Fandom

Math Wiki

Spațiu metric

1.029pages on
this wiki
Add New Page
Comments0 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Spaţii abstracte.png

Spaţiile abstracte ale matematicii superioare. Săgeata indică incluziunea: Mulţimile din originea săgeţii sunt incluse în cele din vârf.

Introducere Edit

Spațiile metrice au fost introduse la începutul secolului XX de matematicianul francez Maurice René Fréchet și constituie cadrul natural de prezentare a principiului contracției, care stă la baza demonstrării unor teoreme fundamentale din matematică, cum ar fi: teorema funcțiilor implicite, teorema de existență și unicitate pentru ecuații și sisteme de ecuații diferențiale (integrale) etc. De asemenea, spațiile metrice oferă un cadru suficient de general, relativ simplu, pentru studiul limitelor de funcții (șiruri) și a continuității funcțiilor.

Definiție Edit

Un spaţiu metric este un cuplu (X, d), \! unde X este o mulțime nevidă, ale cărei elemente se numesc puncte, iar d: X \times X \rightarrow \mathbb R_+ \! o aplicație, numită funcție-distanță sau metrică a spațiului, cu proprietățile:

(\mathbf{D_1}) \!     d(x,y) \ge 0, \; \forall x, y \in  X și d(x, y) =0 \! dacă și numai dacă x=y \!.
(\mathbf{D_2}) \!     d(x, y) = d(y, x), \; \forall x, y \in X   (simetrie)
(\mathbf{D_3}) \!     d(x, y) \le d(x, z) + d(z, y), \; \forall x, y \in X.   (inegalitatea triunghiulară)

Consecințe Edit

Propoziția 1.

d(x, y) \ge 0, \; \forall x, y \in X. \!

Într-adevăr:

0 \; \overset{D_1}{=} \; d(x, x) \overset{D_3}{\le} \; d(x, y) + d(y, x)  \overset{D_2}{=} \; d(x, y) + d(x, y) = 2 d (x, y). \!


Propoziția 2. Dacă (X, d) \! este spațiu metric și Y \subset X, \! atunci Y \times Y \subset X \times X \! și restricția d_0 \! a lui d \! la Y \times Y \! este o metrică pe Y (numită metrica indusă de metrica din X), în raport cu cuplul (Y, d_0) \! devine spațiu metric (numit subspațiu metric al lui (X, d) \!).


Propoziția 3. Dacă (\mathcal X, d) \! este un spațiu metric, atunci:


 |d(x_1, x_2) - d(x_3, x_4)| \le d(x_1, x_3) + d(x_2, x_4), \; \forall x_i \in \mathcal X, \; i= \overline {1, 4}. \!

Demonstrație Din proprietatea c) a distanței rezultă:

d(x_1, x_2) \le d(x_1, x_3) + d(x_3, x_4) + d(x_4, x_2) \!
d(x_3, x_4) \le d(x_3, x_1) + d(x_1, x_2) + d(x_2, x_4). \!

ținând seama și de proprietatea b) obținem:

d(x_1, x_2) - d(x_3, x_4) \le d(x_1, x_3) + d(x_2, x_4) \!   (3.1)
d(x_1, x_2) - d(x_3, x_4) \ge - \left [d(x_1, x_3)+ d(x_2, x_4) \right ] \!   (3.2)

Din (3.1) și (3.2) rezultă:

|d(x_1, x_2) - d(x_3, x_4)|  \le  d(x_1, x_3) + d (x_2, x_4). \!

Exemple de spații metrice Edit

1. Mulțimea \Gamma \! a numerelor reale este spațiu metric în raport cu distanța euclidiană.

 d(x, y) = |x-y|, \; \forall x, y \in \Gamma. \!

Facem observația că pe \Gamma \! se pot introduce și alte distanțe, de exemplu:

d(x,y) = \sqrt{|x-y|} \! sau  d(x, y)= \frac {|x-y|}{1+|x-y|}. \!

2. Mulțimea \mathbb R^n = \{ x= (x_1, x_2, \cdots, x_n); \; x_i \in \mathbb R , \; i = \overline {1, n} \} \! este un spațiu metric în raport cu distanța definită de

d(x, y) = \max_{1 \le i \le n} |x_i - x_j|, \! unde x= (x_1, x_2, \cdots, x_n) \! și y= (y_1, y_2, \cdots , y_n) \! sunt elemente oarecare din \mathbb R^n. \!

Verificarea proprietăților a) - c) este imediată.

Spatiu metric 1.png

Spatiu metric 2.png

Spatiu metric 3.png

Spatiu metric 4.png

Spatiu metric 5.png

Spatiu metric 6.png

Spatiu metric 7.png

Spatiu metric 8.png

Spatiu metric 9.png

Spatiu metric 10.png

Spatiu metric 11.png

Spatiu metric 12.png

Spatiu metric 13.png

Spatiu metric 14.png

Spatiu metric 15.png

Spatiu metric 16.png

Spatiu metric 17.png


Vezi și Edit

Resurse Edit

Also on Fandom

Random Wiki