Fandom

Math Wiki

Spirala lui Arhimede

1.029pages on
this wiki
Add New Page
Comments0 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Spirala lui Arhimede cover image.png

Spirala lui Arhimede este o curbă plană descrisă de un punct ce parcurge uniform (cu viteza v) o dreaptă care se roteşte (cu viteza constantă \omega \!) în jurul unui punct fix al ei.

Ecuaţia curbei în coordonate polare (reperul fiind format cu poziţiile iniţiale ale punctului şi dreptei) este:

\rho = a \theta,  \! unde a= \frac {v}{\omega}. \!

Aplicând metoda de aproximare prin exhaustie (ce conţine germenii calculului integral), Arhimede (sec. III î.Hr.) a demonstrat că aria primei spire este \frac 1 3 \! din aria cercului cu raza egală cu aceea a punctului terminal:

Archimede-spirale.gif
A= \frac {4a^2 \pi^3}{3}. \!

Aria sectorului (OM_1M_2) \! este:

A= \frac {a^2}{6}(\theta_2^3 - \theta_1^3). \!

Lungimea unui arc OM se calculează prin formula:

L = \frac a 2 (\theta \sqrt {\theta^2 +1}+ argsh \; \theta). \!


Proprietăţile acestei spirale au fost stabilite de Arhimede (Peri elicon), iar descoperirea ei se datorează, după cum menţionează însuşi Arhimede, lui Conon din Samos (sec. III î.Hr.).

Construcţie Edit

Fie dreapta XX' şi O un punct fix pe XX'. Fie UV o dreaptă arbitrară prin O şi fie M un punct pe UV. Deplasăm punctul M pe dreapta UV în timp ce rotim UV uniform în jurul punctului O. Curba descrisă de M în urma acestei mişcări este spirala lui Arhimede.


Observaţie. Distanţa OM este proporţională cu unghiul de rotaţie al dreptei UV. O mişcare de revoluţie completă este asociată cu aceeaşi deplasare MM_1 = a . \! Dreapta UV are două sensuri de rotaţie, fiecărui sens îi corespunde o spirală; rotaţiei în sensul acelor de ceasornic îi corespunde spirala stângă, rotaţiei în sens opus acelor de ceasornic îi corespunde spirala dreaptă. Pentru un a dat, cele două spirale sunt în oglindă.


Acum să trecem la construcţia propriu-zisă:

Fie O un punct arbitrar şi k un parametru dat. Construim cercul de centru O şi rază k = ON. \! Împărţim cercul într-un număr n arbitrar de arce egale. Notăm cu b_0, b_1, \cdots \! punctele astfel obţinute. Fără a restrânge generalitatea, presupunem n =12. \! Prelungim raza Ob_0 \! în direcţia lui b_0 \! cu un segment OA_1 = 2 \pi k. \! Împărţim OA_1 \! în acelaşi număr de părţi egale. Pe razele Ob_1, Ob_2, \cdots \! construim segmentele OD_1= \frac 1 n OA_1, \; OD_2 = \frac 2 n OA_1, \cdots \! Obţinem punctele D_1, D_2, D_3, \cdots \! ale primei mişcări de revoluţie a spiralei. Pe OD_1, OD_2, OD_3, \cdots \! luăm punctele E_1, E_2, E_3, \cdots \! astfel încât D_1E_1 = D_2E_2 = \cdots =OA_1. \! Procedeul continuă atât timp cât este necesar.

Vezi şi Edit

Resurse Edit

Also on Fandom

Random Wiki