FANDOM


Se notează:

$ S_1(n) = 1+2+ \cdots + n = \sum_{k=1}^n k. $
$ S_2(n) = 1^2+2^2 + \cdots + n^2 = \sum_{k=1}^n k^2. $

Având în vedere că $ (k+1)^2 = k^2 + 2k +1, $ vom găsi o corelaţie între aceste sume:

$ \sum_{k=1}^n (k^2+2k+1) = \sum_{k=1}^n (k+1)^2 = \sum_{k=2}^{n+1} k^2 = (n+1)^2 -1 + \sum_{k=1}^n. $

Aşadar:

$ \sum_{k=1}^n k^2 + 2 \sum_{k=1}^n +n= (n+1)^2 -1 \; \Rightarrow \; \sum_{k=1}^n k = \frac {n(n+1)}{2}. $

Mergem mai departe pentru calculul $ S_2(n), $ unde se va ţine seama că:

$ k^3 + 3k^2 + 3k +1 = (k+1)^3. $

Pentru cazul general, se va ţine seama de relaţia:

$ (k+1)^p = k^p + C^1_p k^{p-1} + C^2_p k^{p-2} + \cdots + C^p_p k +1 . $

Deci:

$ \sum_{k=1}^p = \sum_{k=1}^n k^p + C^1_p \sum_{k=1}^n k_{p-1} + \cdots + C^p_p \sum_{k=1}^n k + n. $

Se va deduce relaţia de recurenţă:

$ C^1_p S_{p-1}(n) + C^2_p S_{p-2} (n) + \cdots + C^1_p S_1(n) = (n+1)^p-n-1. $

Se va obţine pe rând:

$ S_2(n)= \frac {n(n+1)(2n+1)}{6} $
$ S_3(n)=\left [ \frac {n(n+1)}{2} \right ]^2 $
$ S_4(n)= \frac {n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n+1)}{30} $
$ S_5(n) = \frac {n^2 (n+1)^2 (2n^2+ 2n -1)}{12} $
$ S_6(n)= \frac {n(n+1)(6n^5 + 15 n^4 + 6 n^3 - 6n^2-n+1)}{42} $
$ S_7(n) = \frac {n^2 (n+1)^2 (3n^4 + 6n^3 -n^2-4n +2)}{24} $