Fandom

Math Wiki

Spațiu vectorial

1.029pages on
this wiki
Add New Page
Comments0 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Vector space illust.GIF
Spaţii abstracte.png

Spaţiile abstracte ale matematicii superioare. Săgeata indică incluziunea: Mulţimile din originea săgeţii sunt incluse în cele din vârf.

LbN6I.jpg

Definiție Edit

DEFINIȚIA 1. Se numește spațiu vectorial sau spațiu liniar peste un corp K, o mulțime nevidă V dotată cu două operații, +: V \times V \rightarrow V \! și \cdot : K \times V \rightarrow V, \! cu proprietățile:

I. (V, +) \! este grup abelian adică posedă proprietăţile:

a)  (u+v)+w = u+ (v+w), \; \forall u,v,w \in V (asociativitate)
b)  \exists 0_V \in V, astfel ca  u+ 0_V = 0_V+ u, \; \forall u \in V (existenţă vector nul)
c)  \forall u \in V , \; \exists (-u) \in V astfel ca  u+ (-u) = (-u)+u=0_V (existenţă vector opus)
d)  u+v= v+u, \; \forall u,v \in V (comutativitate)


II. a) (\alpha + \beta) \cdot x = \alpha \cdot x + \beta \cdot x, \; \forall \alpha, \beta \in K, \; \forall x \in V; \!

b) \alpha \cdot (x+y) = \alpha \cdot x + \alpha \cdot y, \; \forall \alpha \in K, \; \forall x, y \in V; \!
c) (\alpha \beta) \cdot x = \alpha \cdot (\beta \cdot x), \; \forall \alpha, \beta \in K, \; \forall x \in V; \!
d) 1_K \cdot x=x, \; \forall x \in V,  \! unde 1_K \! este elementul neutru al operației de înmulțire din K.

Elementele lui K se numesc scalari, iar ale lui V se numesc vectori.

Exemple de spații vectoriale Edit

\bullet \; \; (\mathbb R^n, \mathbb R) \! este spațiul vectorial numeric real n-dimensional, unde \mathbb R^n = \{ (x_1, x_2, \cdots , x_n) \; | \; x_i \in \mathbb R, i=\overline {1, n} \}. \!

\bullet \; \; (M_{m,n}(\mathbb R), \mathbb R) \! este spațiul vectorial real al matricelor de tipul (m,n) \! cu elemente numere reale.

\bullet \; \; (\mathbb R[X], \mathbb R) \! este spațiul vectorial real al polinoamelor în nedeterminata X, cu coeficienți reali.

\bullet \; \; (\mathbb R[X], \mathbb R) \! este spațiul vectorial real al funcțiilor de grad cel mult n, în nedeterminata X, cu coeficienți reali.

\bullet \; \; ( F[a, b], \mathbb R) \! este spațiul vectorial real al funcțiilor reale definite pe intervalul [a, b]. \!

\bullet \!  Mulțimea tuturor soluțiilor unei ecuații diferențiale liniare omogene

\bullet \!  Mulțimea seriilor convergente formează un spațiu vectorial.


DEFINIȚIA 2. Fie (V, K) \! un spațiu vectorial și W \subset V, \; W \neq \empty. \! Spunem că W este subspațiu vectorial al spațiului vectorial (V, K) \! dacă:

1) \forall \; x, y \in W \; \Rightarrow \; x+y \in W; \!

2) \forall \; \alpha \in K, x \in W \; \Rightarrow \; \alpha \cdot x \in W.  \!

OBSERVAȚIE. Un subspațiu vectorial are o structură de spațiu vectorial în raport cu operațiile induse.

EXEMPLUL 1. Considerăm operațiile:

\oplus : \mathbb R_+^* \times \mathbb R^*_+ \rightarrow \mathbb R^*_+ \! și \otimes : \mathbb R_+^* \times \mathbb R^*_+ \rightarrow \mathbb R^*_+, \!
x \oplus y = x \cdot y, \; \alpha \otimes x = x^{\alpha}, \; \forall \; x, y \in \mathbb R^*_+, \forall \; \alpha \in \mathbb R, \!

unde "\cdot \!" este înmulțirea numerelor reale.

Să arătăm că \mathbb R^*_+ \! împreună cu cele două operații formează un spațiu vectorial real.

Verificăm condițiile din definiția 1:

I. a) Fie x, y \in \mathbb R^*_+; \! rezultă că x \oplus y = x \cdot y = y \cdot x = y \oplus x, \! conform comutativității înmulțirii numerelor reale.

b) Fie x, y, z \in \mathbb R^*_+; \! rezultă că:
(x \oplus y) \oplus z  = (x \cdot y) \cdot z = x \cdot (y \cdot z) = x \oplus (y \oplus z), \!

în baza asociativității înmulțirii numerelor reale.


c) Numărul real 1 este elementul neutru față de operația \oplus: \!
x \oplus 1 = 1 \oplus x = x, \; \forall \; x \in \mathbb R^*_+. \!
d) \forall \; x \in \mathbb R^*_+, \; \exists x^{-1} = \frac 1 x \in \mathbb R^*_+ \! astfel încât:
x \oplus x^{-1} = x^{-1} \oplus x = x \cdot \frac 1 x = 1. \!

II. a) Fie \alpha, \beta \in \mathbb R, \; x \in \mathbb R^*_+. \! Rezultă că:

(\alpha + \beta) \otimes x = x^{\alpha + \beta} = x^{\alpha} \cdot x^{\beta} = \alpha \otimes x \oplus \beta \otimes x. \!
b) Fie \alpha \in \mathbb R, \; x, y \in \mathbb R^*_+. \! Rezultă că:
\alpha \otimes (x \oplus y) = (x \oplus y)^{\alpha} = (x \cdot y)^{\alpha} = x^{\alpha} \cdot y^{\alpha} = (\alpha \otimes x) \oplus (\alpha \otimes y). \!
c) Fie \alpha, \beta \in \mathbb R, \; x \in \mathbb R^*_+. \! Rezultă că:
(\alpha \beta) \otimes x = x^{\alpha \beta} = x^{\beta \alpha}= (x^{\beta})^{\alpha} = \alpha \otimes (x^{\beta}) = \alpha \otimes (\beta \otimes x) . \!
d) Fie x \in \mathbb R^*_+; \! rezultă că:
1_R \otimes x = x^1 = x. \!

Conform definiției 1, din I și II rezultă că \mathbb R^*_+ \! împreună cu cele două operații formează un spațiu vectorial real.

EXEMPLUL 2. Mulțimea:

V = \{ (x_1, x_2, \cdots , x_n)^t \; | \; x_i \in \mathbb R, \; i= \overline {1, n}, \; x_1+x_{n-1} = 0  \}, \!

împreună cu adunarea vectorilor din \mathbb R^n \! și înmulțirea acestora cu scalari, formează un spațiu vectorial real.

Demonstrație:

Deoarece V \subset \mathbb R^n \! și (\mathbb R^n, \mathbb R) \! este spațiu vectorial, conform observației din breviarul teoretic este suficient de arătat că V este un subspațiu al spațiului (\mathbb R^n, \mathbb R). \!


1) Fie x, y \in V. \! Rezultă că x = (x_1, x_2, \cdots , x_n)^t, \; x_i, \; i= \overline {1, n},  \! cu x_n + x_{n+1} = 0  \! și y= (y_1, y_2, \cdots , y_n)^t, \; y_i \in \mathbb R, \; i = \overline {1, n} \! cu y_1+y_{n-1} = 0. \! Avem că:
x+y = (x_1 + y_1, x_2+ y_2, \cdots , x_n + y_n)^t, \; x_i+y_i \in \mathbb R, \; i = \overline {1, n}, \!
(x+y)_1 + (x+y)_{n-1} = x_1 + y_1 + x_{n-1} + y_{n-1}=0, \! prin urmare x+y \in V. \!
2) Fie \alpha \in \mathbb R, \; x \in V. \! Rezultă că:
\alpha x = (\alpha x_1, \alpha x_2, \cdots , \alpha x_n)^t, \; \alpha x_i \in \mathbb R, \; i= \overline {1, n}, \!
(\alpha x)_1 + (\alpha x)_{n-1} = \alpha (x_1 + x_{n-1}) =0,  \! deci \alpha x \in V. \!

Conform definiției 2, din 1) și 2) rezultă că V este un subspațiu vectorial al spațiului (\mathbb R^n, \mathbb R), \! deci V este un spațiu vectorial real.

Probleme propuse Edit

1. Să se arate că mulțimea:
\mathcal C_{[a,b]} = \{ f \; | \; f: [a,b] \rightarrow \mathbb R, \; f continuă pe [a, b] \}, \! împreună cu operațiile de adunare a funcțiilor și de înmulțire a funcțiilor cu scalari formează un spațiu vectorial peste \mathbb R. \!
2. Să se arate că mulțimea M_{m,n}(\mathbb R) \! a matricelor cu m linii și n coloane și elemente numere reale are o structură de spațiu vectorial real în raport cu operațiile de adunare a matricelor și de înmulțire a acestora cu scalari reali.


3. Să se arate că mulțimea:
A = \left \{ \begin{pmatrix} 0 & a & b \\ c & 0 & d \end{pmatrix}; \; a, b, c, d \in \mathbb R, \; c=a+b  \right \} \!

împreună cu operațiile de adunare a matricelor și de înmulțire a acestora cu scalari reali formează un spațiu vectorial peste \mathbb R. \!


4. Considerăm operațiile:
\oplus : (\mathbb R^*_+)^2 \times (\mathbb R^*_+)^2 \rightarrow (\mathbb R^*_+)^2 \!

și

\otimes : (\mathbb R^*_+)^2 \times (\mathbb R^*_+)^2 \rightarrow (\mathbb R^*_+)^2, \!

cu

(x_1, x_2) \oplus (y_1, y_2) = (x_1 \cdot y_1,  x_2 \cdot y_2), \!
\alpha \otimes (x_1, x_2)= (x^{\alpha}_1, x^{\alpha}_2), \; \forall \; x, y \in \mathbb R^*_+, \; \forall \; \alpha \in \mathbb R. \!

Să se studieze dacă (\mathbb R^*_+)^2 \! împreună cu cele două operații formează un spațiu vectorial real.


5. Să se arate că mulțimea:
A = \left \{ \begin{pmatrix} \overline a & \overline b \\ b & a \end{pmatrix}; \; a, b \in \mathbb C  \right \} \!

(unde \overline a \! reprezintă conjugatul numărului complex a), împreună cu operațiile de adunare a matricelor și de înmulțire a acestora cu scalari reali formează un spațiu vectorial peste \mathbb C. \!


6. Să se arate că următoarele mulțimi sunt subspații vectoriale ale spațiilor vectoriale indicate:
a) \mathbb R_n[X] \subset \mathbb R[X]; \!
b) \left \{ (a, 0, b)^t \; | \; a, b \in \mathbb R \right \} \subset \mathbb R^3; \!
c) \left \{ 2a X^5 + b X^2 \; | \; a, b \in \mathbb R \right \} \subset \mathbb R[X]; \!
d) \left \{ (x_1, x_2, x_3)^t  \; | \; x_i \in \mathbb R, \; i= \overline {1, 3}, \; x_1 = 3 x_2, \; x_1 + x_2 = x_3 \right \} \subset \mathbb R^3. \!

Vezi și Edit

   
 
Spațiu Banach   Spațiu vectorial  
 
 
Spațiu topologic
 


Resurse Edit

Also on Fandom

Random Wiki