FANDOM


Suprafata Bezier

Suprafețele Bézier au fost descrise de către Pierre Bézier în 1972. Fie $ (n+1)(m+1) \! $ puncte de control $ P_{i, j} , \; i =0, 1, \cdots , n, \; j = 0, 1, \cdots , m. \! $


Definiţia 1. Suprafaţa Bézier de ordin (n, m) corespunzătoare controalelor $ P_{i, j} , \; i =0, 1, \cdots , n, \; j = 0, 1, \cdots , m \! $ este:

$ P(u,v) = \sum_{i=0}^n \sum_{j=0}^m b_{i, n}(u) b_{j, m}(v) P_{i, j}, \! $

unde $ b_{i, n}(u), \! $ respectiv $ b_{j, m}(v) \! $ sunt polinoamele Bernstein de grad n, respectiv m şi sunt date de:

Bezier Surface v10 1 display medium
$ b_{i, n}(u) = C_n^i u^i (1-u)^{n-i}, \; \; b_{j, m}(v) = C_n^j u^j (1-u)^{m-j}, \! $

$ u, v \in [0, 1]. \! $


Exemplul 1. Suprafaţa Bézier de ordin (1, 1), generată de punctele de control $ P_{0, 0}, P_{0, 1}, P_{1, 0}, P_{1, 1} \! $ are ecuaţia:

$ P(u, v) = (1-u)(1-v) P_{0, 0} + (1-u)P_{0, 1} + u(1-v) P_{1, 0} + uv P_{1, 1} \! $

adică ecuația parametrică a unui paraboloid hiperbolic.

De exemplu, pentru controalele $ P_{0, 0} (0, 0, 0), P_{0, 1} (1, 0, 0), P_{1, 0} (0, 1, 0), P_{1, 1} (0, 0, 1) \! $ ecuaţia parametrică a suprafeţei Bézier se scrie:

$ x= (1-u)v \! $
$ x= u(1-v) \! $
$ x= uv. \! $


Observaţia 2. $ P(0, 0) = P_{0, 0} \! $ şi $ P(1, 1) = P_{n, m}. \! $

Observaţia 3. Orice suprafaţă algebrică polinomială este o suprafaţă Bézier.

Proprietăţi ale suprafeţelor Bézier Edit

1. O suprafaţă Bézier se transformă în acelaşi fel ca şi punctele sale în urma unei translaţii;

2. O suprafaţă Bézier este inclusă în întregime în acoperirea convexă a punctelor sale de control;

3. $ P(0, 0), P(0, 1), P(1, 0), P(1, 1) \! $ sunt puncte de control;

4. Curbele pe suprafaţă $ u = const \! $ şi $ v= const \! $ reprezintă curbe Bézier.


Vezi şi Edit