FANDOM


Vector space illust
Spaţii abstracte

Spaţiile abstracte ale matematicii superioare. Săgeata indică incluziunea: Mulţimile din originea săgeţii sunt incluse în cele din vârf.

LbN6I

Definiție Edit

DEFINIȚIA 1. Se numește spațiu vectorial sau spațiu liniar peste un corp K, o mulțime nevidă V dotată cu două operații, $ +: V \times V \rightarrow V \! $ și $ \cdot : K \times V \rightarrow V, \! $ cu proprietățile:

I. $ (V, +) \! $ este grup abelian adică posedă proprietăţile:

a) $ (u+v)+w = u+ (v+w), \; \forall u,v,w \in V $ (asociativitate)
b) $ \exists 0_V \in V, $ astfel ca $ u+ 0_V = 0_V+ u, \; \forall u \in V $ (existenţă vector nul)
c) $ \forall u \in V , \; \exists (-u) \in V $ astfel ca $ u+ (-u) = (-u)+u=0_V $ (existenţă vector opus)
d) $ u+v= v+u, \; \forall u,v \in V $ (comutativitate)


II. a) $ (\alpha + \beta) \cdot x = \alpha \cdot x + \beta \cdot x, \; \forall \alpha, \beta \in K, \; \forall x \in V; \! $

b) $ \alpha \cdot (x+y) = \alpha \cdot x + \alpha \cdot y, \; \forall \alpha \in K, \; \forall x, y \in V; \! $
c) $ (\alpha \beta) \cdot x = \alpha \cdot (\beta \cdot x), \; \forall \alpha, \beta \in K, \; \forall x \in V; \! $
d) $ 1_K \cdot x=x, \; \forall x \in V, \! $ unde $ 1_K \! $ este elementul neutru al operației de înmulțire din K.

Elementele lui $ K $ se numesc scalari, iar ale lui $ V $ se numesc vectori.

Exemple de spații vectoriale Edit

$ \bullet \; \; (\mathbb R^n, \mathbb R) \! $ este spațiul vectorial numeric real n-dimensional, unde $ \mathbb R^n = \{ (x_1, x_2, \cdots , x_n) \; | \; x_i \in \mathbb R, i=\overline {1, n} \}. \! $

$ \bullet \; \; (M_{m,n}(\mathbb R), \mathbb R) \! $ este spațiul vectorial real al matricelor de tipul $ (m,n) \! $ cu elemente numere reale.

$ \bullet \; \; (\mathbb R[X], \mathbb R) \! $ este spațiul vectorial real al polinoamelor în nedeterminata X, cu coeficienți reali.

$ \bullet \; \; (\mathbb R[X], \mathbb R) \! $ este spațiul vectorial real al funcțiilor de grad cel mult n, în nedeterminata X, cu coeficienți reali.

$ \bullet \; \; ( F[a, b], \mathbb R) \! $ este spațiul vectorial real al funcțiilor reale definite pe intervalul $ [a, b]. \! $

$ \bullet \! $  Mulțimea tuturor soluțiilor unei ecuații diferențiale liniare omogene

$ \bullet \! $  Mulțimea seriilor convergente formează un spațiu vectorial.


DEFINIȚIA 2. Fie $ (V, K) \! $ un spațiu vectorial și $ W \subset V, \; W \neq \empty. \! $ Spunem că W este subspațiu vectorial al spațiului vectorial $ (V, K) \! $ dacă:

1) $ \forall \; x, y \in W \; \Rightarrow \; x+y \in W; \! $

2) $ \forall \; \alpha \in K, x \in W \; \Rightarrow \; \alpha \cdot x \in W. \! $

OBSERVAȚIE. Un subspațiu vectorial are o structură de spațiu vectorial în raport cu operațiile induse.

EXEMPLUL 1. Considerăm operațiile:

$ \oplus : \mathbb R_+^* \times \mathbb R^*_+ \rightarrow \mathbb R^*_+ \! $ și $ \otimes : \mathbb R_+^* \times \mathbb R^*_+ \rightarrow \mathbb R^*_+, \! $
$ x \oplus y = x \cdot y, \; \alpha \otimes x = x^{\alpha}, \; \forall \; x, y \in \mathbb R^*_+, \forall \; \alpha \in \mathbb R, \! $

unde "$ \cdot \! $" este înmulțirea numerelor reale.

Să arătăm că $ \mathbb R^*_+ \! $ împreună cu cele două operații formează un spațiu vectorial real.

Verificăm condițiile din definiția 1:

I. a) Fie $ x, y \in \mathbb R^*_+; \! $ rezultă că $ x \oplus y = x \cdot y = y \cdot x = y \oplus x, \! $ conform comutativității înmulțirii numerelor reale.

b) Fie $ x, y, z \in \mathbb R^*_+; \! $ rezultă că:
$ (x \oplus y) \oplus z = (x \cdot y) \cdot z = x \cdot (y \cdot z) = x \oplus (y \oplus z), \! $

în baza asociativității înmulțirii numerelor reale.


c) Numărul real 1 este elementul neutru față de operația $ \oplus: \! $
$ x \oplus 1 = 1 \oplus x = x, \; \forall \; x \in \mathbb R^*_+. \! $
d) $ \forall \; x \in \mathbb R^*_+, \; \exists x^{-1} = \frac 1 x \in \mathbb R^*_+ \! $ astfel încât:
$ x \oplus x^{-1} = x^{-1} \oplus x = x \cdot \frac 1 x = 1. \! $

II. a) Fie $ \alpha, \beta \in \mathbb R, \; x \in \mathbb R^*_+. \! $ Rezultă că:

$ (\alpha + \beta) \otimes x = x^{\alpha + \beta} = x^{\alpha} \cdot x^{\beta} = \alpha \otimes x \oplus \beta \otimes x. \! $
b) Fie $ \alpha \in \mathbb R, \; x, y \in \mathbb R^*_+. \! $ Rezultă că:
$ \alpha \otimes (x \oplus y) = (x \oplus y)^{\alpha} = (x \cdot y)^{\alpha} = x^{\alpha} \cdot y^{\alpha} = (\alpha \otimes x) \oplus (\alpha \otimes y). \! $
c) Fie $ \alpha, \beta \in \mathbb R, \; x \in \mathbb R^*_+. \! $ Rezultă că:
$ (\alpha \beta) \otimes x = x^{\alpha \beta} = x^{\beta \alpha}= (x^{\beta})^{\alpha} = \alpha \otimes (x^{\beta}) = \alpha \otimes (\beta \otimes x) . \! $
d) Fie $ x \in \mathbb R^*_+; \! $ rezultă că:
$ 1_R \otimes x = x^1 = x. \! $

Conform definiției 1, din I și II rezultă că $ \mathbb R^*_+ \! $ împreună cu cele două operații formează un spațiu vectorial real.

EXEMPLUL 2. Mulțimea:

$ V = \{ (x_1, x_2, \cdots , x_n)^t \; | \; x_i \in \mathbb R, \; i= \overline {1, n}, \; x_1+x_{n-1} = 0 \}, \! $

împreună cu adunarea vectorilor din $ \mathbb R^n \! $ și înmulțirea acestora cu scalari, formează un spațiu vectorial real.

Demonstrație:

Deoarece $ V \subset \mathbb R^n \! $ și $ (\mathbb R^n, \mathbb R) \! $ este spațiu vectorial, conform observației din breviarul teoretic este suficient de arătat că V este un subspațiu al spațiului $ (\mathbb R^n, \mathbb R). \! $


1) Fie $ x, y \in V. \! $ Rezultă că $ x = (x_1, x_2, \cdots , x_n)^t, \; x_i, \; i= \overline {1, n}, \! $ cu $ x_n + x_{n+1} = 0 \! $ și $ y= (y_1, y_2, \cdots , y_n)^t, \; y_i \in \mathbb R, \; i = \overline {1, n} \! $ cu $ y_1+y_{n-1} = 0. \! $ Avem că:
$ x+y = (x_1 + y_1, x_2+ y_2, \cdots , x_n + y_n)^t, \; x_i+y_i \in \mathbb R, \; i = \overline {1, n}, \! $
$ (x+y)_1 + (x+y)_{n-1} = x_1 + y_1 + x_{n-1} + y_{n-1}=0, \! $ prin urmare $ x+y \in V. \! $
2) Fie $ \alpha \in \mathbb R, \; x \in V. \! $ Rezultă că:
$ \alpha x = (\alpha x_1, \alpha x_2, \cdots , \alpha x_n)^t, \; \alpha x_i \in \mathbb R, \; i= \overline {1, n}, \! $
$ (\alpha x)_1 + (\alpha x)_{n-1} = \alpha (x_1 + x_{n-1}) =0, \! $ deci $ \alpha x \in V. \! $

Conform definiției 2, din 1) și 2) rezultă că V este un subspațiu vectorial al spațiului $ (\mathbb R^n, \mathbb R), \! $ deci V este un spațiu vectorial real.

Probleme propuse Edit

1. Să se arate că mulțimea:
$ \mathcal C_{[a,b]} = \{ f \; | \; f: [a,b] \rightarrow \mathbb R, \; $ f continuă pe $ [a, b] \}, \! $ împreună cu operațiile de adunare a funcțiilor și de înmulțire a funcțiilor cu scalari formează un spațiu vectorial peste $ \mathbb R. \! $
2. Să se arate că mulțimea $ M_{m,n}(\mathbb R) \! $ a matricelor cu m linii și n coloane și elemente numere reale are o structură de spațiu vectorial real în raport cu operațiile de adunare a matricelor și de înmulțire a acestora cu scalari reali.


3. Să se arate că mulțimea:
$ A = \left \{ \begin{pmatrix} 0 & a & b \\ c & 0 & d \end{pmatrix}; \; a, b, c, d \in \mathbb R, \; c=a+b \right \} \! $

împreună cu operațiile de adunare a matricelor și de înmulțire a acestora cu scalari reali formează un spațiu vectorial peste $ \mathbb R. \! $


4. Considerăm operațiile:
$ \oplus : (\mathbb R^*_+)^2 \times (\mathbb R^*_+)^2 \rightarrow (\mathbb R^*_+)^2 \! $

și

$ \otimes : (\mathbb R^*_+)^2 \times (\mathbb R^*_+)^2 \rightarrow (\mathbb R^*_+)^2, \! $

cu

$ (x_1, x_2) \oplus (y_1, y_2) = (x_1 \cdot y_1, x_2 \cdot y_2), \! $
$ \alpha \otimes (x_1, x_2)= (x^{\alpha}_1, x^{\alpha}_2), \; \forall \; x, y \in \mathbb R^*_+, \; \forall \; \alpha \in \mathbb R. \! $

Să se studieze dacă $ (\mathbb R^*_+)^2 \! $ împreună cu cele două operații formează un spațiu vectorial real.


5. Să se arate că mulțimea:
$ A = \left \{ \begin{pmatrix} \overline a & \overline b \\ b & a \end{pmatrix}; \; a, b \in \mathbb C \right \} \! $

(unde $ \overline a \! $ reprezintă conjugatul numărului complex a), împreună cu operațiile de adunare a matricelor și de înmulțire a acestora cu scalari reali formează un spațiu vectorial peste $ \mathbb C. \! $


6. Să se arate că următoarele mulțimi sunt subspații vectoriale ale spațiilor vectoriale indicate:
a) $ \mathbb R_n[X] \subset \mathbb R[X]; \! $
b) $ \left \{ (a, 0, b)^t \; | \; a, b \in \mathbb R \right \} \subset \mathbb R^3; \! $
c) $ \left \{ 2a X^5 + b X^2 \; | \; a, b \in \mathbb R \right \} \subset \mathbb R[X]; \! $
d) $ \left \{ (x_1, x_2, x_3)^t \; | \; x_i \in \mathbb R, \; i= \overline {1, 3}, \; x_1 = 3 x_2, \; x_1 + x_2 = x_3 \right \} \subset \mathbb R^3. \! $

Vezi și Edit

   
 
Spațiu Banach   Spațiu vectorial  
 
 
Spațiu topologic
 


Resurse Edit