Fandom

Math Wiki

Sistem de ecuații liniare

1.029pages on
this wiki
Add New Page
Comment1 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Definiţii Edit

Un sistem de n \! ecuaţii liniare cu n \! necunoscute este de forma:


\begin{cases}
a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = b_1
\\
a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = b_2
\\
\cdots \cdots \cdots \\
a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + \cdots + a_{nn}x_n = b_n
\end{cases}
  (1)

Dacă notăm cu A matricea coeficienţilor, cu x vectorul coloană format cu necunoscutele sistemului şi cu b coloana termenilor liberi, sistemul (1) se scrie sub formă matriceală:

Ax =b, \!   (2)

unde:

A=
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\
\end{pmatrix},

\; \;

x=
\begin{pmatrix}
 x_1 \\
 x_2 \\
\vdots \\
x_n
\end{pmatrix},

\; \;

b=
\begin{pmatrix}
 b_1 \\
 b_2 \\
\vdots \\
b_n
\end{pmatrix}


Un sistem de ecuaţii liniare este compatibil dacă are cel puţin o soluţie şi este incompatibil dacă nu are soluţii. Sistemul este compatibil determinat dacă are exact o soluţie, iar dacă are mai multe soluţii, spunem că este compatibil nedeterminat.


Rezolvare Edit

Metodele numerice de rezolvare a sistemelor algebrice de ecuaţii liniare sunt de două tipuri: metode directe şi metode indirecte (sau iterative).

Metodele directe constau în transformarea sistemului (1) într–un sistem triunghiular echivalent, care se rezolvă uşor. Cele mai cunoscute metode directe sunt: metoda Gauss, metoda Cholesky (utilizată pentru sistemele în care matricea A este simetrică şi pozitiv definită) şi metoda Householder. Metodele directe permit determinarea soluţiei exacte a sistemului în cazul ideal, când nu avem erori de rotunjire. Numărul operaţiilor aritmetice efectuate este de ordinul n^3. Pentru sisteme cu un număr de ecuaţii mai mare de 100, metodele directe devin inutilizabile datorită acumulării erorilor de rotunjire care alterează soluţia.

Metodele indirecte (sau iterative) constau în construcţia unui şir \{ x^{(k)} \} de vectori n–dimensionali, care converge la soluţia exactă a sistemului. Se alege ca soluţie aproximativă a sistemului un termen  x^{(s)}  al şirului, al cărui ordin depinde de precizia impusă. O iteraţie presupune efectuarea unui număr de operaţii aritmetice de ordinul n^2. . Metodele iterative sunt utilizate la rezolvarea sistemelor mari de ecuaţii. Cele mai cunoscute metode iterative sunt: Jacobi, Gauss–Seidel, metodele de relaxare. m!hutZ

Metoda Gauss. Factorizarea LU Edit

Fie

m_r=
\begin{pmatrix}
0 \\
\vdots \\
0 \\
m_{r+1, r} \\
\vdots \\
m_{n, r}
\end{pmatrix}

  şi  

e_r=
\begin{pmatrix}
0 \\
\vdots \\
1 \\
0 \\
\vdots \\
0
\end{pmatrix}

(elementul 1 din e_r \! se află pe linia r).

O matrice de forma M_r = I_n - m_r \cdot {e_r}^r, \! unde {e_r}^r = (0, \cdots , 1, \cdots , 0), \! se numeşte matrice Frobenius. O astfel de matrice are următoarea structură:

M_r=
\begin{pmatrix}
1 && 0 & 0 & \cdots & 0 \\
 & \ddots & &&&& \\
0 && 1 & 0 & \cdots  & \\
0 & \cdots & -m_{r+1, r} & 1 & \cdots & 0 \\
&& \vdots & \\
0 & \cdots & -m_{nr} & 0 & \cdots & 1
\end{pmatrix}

De exemplu, dacă n=4 \! şi r=2, \! avem:


M_2=
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}

-

\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
m_{32} \\
m_{42}
\end{pmatrix}

\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 & 0
\end{pmatrix}

=


=

\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 
\end{pmatrix}

-
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & m_{32} & 0 & 0 \\
0 & m_{42} & 0 & 0 
\end{pmatrix}

=

\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & -m_{32} & 0 & 0 \\
0 & -m_{42} & 0 & 0 
\end{pmatrix}

Propoziţia 1. Orice matrice Frobenius M_r \! este inversabilă şi inversa ei este:

M_r^{-1} = I_n + m_r \cdot e_r^T. \!

Demonstraţie.

(I_n - m_r \cdot e_r^T)(I_n + m_r \cdot e_r^T) = I_n - m_r \cdot e_r^T + m_r \cdot e_r^T - m_r (e^T_r m_r) e^T_r. \!

Deoarece e^T_r m_r = 0, \! rezultă:

M_r (I_n + m_r \cdot e_r^T) = I_n,\! şi deci M_r^{-1} = I_n + m_r \cdot e_r^T. \!

QED.

Teorema 1. Fie A o matrice pătrată de ordinul n care satisface condiţia:

({}^*) \!   det
\begin{pmatrix}
a_{11} & \cdots & a_{1r} \\
\vdots &  & \vdots \\
a_{r1} & \cdots & a_{rr}
\end{pmatrix}

\neq 0
pentru orice r= \overline{1, n-1}. \!

Atunci există o matrice inferior triunghiulară M \in M_n (\mathbb R) \! astfel încât matricea  U=MA \! este superior triunghiulară.

Demonstraţie. Deoarece a_{11} \neq 0, \! putem considera matricea Frobenius

M_1=
\begin{pmatrix}
1 & 0 & \cdots & & 0 \\
-\frac {a_{21}}{a_{11}} & 1 & 0 & \cdots & 0 \\
\vdots &&&& \vdots \\
-\frac {a_{n1}}{a_{11}} & 0 & \cdots & & 1
\end{pmatrix}.

Dacă notăm A_1=A \! şi A_2 = M_1 A_1, \! atunci avem

A_2=
\begin{pmatrix}
a^{(2)}_{11} & a^{(2)}_{12} & \cdots & a^{(2)}_{1n} \\
0 & a^{(2)}_{22} & \cdots & a^{(2)}_{2n} \\
\vdots & \vdots && \vdots \\
0 & a^{(2)}_{n2} & \cdots &  a^{(2)}_{nn}
\end{pmatrix},

unde, notând cu a_{ij}^{(1)} = a_{ij}, \! pentru i, j = \overline {1, n}, \! avem: a^{(2)}_{ij} = a^{(1)}_{ij} \! pentru j= \overline {1, n} ; \; a^{(2)}_{ij} = a^{(1)}_{ij} - \frac {a^{(1)}_{i1} a^{(1)}_{1j}}{a^{(1)}_{11}},  \! pentru orice i, j = \overline {2, n}. \!

Observăm că

a^{(2)}_{ij} = a_{22} - \frac {a_{21} a_{12}}{a_{11}} = \frac {1}{a_{11}} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}   \end{vmatrix} \neq 0. \!

Dacă notăm

M_2= \begin{pmatrix} 1& 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & -\frac {a_{32}^{(2)}}{a_{22}^{(2)}} & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & -\frac {a_{n2}^{(2)}}{a_{22}^{(2)}} & 0 & \cdots & 1   \end{pmatrix},

atunci

A_3 = M_2 A_2 = \begin{pmatrix} a^{(3)}_{11} & a^{(3)}_{12} & a^{(3)}_{13} & \cdots & a^{(3)}_{1n} \\   0 & a^{(3)}_{22} & a^{(3)}_{23} &  \cdots & a^{(3)}_{2n} \\ 0 & 0 & a^{(3)}_{33} & \cdots & a^{(3)}_{3n} \\ \vdots &  \vdots &  \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & a_{nm}^{(3)} \end{pmatrix},

unde a_{ij}^{(3)} = a_{ij}^{(2)} \! pentru i = 1, 2, \; j= \overline{1, n} \! şi a_{ij}^{(3)} = a_{ij}^{(2)} - \frac {a_{i2}^{(2)} a_{2j}^{(2)}}{a_{22}^{(2)}}, \; i, j = \overline{3, n}. \!


Resurse Edit




REZOLVAREA SISTEMELOR DE ECUATII LINIARE


1. Daca numarul de ecuatii = numarul de necunoscute = rangul matricei sistemului = n , adica detA ...

(exemplu  : sistem  cu  3  ecuatii , 3  necunoscute   si  rang  A = .. ) , atunci  sistemul  este  .......... solutia  sistemului  este  ....  si  pentru  rezolvarea  sa  se aplica  REGULA  LUI  ...

iar solutiile sale sunt date de FORMULELE LUI ...... :

  ,     , .. ,    unde  ,   , ... ,      se  obtin  din   ............. prin  .........................................


2. In studiul compatibilitatii unui sistem OARECARE de ecuatii liniare se folosesc

urmatoarele 2 teoreme  :

TEOREMA LUI KRONECKER - CAPELLI  : ...........................

................................................

TEOREMA LUI ROUCHE  : ................................................................................................

3. Daca rang A = r < n , unde n este numarul de necunoscute si sistemul este compatibil ,

   vom  avea   r  necunoscute  ........  si  ....  necunoscute ..........
   Necunoscutele  secundare  le  vom  nota  cu  ......... , iar  necunoscutele  principale
   se  vor  exprima  in  functie  de  necunoscutele  secundare .
   Un  sistem  compatibil  cu      -  1  necunoscuta  secundara  se  numeste  .............. ,
- 2  necunoscute  secundare  se  numeste  .............. ,

- 3 necunoscute secundare se numeste .............. ,

   analog  pentru   celelalte  situatii . Un  sistem  compatibil  cu  una  sau  mai  multe  necunoscute  secundare       
   are  ...........  de  solutii  .


4. ALGORITM DE REZOLVARE A UNUI SISTEM DE ECUATII LINIARE OARECARE :


   I ) Studiem  daca  sistemul  este  compatibil : scriem  matricea  A  a  sistemului  si  calculam
        rang  A , afland  astfel  si  .................
   II ) Prin  bordarea  minorului  principal ( numit  si ..............)  cu  ..........
         .......... , obtinem  ...........( numit  si ...............)
         Calculam  minorul (minorii ) caracteristic ( caracteristici )
         si  obtinem  urmatoarele  2  situatii , conform TEOREMEI  LUI  ..... :


     1 ) ............................................


     2 ) .............................................
 III ) Daca  sistemul  este  COMPATIBIL , procedam  astfel :
    1 ) Selectam  dintre  ecuatiile  sistemului  acele  ecuatii  care  «  se  sprijina «  pe  minorul  principal .
         In  aceste  ecuatii , pastram  in  membrul  stang  necunoscutele  principale  si  ..........
         ................ pe  care  le  notam  cu  ...................
          2 ) Rezolvam  sistemul  astfel  obtinut  cu  REGULA  LUI  ......  sau  cu  metodele 
               invatate  in  clasele  de  gimnaziu .


5 . SISTEME DE ECUATII OMOGENE

Forma generala a unui sistem liniar omogen cu m ecuatii si n necunoscute este :

  - obs.  ca  intr - un  sistem  liniar  omogen , toti  termenii  liberi  sunt  ...

Un sistem liniar omogen este compatibil ...... , el avand mereu solutia ........... numita solutia nula ( banala sau triviala ) .

Daca presupunem m = n , atunci :

sistemul  este  compatibil  determinat  ( are  solutie  unica ) daca  si  numai  daca  ............
sistemul  este  compatibil  nedeterminat  ( are o  infinitate  de  solutii ) daca  si  numai  daca

Resurse Edit

Also on Fandom

Random Wiki