FANDOM


Prin sistem de n ecuații diferențiale de ordinul întâi sub formă normală, se înțelege un sistem de forma:

$ \begin{cases} \frac {dy_1}{dx} = f_1 (x, y_1, y_2, \cdots, y_n) \\ \frac {dy_2}{dx} = f_2 (x, y_1, y_2, \cdots, y_n) \\ \cdots \cdots \cdots \\ \frac {dy_n}{dx} = f_n (x, y_1, y_2, \cdots, y_n) \end{cases} $   (1)

unde $ f_1, f_2, \cdots , f_n \! $ sunt funcții continue definite pe o mulțime deschisă $ D \subset \mathbb R^{n+1}. \! $

Definiția 2.1.1. Se numește soluție a sistemului (1) orice set de n-funcții $ y_1 = \phi_1(x), y_2 = \phi_2 (x), \cdots , y_n = \phi_n(x), \; x \in I \! $ ($ I \subset \mathbb R \! $ interval deschis), $ \phi_i \in \mathfrak C ^{(1)} (I), \; i = \overline {1, n}, \! $ cu proprietatea:

$ \begin{cases} \frac {d \phi_1}{dx} = f_1 [x, \phi_1(x), \phi_2(x), \cdots, \phi_n(x)] \\ \frac {d \phi_2}{dx} = f_2 [x, \phi_1(x), \phi_2(x), \cdots, \phi_n(x)] \\ \cdots \cdots \cdots \\ \frac {d \phi_n}{dx} = f_2 [x, \phi_1(x), \phi_2(x), \cdots, \phi_n(x)] \end{cases} \; , \; \forall x \in I. $

Se subînbțelege că am presupus că $ (x, \phi_1 (x), \phi_2 (x), \cdots , \phi_n (x)) \in D, \; \forall x \in I. \! $


În general, un sistem de ecuații diferențiale admite o infinitate de soluții, Pentru a selecta o anumită soluție se impun condiții inițiale.

Definiția 2.1.2. Fie $ M_0 (x_0, y_{10}, y_{20}, \cdots , y_{n0}) \! $ un punct oarecare din D fixat. Se numește problema Cauchy pentru sistemul (1), problema determinării unei soluții a acestui sistem, $ y_1 = \phi_1(x), y_2 = \phi_2(x), \cdots , y_n = \phi_n(x), \; x \in I, \! $ care verifică condiția inițială:

$ \phi_1(x_0) = y_{10}, \phi_2(x_0) = y_{20}, \cdots , \phi_n(x_0) = y_{n0}. \! $   (2)

Dacă adoptăm scrierea vectorială:

$ y=(y_1, y_2, \cdots , y_n), \; \; f=(f_1, f_2, \cdots , f_n), \; \; \phi = (\phi_1, \phi_2, \cdots , \phi_n), \; \; y_0 = (y_{10}, y_{20}, \cdots , y_{n0}), \! $

sistemul (1) se scrie:

$ y' = f(x, y), \! $   (1')

iar problema Cauchy constă în determinarea unei funcții vectoriale $ \phi : I \rightarrow \mathbb R^n , \; \phi \in \mathfrak C^{(1)}(I), \! $ cu proprietățile:

$ (x, \phi (x)) \in D, \; \forall x \in I, \; \phi'(x) = f(x, \phi (x)), \; \forall x \in I, \; \phi (x_0) = y_0. \! $   (2')

Definiția 2.1.3. O funcție $ f: D \rightarrow \mathbb R^{n+1} \! $ se numește lipschitziană pe D, în raport cu $ y_1, y_2, \cdots , y_n, \! $ dacă există o constantă $ L>0 \! $ astfel încât

$ |f(x, y_1, y_2, \cdots , y_n) - f(x, z_1, z_2, \cdots , z_n)| \le L \sum_{j=1}^n {|y_j - z_j|}, \! $

oricare ar fi punctele $ (x, y_1, y_2, \cdots , y_n) \! $ și $ (x, z_1, z_2, \cdots , z_n) \! $ din D.


Observația 2.1.1. Dacă D este o mulțime deschisă și convexă, $ f \in \mathfrak C^{(1)} (D) \! $ și există $ M>0 \! $ astfel încât

$ \left | \frac {\partial f}{\partial x_i} (x, y_1, y_2, \cdots , y_n) \right | \le M, \; \forall \; (x, y_1, y_2, \cdots y_n) \in D \! $ și $ \forall i= \overline {1, n}, \! $

atunci f este lipschitziană pe D.

Într-adevăr, din teorema creșterilor finite a lui Lagrange, rezultă că oricare ar fi $ P(x, y_1, y_2, \cdots , y_n) \in D \! $ și oricare ar fi $ Q (x, z_1, z_2, \cdots , z_n) \in D \! $ există un punct $ (x, \varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots , \varepsilon_n) \! $ pe segmentul de dreaptă deschis, de capete P și Q, astfel încât

$ f(x, y_1, y_2, \cdots , y_n) - f(x, z_1, _2, \cdots , z_n) = \sum_{j=1}^n \frac {\partial f}{\partial x_j} (x, \varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots , \varepsilon_n) (y_j-z_j). \! $

În continuare, avem:

$ \left |f(x, y_1, y_2, \cdots , y_n) - f(x, z_1, _2, \cdots , z_n) \right | \le \! $

$ \le \sum_{j=1}^n \left | \frac {\partial f}{\partial x_j} \right | \cdot (x, \varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots , \varepsilon_n) \cdot |(y_j - z_j)| \le M \sum_{j=1}^n |(y_j - z_j)|, \! $

deci f este lipschitziană pe D.

Teorema 2.1.1. (Teorema de existență și unicitate pentru sisteme de ecuații diferențiale)

Fie $ M_0 (x_0, y_{10}, y_{20}, \cdots , y_{n0}) \in \mathbb R^{n+1}, \; a, b_i >0 , \; i= \overline {1, n} \! $ și $ D= (x_0 - a, x_0+a) \times \Delta , \! $ unde

$ \Delta = \prod_{j=1}^n (y_{j0} - b_j, y_{j0} + b_j) = (y_{10} - b_1, y_{10}+b_1) \times (y_{20} - b_2, y_{20}+b_2) \times \cdots \! $

$ \cdots \times (y_{n0} - b_n, y_{n0}+b_n) .\! $

Dacă $ f_i : \overline D \rightarrow \mathbb R \! $ este continuă și lipschitziană pe $ \overline D, \! $ în raport cu $ y_1, y_2, \cdots, y_n, \! $ oricare ar fi $ i = \overline {1, n}, \! $ atunci există o soluție unică a sistemului (1):

$ y_1 = \phi_1(x), \phi_2(x), \cdots , \phi_n(x), \; x \in I \subset (x_0 -a, x_0 +a), \! $

cu proprietatea:

$ \phi_1(x_0) = y_{10}, \; \phi_2(x_0) = y_{20}, \; \cdots , \; \phi_n(x_0) = y_{n0}. \! $

(Cu alte cuvinte, în condițiile precizate, problema Cauchy (1) - (2) are soluție unică).

Demonstrație. Pentru fiecare $ i= \overline {1, n}, \! $ funcția $ f_i \! $ este continuă pe mulțimea compactă $ \overline D, \! $ deci este mărginită pe $ \overline D. \! $ Fie $ M_i >0 \! $ marginea superioară a funcției $ f_i \! $ pe $ \overline D, \! $ și fie $ M= \max \{ M_1, M_2, \cdots , M_n \}. \! $ Fie de asemenea $ L = \max \{ L_1, L_2, \cdots , L_n \}, \! $ unde $ L_i >0 \! $ este constanta Lipschitz a funcției $ f_i \! $ pe $ D, \; i= \overline {1, n}. \! $ Fie, de asemenea, $ \alpha \in (0, 1) \! $ oarecare și fie

$ h = \min (a, \frac {b_1}{M}, \frac {b_2}{M}, \cdots , \frac {b_n}{M}, \frac {\alpha}{n L}). \! $

Notăm cu $ I=(x_0-h, x_0+h). \! $ Evident, $ I \subset (x_0-a, x_0+ a). \! $ Procedând ca în demostrația lemei 1.1.1 (vezi articolul Problema lui Cauchy), se arată că rezolvarea problemei lui Cauchy (1)-(2) este echivalentă cu rezolvarea următorului sistem de ecuații integrale:

$ \begin{cases} y_1(x)= y_{10}+ \int_{x_0}^x f_1[t, y_1(t), y_2(t), \cdots , y_n(t)] dt \\ y_2(x)= y_{20}+ \int_{x_0}^x f_2[t, y_1(t), y_2(t), \cdots , y_n(t)] dt \\ \cdots \cdots \cdots \\ y_n(x)= y_{n0}+ \int_{x_0}^x f_n[t, y_1(t), y_2(t), \cdots , y_n(t)] dt & x \in I \end{cases} \! $ (3)

Rezultă că dacă arătăm că sistemul (3) are soluție unică, atunci teorema este demonstrată.

Pentru început, vom arăta că există o soluție a problemei Cauchy sau, echivalent, vom arăta că există o soluție a sistenului de ecuații integrale (3). Demonstrația se bazează pe Metoda aproximațiilor succesive, utilizată la demonstrarea teoremei de existență a soluției pentru ecuații diferențiale de ordinul întâi.

Definim prima aproximație $ y_1^{(1)}= y_1^{(1)}(x), y_2^{(1)}= y_2^{(1)}(x), \cdots , y_n^{(1)}= y_n^{(1)}(x), \; x \in I ,\! $ astfel:

$ \begin{cases} y_1^{(1)}(x)= y_{10} + \int_{x_0}^x f_1(t, y_{10}, y_{20}, \cdots , y_{n0}) dt \\ y_2^{(1)}(x)= y_{20} + \int_{x_0}^x f_2(t, y_{10}, y_{20}, \cdots , y_{n0}) dt \\ \cdots \cdots \cdots \\ y_n^{(1)}(x)= y_{n0} + \int_{x_0}^x f_n(t, y_{10}, y_{20}, \cdots , y_{n0}) dt \end{cases} \; x \in I \! $

Deoarece funcțiile $ f_i, \; i= \overline{1, n}, \! $ sunt continue, rezultă că $ y_i^{(1)}, \; i= \overline{1, n}, \! $ sunt continue pe I.

Pe de altă parte, pentru orice $ i= \overline {1, n} \! $ și pentru orice $ x \in I, \! $ avem:

$ |y_i^{(1)} - y_{i0}| \le \left | \int_{x_0}^x |f_i(t, y_{10}, y_{20}, \cdots , y_{n0})| dt \right | \le M \left | \int_{x_0}^x dt \right | =\! $

$ = M |x-x_0| \le Mh \le M \cdot \frac {b_i}{M} = b_i. \! $


Vezi și Edit