Fandom

Math Wiki

Strofoidă

1.029pages on
this wiki
Add New Page
Comments0 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Strofoida dreaptă Edit

Strofoida dreapta fig 1.png

Fig. 1

Definiţie şi construcţie Edit

Metoda I. Considerăm două drepte perpendiculare notate cu d şi d'. Fie O punctul de intersecţie al celor două drepte şi fie A un punct arbitrar pe dreapta d (fig. 1). Ducem prin A o dreaptă arbitrară AL care intersectează d' în punctul P. Cu ajutorul compasului construim pe dreapta AL, de o parte şi de alta a punctului P două puncte M_1 \! şi respectiv M_2 \! astfel încât PM_1= PM_2 =PO . \! Locul geometric al punctelor M_1 \! şi M_2 \! când P se deplasează pe dreapta d' este o strofoidă dreaptă.


Metoda II.. Fie F un punct fix şi d o dreaptă dată. Construim cercurile C_1 \! şi C_2 \! tangente exterior într-un punct O, unde O este un punct arbitrar pe dreapta d. Ducem din F tangentele comune la cele două cercuri şi notăm cu M, N, P, Q \! punctele de tangenţă. Locul geometric al punctelor de tangenţă ale tangentelor duse din F la două cercuri tangente exterior este o strofoidă dreaptă (fig. 2).

Strofoida dreapta fig 2.png

Fig. 2

Demonstraţie. Fie A punctul de intersecţie dintre tangenta comună interioară d şi tangenta comună exterioare d'. Atunci are loc relaţia OA=AP=AN. \! Cum cercurile C_1 \! şi C_2 \! sunt arbitrare, punctul A variază pe dreapta d deci locul geometric al punctelor P şi N este o strofoidă dreaptă.

Reciproc. Ducem prin F o dreaptă d' care intersectează pe d într-un punct A. Fie P şi N două puncte pe dreapta d' şi O un punct pe d astfel încât are loc relaţia OA=AP=AN. \! Fie O_1 \! punctul de intersecţie al perpendicularelor duse în O şi N pe dreptele d şi respectiv d'. Fie O_2 \! punctul de intersecţie al perpendicularelor duse în O şi P pe dreptele d ş respectiv d'. Triunghiurile dreptunghice AOO_1 \! şi ANO_1 \! sunt congruente conform cazului IC ceea ce implică OO_1 \equiv O_1N \! şi deci OO_1 \! şi O_1N \! sunt raze în cercul C_2 \! de centru O_2. \! Deci punctele P şi N ale strofoidei drepte se află pe tangenta comună exterioară a cercuriulor C_1 \! şi C_2 . \!

Strofoida oblică (generalizată) Edit

Strofoida oblica.png

Fig. 3

Definiţie şi construcţie Edit

Sunt analoage cu cele din cazul strofoidei drepte, dar în acest caz d şi d' nu sunt perpendiculare, formează un unghi \alpha \! diferit de 90^{\circ} \! (fig. 3).

Ecuaţiile strofoidei oblice Edit

a) Ecuaţia strofoidei oblice în coordonate polare este:

\rho = -a \frac{\sin (\alpha - 2 \theta)}{\sin (\alpha -  \theta)}. \!   (1)

Demonstraţie. Pentru a găsi ecuaţie strofoidei oblice, considerăm O originea sistemului de axe format din dreptele d şi d', \alpha \! unghiul format de cele două drepte d şi d' şi \beta \! unghiul format de dreapta AL cu dreapta d. Aplicând teorema sinusului în triunghiul OAP obţinem:

\frac{\sin \alpha}{AP} = \frac {\sin \beta}{OP} = \frac{\sin (\alpha + \beta)}{AO}. \!   (2)

Cum AP=AM_1 + M_1P \! şi cum M_1P = PO \! rezultă AM_1 = AP-PO. \! Din relaţia (2) obţinem:

AP= -a \frac{\sin \alpha}{\sin (\alpha + \beta)} \! şi OP= -a \frac{\sin \beta}{\sin (\alpha + \beta)}. \!   (3)

Având în vedere că triunghiurile AM_1M'_1 \! şi APO \! sunt asemenea, obţinem relaţia:

\frac{M_1M'_1}{OP} = \frac{AM_1}{AP} = \frac{AM'_1}{AO} \!   (4)

unde M_1M'_1 = y \! şi AM'_1 = -a-x. \! Înlocuind aceste expresii în (4), obţinem relaţiile:

y=-a \frac{\sin \beta}{\sin \alpha} \cdot \frac{\sin \alpha - \sin \beta}{\sin (\alpha + \beta)} \!   (5)
x=-a \frac{\sin \beta}{\sin \alpha}. \!   (6)

Având în vedere sistemul de trecere de la coordonate carteziene la coordonate polare în cazul \alpha \neq 90^{\circ}, \! avem:

\begin{cases} x= \rho \frac{\sin (\alpha - \theta)}{\sin \alpha} \\ y = \rho \frac{\sin \theta}{\sin \alpha} \end{cases} \!   (7)

şi înlocuind (6) în (7), obţinem relaţia -a \frac{\sin \beta}{\sin \alpha} = \rho \frac{\sin (\alpha - \theta)}{\sin \alpha}, \! de unde rezultă ecuaţia:

\rho = -a \frac{\sin \beta}{\sin (\alpha - \theta)} . \!   (8)

Determinăm \beta \! în funcţie de \alpha \! şi \theta. \! Având în vedere relaţiile (5), (6) şi (7) obţinem:

\frac y x = \frac {\sin \theta}{\sin (\alpha - \theta)} = \frac{\sin \alpha - \sin \beta}{\sin (\alpha + \beta)}. \!   (9)

De unde rezultă

\beta = \alpha - 2 \theta \!   (10)

Înlocuind relaţia (10) în (9) obţinem ecuaţia strofoidei oblice în coordonate polare:

\rho = - a \frac{\sin (\alpha - 2 \theta)}{\sin (\alpha - \theta)}. \!   (11)

Resurse Edit

Also on Fandom

Random Wiki