentru orice $ p, v, w \in \mathbb R^n, \; \lambda \in \mathbb R. \! $

O submulţime $ \mathcal M \subset \mathbb R^3 \! $ se numeşte suprafaţă diferenţiabilă (regulată, sau simplu suprafaţă) dacă $ \forall P \in \mathcal M, \; \exists V \! $ o vecinătate deschisă a lui P în $ \mathbb R^3, \! $ o mulţime deschisă $ U \subset \mathbb R^2 \! $ şi o aplicație $ x: U \rightarrow V \cap \mathcal M \! $ astfel încât:

1) x este diferenţiabilă x (u, v) = x^1 (u, v), x^2 (u, v), x^3 (u, v))

2) x este homeomorfism

3) $ \forall q \in U \; \; rang \; \mathcal J_x(q) = 2 \! $ (condiţia de regularitate)


Perechea $ (U, x) \! $ (sau simplu, x) poartă numele de parametrizare, iar $ (V \cap \mathcal M, x^{-1}) \! $ se numeşte hartă.


Fie $ \mathcal M \! $ o suprafaţă regulată din $ \mathbb R^3 \! $ şi un punct $ P \in \mathcal M. \! $ Fie $ v_p \! $ un vector tangent în P la $ \mathcal M. \! $ Notând cu $ T_P \mathcal M \! $ spaţiul vectorilor tangenţi în punctul P la suprafaţa $ \mathcal M, \! $ putem scrie $ v_P \in T_P \mathcal M. \! $ Mulţimea vectorilor tangenţi la $ \mathbb R^3 \! $ în punctul $ P \in \mathbb R^3 \! $ se notează cu $ T_P \mathbb R^3. \! $ În general, $ T_P \mathbb R^3 = \{ (p, v) , \; v \in \mathbb R^3 \}. \! $

Pe $ T_P \mathbb R^3 \! $ avem produsul scalar $ \mathcal h (p, v), (p, w) \mathcal i = \mathcal h v, w \mathcal i \; \; \forall (p, v), (p, w) \in T_P \mathbb R^3, \! $ care induce în mod natural un produs scalar în subspaţiul $ T_P \mathcal M \subset T_P \mathbb R^3, \; \forall M \subset \mathbb R^3 \! $ suprafaţă, $ \forall P \in \mathcal M. \! $

Resurse Edit