FANDOM


Spaţii abstracte

Spaţiile abstracte ale matematicii superioare. Săgeata indică incluziunea: Mulţimile din originea săgeţii sunt incluse în cele din vârf.

Spaţiul Hilbert este un caz particular de spațiu Banach, în care norma provine dintr-un produs scalar.


Definiţia 1. Fie E un spațiu vectorial peste corpul K. Se numeşte produs scalar o aplicație

$ (x, y) \rightarrow \langle x, y \rangle: E \times E \rightarrow K \! $

cu proprietăţile:

  (i)  $ \langle y, x \rangle = \langle x, y \rangle, \; \forall x, y \in E \! $ dacă $ K = \Gamma \! $ şi

$ \langle y, x \rangle =\overline{ \langle x, y \rangle}, \; \forall x, y \in E \! $ dacă $ K= \le. \! $

  (ii)  $ \langle \lambda x + \mu y, \; z \rangle =\lambda \langle x, z \rangle + \mu \langle y, z \rangle , \; \forall x, y ,z \in E \! $ şi $ \lambda, \mu \in K. \! $

  (iii)  $ \langle x, x \rangle \ge 0, \; x \in X $ şi $ \langle x, x \rangle =0 \! $ dacă şi numai dacă $ x=0_E. \! $

Perechea $ (E, \langle , \rangle ) \! $ se numeşte spațiu prehilbertian.


Observaţia 1. $ \langle x, 0_E \rangle =0, \; \forall x \in E \! $ (unde cu $ 0_E \! $ am notat elementul neutru faţă de adunare din X şi cu 0 numărul zero din K). Într-adevăr, $ \langle x, 0_E \rangle = \langle x, \; 0 \cdot 0_E \rangle = 0 \langle x, 0_E \rangle =0. \! $


Teorema 1. (Inegalitatea Cauchy-Buniakovski-Schwarz)

Demonstraţie.


Spaţiu Hilbert 2

Spaţiu Hilbert 3

Spaţiu Hilbert 4

Spaţiu Hilbert 5

Vezi şi Edit

Resurse Edit