FANDOM


Spaţii abstracte.png

Spaţiile abstracte ale matematicii superioare. Săgeata indică incluziunea: Mulţimile din originea săgeţii sunt incluse în cele din vârf.

Spaţiul Hilbert este un caz particular de spațiu Banach, în care norma provine dintr-un produs scalar.


Definiţia 1. Fie E un spațiu vectorial peste corpul K. Se numeşte produs scalar o aplicație

(x, y) \rightarrow \langle x, y \rangle: E \times E \rightarrow K \!

cu proprietăţile:

  (i)  \langle y, x \rangle = \langle x, y \rangle, \; \forall x, y \in E \! dacă K = \Gamma \! şi

\langle y, x \rangle =\overline{ \langle x, y \rangle}, \; \forall x, y \in E \! dacă K= \le. \!

  (ii)  \langle \lambda x + \mu y, \; z \rangle =\lambda \langle x, z \rangle  + \mu \langle y, z \rangle , \; \forall x, y ,z \in E  \! şi \lambda, \mu \in K. \!

  (iii)  \langle x, x \rangle \ge 0, \; x \in X şi \langle x, x \rangle =0 \! dacă şi numai dacă x=0_E. \!

Perechea (E, \langle , \rangle ) \! se numeşte spațiu prehilbertian.


Observaţia 1. \langle x, 0_E \rangle =0, \; \forall x \in E \! (unde cu 0_E \! am notat elementul neutru faţă de adunare din X şi cu 0 numărul zero din K). Într-adevăr, \langle x, 0_E \rangle = \langle x, \; 0 \cdot 0_E \rangle = 0 \langle x, 0_E \rangle =0. \!


Teorema 1. (Inegalitatea Cauchy-Buniakovski-Schwarz)

Demonstraţie.


Spaţiu Hilbert 2.png

Spaţiu Hilbert 3.png

Spaţiu Hilbert 4.png

Spaţiu Hilbert 5.png

Vezi şi Edit

Resurse Edit

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Also on FANDOM

Random Wiki