FANDOM


Strofoida dreaptă Edit

Strofoida dreapta fig 1

Fig. 1

Definiţie şi construcţie Edit

Metoda I. Considerăm două drepte perpendiculare notate cu d şi d'. Fie O punctul de intersecţie al celor două drepte şi fie A un punct arbitrar pe dreapta d (fig. 1). Ducem prin A o dreaptă arbitrară AL care intersectează d' în punctul P. Cu ajutorul compasului construim pe dreapta AL, de o parte şi de alta a punctului P două puncte $ M_1 \! $ şi respectiv $ M_2 \! $ astfel încât $ PM_1= PM_2 =PO . \! $ Locul geometric al punctelor $ M_1 \! $ şi $ M_2 \! $ când P se deplasează pe dreapta d' este o strofoidă dreaptă.


Metoda II.. Fie F un punct fix şi d o dreaptă dată. Construim cercurile $ C_1 \! $ şi $ C_2 \! $ tangente exterior într-un punct O, unde O este un punct arbitrar pe dreapta d. Ducem din F tangentele comune la cele două cercuri şi notăm cu $ M, N, P, Q \! $ punctele de tangenţă. Locul geometric al punctelor de tangenţă ale tangentelor duse din F la două cercuri tangente exterior este o strofoidă dreaptă (fig. 2).

Strofoida dreapta fig 2

Fig. 2

Demonstraţie. Fie A punctul de intersecţie dintre tangenta comună interioară d şi tangenta comună exterioare d'. Atunci are loc relaţia $ OA=AP=AN. \! $ Cum cercurile $ C_1 \! $ şi $ C_2 \! $ sunt arbitrare, punctul A variază pe dreapta d deci locul geometric al punctelor P şi N este o strofoidă dreaptă.

Reciproc. Ducem prin F o dreaptă d' care intersectează pe d într-un punct A. Fie P şi N două puncte pe dreapta d' şi O un punct pe d astfel încât are loc relaţia $ OA=AP=AN. \! $ Fie $ O_1 \! $ punctul de intersecţie al perpendicularelor duse în O şi N pe dreptele d şi respectiv d'. Fie $ O_2 \! $ punctul de intersecţie al perpendicularelor duse în O şi P pe dreptele d ş respectiv d'. Triunghiurile dreptunghice $ AOO_1 \! $ şi $ ANO_1 \! $ sunt congruente conform cazului IC ceea ce implică $ OO_1 \equiv O_1N \! $ şi deci $ OO_1 \! $ şi $ O_1N \! $ sunt raze în cercul $ C_2 \! $ de centru $ O_2. \! $ Deci punctele P şi N ale strofoidei drepte se află pe tangenta comună exterioară a cercuriulor $ C_1 \! $ şi $ C_2 . \! $

Strofoida oblică (generalizată) Edit

Strofoida oblica

Fig. 3

Definiţie şi construcţie Edit

Sunt analoage cu cele din cazul strofoidei drepte, dar în acest caz d şi d' nu sunt perpendiculare, formează un unghi $ \alpha \! $ diferit de $ 90^{\circ} \! $ (fig. 3).

Ecuaţiile strofoidei oblice Edit

a) Ecuaţia strofoidei oblice în coordonate polare este:

$ \rho = -a \frac{\sin (\alpha - 2 \theta)}{\sin (\alpha - \theta)}. \! $   (1)

Demonstraţie. Pentru a găsi ecuaţie strofoidei oblice, considerăm O originea sistemului de axe format din dreptele d şi d', $ \alpha \! $ unghiul format de cele două drepte d şi d' şi $ \beta \! $ unghiul format de dreapta AL cu dreapta d. Aplicând teorema sinusului în triunghiul OAP obţinem:

$ \frac{\sin \alpha}{AP} = \frac {\sin \beta}{OP} = \frac{\sin (\alpha + \beta)}{AO}. \! $   (2)

Cum $ AP=AM_1 + M_1P \! $ şi cum $ M_1P = PO \! $ rezultă $ AM_1 = AP-PO. \! $ Din relaţia (2) obţinem:

$ AP= -a \frac{\sin \alpha}{\sin (\alpha + \beta)} \! $ şi $ OP= -a \frac{\sin \beta}{\sin (\alpha + \beta)}. \! $   (3)

Având în vedere că triunghiurile $ AM_1M'_1 \! $ şi $ APO \! $ sunt asemenea, obţinem relaţia:

$ \frac{M_1M'_1}{OP} = \frac{AM_1}{AP} = \frac{AM'_1}{AO} \! $   (4)

unde $ M_1M'_1 = y \! $ şi $ AM'_1 = -a-x. \! $ Înlocuind aceste expresii în (4), obţinem relaţiile:

$ y=-a \frac{\sin \beta}{\sin \alpha} \cdot \frac{\sin \alpha - \sin \beta}{\sin (\alpha + \beta)} \! $   (5)
$ x=-a \frac{\sin \beta}{\sin \alpha}. \! $   (6)

Având în vedere sistemul de trecere de la coordonate carteziene la coordonate polare în cazul $ \alpha \neq 90^{\circ}, \! $ avem:

$ \begin{cases} x= \rho \frac{\sin (\alpha - \theta)}{\sin \alpha} \\ y = \rho \frac{\sin \theta}{\sin \alpha} \end{cases} \! $   (7)

şi înlocuind (6) în (7), obţinem relaţia $ -a \frac{\sin \beta}{\sin \alpha} = \rho \frac{\sin (\alpha - \theta)}{\sin \alpha}, \! $ de unde rezultă ecuaţia:

$ \rho = -a \frac{\sin \beta}{\sin (\alpha - \theta)} . \! $   (8)

Determinăm $ \beta \! $ în funcţie de $ \alpha \! $ şi $ \theta. \! $ Având în vedere relaţiile (5), (6) şi (7) obţinem:

$ \frac y x = \frac {\sin \theta}{\sin (\alpha - \theta)} = \frac{\sin \alpha - \sin \beta}{\sin (\alpha + \beta)}. \! $   (9)

De unde rezultă

$ \beta = \alpha - 2 \theta \! $   (10)

Înlocuind relaţia (10) în (9) obţinem ecuaţia strofoidei oblice în coordonate polare:

$ \rho = - a \frac{\sin (\alpha - 2 \theta)}{\sin (\alpha - \theta)}. \! $   (11)

Resurse Edit