Fandom

Math Wiki

Spațiu afin

1.029pages on
this wiki
Add New Page
Comments0 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Variations of Rhombic Icosahedron.png

Fie \mathbb N \! - mulţimea numerelor naturale, \mathbb Z \! - mulţimea numerelor întregi, \mathbb Q \! - mulţimea numerelor raţionale, \mathbb R \! - mulţimea numerelor reale şi \mathbb C \! - mulţimea numerelor complexe.

Un spaţiu vectorial real (respectiv complex) este o mulţime \mathbf V \! pe care este definită o operaţie internă, notată prin simbolul + şi o operaţie de înmulţire cu elemente din \mathbb R \! (respectiv \mathbb C \!) - numite scalari \! Notăm prin \underline v \! ansamblul (\mathbf V, +, \cdot), \! când mulţimea de scalari este fixată. Elementele mulţimii \mathbf V \! se numesc vectori. Adunarea vectorilor este comutativă (i_1), \! asociativă (i_2), \! mulţimea \mathbf V \! conţine elementul zero (i_3) \! şi orice vector are asociat un vector opus (i_4): \!

(i_1) \!    \mathbf u + \mathbf v = \mathbf v + \mathbf u,  \! oricare ar fi \mathbf u, \mathbf v \in \mathbf V. \!
(i_2) \!    (\mathbf u + \mathbf v)  + \mathbf w = \mathbf u + (\mathbf v + \mathbf w),\! oricare ar fi \mathbf u, \mathbf v, \mathbf w \in \mathbf V. \!
(i_3) \!    există vectorul 0 \in \mathbf V \! astfel încât \mathbf u + 0 = 0 + \mathbf u = \mathbf u, \! oricare ar fi \mathbf u \in \mathbf V. \!
(i_4) \!    Pentru oricare \mathbf u \in \mathbf V \! există un unic vector (în mulţimea \mathbf V \!), notat cu (- \mathbf u), \! astfel încât: \mathbf u + (- \mathbf u) = 0. \!


Elementele mulţimii \mathbb R \! (respectiv \mathbb C \!) se mai numesc scalari, deoarece descriu mărimi care nu depind de vreun sistem de referinţă. Înmulţirea cu scalari asociază fiecărui vector \mathbf v \in \mathbf V \! şi fiecărui scalar m \in \mathbb R \! (respectiv \mathbb C \!), vectorul (m \mathbf v) \in \mathbf V \! şi este supusă următoarelor axiome:

(i_5) \!    (m+n) \mathbf u  = m \mathbf u + n \mathbf u ,\! oricare ar fi m, n \in \mathbb R \! (respectiv \mathbb C \!) şi \mathbf u \in \mathbf V. \!
(i_6) \!    m (\mathbf u + \mathbf v) = m (\mathbf u + \mathbf v) \!, oricare ar fi m \in \mathbb R \! (respectiv \mathbb C \!) şi \mathbf u, \mathbf v \in \mathbf V. \!
(i_7) \!    m(n \mathbf u) = (mn) \mathbf u, \! oricare ar fi m, n \in \mathbb R \! (respectiv \mathbb C \!) \mathbf u \in \mathbf V. \!
(i_8) \!    1 \mathbf u  = \mathbf u, \! oricare ar fi \mathbf u \in \mathbf V, \! unde 1 \in \mathbb R \! (respectiv \mathbb C. \!)

Axiomele (i_5) \! şi (i_6) \! descriu faptul că înmulţirea vectorilor cu scalari este distributivă faţă de adunarea scalarilor , respectiv vectorilor. Axioma (i_7) \! indică un tip de asociativitate cu care are de-a face atât înmulţirea vectorilor cu scalari cât şi înmulţirea scalarilor.


În cadrul geometriei euclidiene, imaginea geometrică a unui vector este un segment de dreaptă AB \! pe care este definit un sens de la A la B. Punctul A se numeşte originea vectorului sau punctul său de aplicaţie, iar punctul B este ectremitatea vectorului. Vectorul AB, din punct de vedere geometric, este caracterizat prin: originea A, suportul definit de dreapta AB, sensul de parcurs de la A la B şi mărimea sau modulul vectorului, care este lungimea segmentului AB (notată |AB| \!). Un vector pentru care aceste elemente sunt fixate se numeşte vector legat. În grafica pe calculator, se utilizează vectorii alunecători sau liberi, pentru care punctul de aplicaţie nu mai are un rol esenţial.

Mulţimea vectorilor de poziţie dintr-un plan, cu originea într-un punct al acestuia este spaţiul vectorial peste \mathbb R \! în raport cu adunarea vectorilor (după regula paralelogramului) şi înmulţirea vectorilor cu scalari. Considerân mulţimea \mathbb R^3, \! a tripletelor de numere reale (x, y, z), \! se obţine un spaţiu vectorial definind:

\mathbf u + \mathbf v = (x_1 + x_2, y_1 + y_2, z_1 + z_2) \!

şi

k \mathbf w = (kx, ky, kz). \!

unde \mathbf u = (x_1, y_1, z_1), \mathbf v = (x_2, y_2, z_2) \! şi \mathbf w = (x, y, z). \! Extinderea pentru mulţimea \mathbb R^n \! este imediată.


Mulţimea matricelor \mathcal M_{m \times n} \! - cu m linii, n coloane şi elemente din mulţimea \mathbb R \! - este un spaţiu vectorial real (peste \mathbb R \!) în raport cu adunarea matricelor şi înmulţirea matricelor cu scalari:

A + B = (a_{ij} + b_{ij})_{1 \le i \le m, \; 1 \le j \le n}, \!
kA = (ka_{ij})_{1 \le i \le m, \; 1 \le j \le n}. \!


Mulţimea polinoamelor de grad cel mult n, în nedeterminata X se poate organiza ca un spaţiu vectorial real dacă considerăm operaţiile: adunarea polinoamelor şi înmulţirea unui polinom cu un scalar:

\mathbf p+\mathbf q= (p_n+q_n) X^n +  (p_{n-1}+q_{n-1}) X^{n-1} + \cdots + (p_0 + q_0),  \!
k \mathbf p= p_n X^n + p_{n-1} X^{n-1} + \cdots + p_0, \;\; \mathbf q= q_n X^n + q_{n-1} X^{n-1} + \cdots + q_0,  \! iar k \in \mathbb R. \!

De asemenea, polinoamele de forma:

a_0 (x^2 + y^2) + a_1x + a_2y + a_3=0, \! cu a_1, a_2, a_3 \in \mathbb R \! (respectiv \mathbb C \!)

formează un spaţiu vectorial, strâns legat de mulţimea cercurilor din plan.


Fie \mathbf v_1, \mathbf v_2, \cdots , \mathbf v_n  \! vectori oarecare din spaţiul V şi n scalari k_1, k_2, \cdots , k_n. \! O expresie de forma k_1 \mathbf v_1  + k_2 \mathbf v_2 + \cdots + k_n \mathbf v_n \! se numeşte combinaţie liniară a vectorilor consideraţi. Elementul rezultat în urma evaluării expresiei este tot un vector ( conform regulilor i_1 - i_7 \!). Mulţimea \mathbf S \! a tuturor combinaţiilor liniare ale vectorilor \mathbf v_1, \mathbf v_2, \cdots , \mathbf v_n  \! se numeşte spaţiul generat de vectorii \mathbf v_1, \mathbf v_2, \cdots , \mathbf v_n.  \! Este uşor de văzut că \mathbf S \! este un spaţiu vectorial peste \mathbb R \! (respectiv \mathbb C \!). Vectorii \mathbf v_1, \mathbf v_2, \cdots , \mathbf v_n  \! se numesc linar independenţi dacă din k_1 \mathbf v_1  + k_2 \mathbf v_2 + \cdots + k_n \mathbf v_n \! (în \mathbf V \!) rezultă k_1=k_2= \cdots = k_n=0 \! (în \mathbb R, \! respectiv \mathbb C \!).


Fie \mathbf v_1, \mathbf v_2, \cdots , \mathbf v_n  \! o mulţime de vectori din \mathbf V, \! iar \mathbf S \! spaţiul generat de aceştia. Dacă cei n vectori sunt liniar independenţi, se spune că ei formează o bază a spaţiului \mathbf S \! de dimensiune n. Deoarece aceşti vectori generează spaţiul \mathbf S, \! rezultă că oricare vector \mathbf v \! din \mathbf S \! se obţine ca o combinaţie liniară a vectorilor \mathbf v_1, \mathbf v_2, \cdots , \mathbf v_n.  \! Deci există scalarii k_1, k_2, \cdots , k_n, \! unic determinaţi, astfel încât:

\mathbf v = k_1 \mathbf v_1 +  k_2 \mathbf v_2 + \cdots +  k_n \mathbf v_n.  \!

În spaţiul \mathbb R^n, \! vectorii:

\mathbf e_1=(1, 0, 0, \cdots , 0) \!
\mathbf e_2=(0, 1, 0, \cdots , 0) \!
\cdots \!
\mathbf e_n=(0, 0, \cdots , 1) \!

formează o bază a spaţiului \mathbb R^n, \! numită baza canonică, care permite descrierea unui vector \mathbf v \! prin cele n coordonate carteziene: \mathbf v= (x_1, x_2, \cdots , x_n) = x_1 \mathbf e_1 +x_2 \mathbf e_2 + \cdots +x_n \mathbf e_n. +  \!


Considerăm spaţiul vectorial tridimensional, suficient de important pentru grafica şi proiectarea asistate pe calculator. Cele mai importante obiecte cu care se operează sunt cele de punct şi vector (înţeles ca vector liber). Punctul este precizat prin poziţia sa, vectorul are modul şi direcţie, dar nu are poziţie fixată în spaţiu. Geometric, desenăm punctele planului prin "\mathbf \cdot \!", iar vectorii prin segmente de dreaptă terminate cu "\rightarrow \!". În general desenăm vectorii pornind dintr-un punct, dar nu trebuie să uităm că lucrăm cu vectori liberi. Notăm punctele spaţiului prin A, B, C, \cdots. \!

Considerăm P o mulţime de puncte din spaţiul euclidian clasic şi spaţiul vectorial \mathbf V \! al vectorilor liberi. Presupunem că între punctele mulţimii P şi vectorii din \mathbf V \! au loc următoarele legături (axiome):

(a_1) \!   Pentru orice două puncte A şi B, există un unic vector \mathbf u \in \mathbf V \! astfel încât \mathbf u = B-A \!
(a_2) \!   Pentru fiecare punct A şi pentru fiecare vector \mathbf u \in \mathbf V, \! există un unic punct B, astfel încât \mathbf u = B-A \! (vezi legătura cu a_1 \!).


În cadrul spaţiului 2D (bidimensional), axioma a_2 \! afirmă că dacă pornim din punctul A, în direcţia \mathbf u, \! la distanţa |\mathbf u|, \! găsim punctul B, astfel încât \mathbf u=B-A \! sau, altfel scris, B=A+ \mathbf u. \!


(a_3) \!  Oricare trei puncte A, B şi C satisfac: (A-B)+(B-C) = A-C. \!

Axioma a_3 \! corespunde regulei "cap-coadă".


Fie mulţimile P şi \mathbf V \! ca mai sus. Tripletul \underline A = (P, \underline V, \varphi) \! se numeşte spaţiu afin dacă \varphi \! este o aplicaţie de la P \times P \! la \mathbf V \! cu proprietăţile:

(o_1) \!  \varphi (A, B) + \varphi (B, C) = \varphi (A, C), \! pentru oricare A, B, C \in P \! (vezi axioma a_3 \!)
(o_2) \!  Pentru orice punct O \in P \! şi oricare vector \mathbf u \in \mathbf V, \! există un unic punct M \in P \! astfel încât \varphi (O, M) = \mathbf u \! (vezi axioma a_2 \!).


Din axiomele de mai sus, rezultă că spaţiile afine au următoarele proprietăţi:


(p_1) \!       A-A=0 (\in \mathbf V) \! sau, echivalent: \varphi (A, A)= 0, \! unde A \in P \!
(p_2) \!       A-B=-(B-A) \! sau, echivalent: \varphi(A, B) = -\varphi (B, A), \! unde A, B \in P; \!
(p_3) \!       \mathbf u + (B-A) = (B + \mathbf u) -A \!, unde A, B \in P, \! iar \mathbf u \in \mathbf V; \!
(p_4) \!       B - (A + \mathbf u) = (B-A) - \mathbf u, \! unde A, B \in P, \! iar \mathbf u \in \mathbf V; \!
(p_5) \!       B = A + (B-A) \! unde A, B \in P; \!
(p_6) \!       (B + \mathbf u) - (A + \mathbf v) = (B-A) + (\mathbf u - \mathbf v), \! unde A, B \in P, \! iar \mathbf u, \mathbf v \in \mathbf V. \!


Fie A şi B două puncte din spaţiul afin \underline A. \! Expresia C=A+ t(B-A), \! pentru t \in \mathbb R, \! descrie un punct care, în spaţiul afin 2D, reprezintă un punct pe dreapta determinată de punctele A şi B. Observăm că dacă t \in [0, 1], \! atunci C se află pe segmentul care uneşte punctele A şi B. Dacă, prin convenţie, scrierea C=(1-t)A + tB \! defineşte punctul C prin C=A+t(B-A), \! atunci o expresie de forma C=a_1 A + a_2 B, \! cu a_1+a_2=1 \! va fi numită combinaţie afină a punctelor A şi B. Să observăm că operaţia introdusă se referă la puncte şi nu la vectori.


Spaţiu afin 4.png Spaţiu afin 5.png Spaţiu afin 6.png Spaţiu afin 7.png Spaţiu afin 8.png Spaţiu afin 9.png Spaţiu afin 10.png Spaţiu afin 11.png Spaţiu afin 12.png Spaţiu afin 13.png Spaţiu afin 14.png Spaţiu afin 15.png Spaţiu afin 16.png Spaţiu afin 17.png

Vezi şi Edit

Surse Edit

Also on Fandom

Random Wiki