Fandom

Math Wiki

Sistem de ecuații diferențiale

1.029pages on
this wiki
Add New Page
Comments0 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Prin sistem de n ecuații diferențiale de ordinul întâi sub formă normală, se înțelege un sistem de forma:


\begin{cases}
\frac {dy_1}{dx} = f_1 (x, y_1, y_2, \cdots, y_n)
\\
\frac {dy_2}{dx} = f_2 (x, y_1, y_2, \cdots, y_n)
\\
\cdots \cdots \cdots
\\
\frac {dy_n}{dx} = f_n (x, y_1, y_2, \cdots, y_n)
\end{cases}
  (1)

unde f_1, f_2, \cdots , f_n \! sunt funcții continue definite pe o mulțime deschisă D \subset \mathbb R^{n+1}. \!

Definiția 2.1.1. Se numește soluție a sistemului (1) orice set de n-funcții y_1 = \phi_1(x), y_2 = \phi_2 (x), \cdots , y_n = \phi_n(x), \; x \in I \! (I \subset \mathbb R \! interval deschis), \phi_i \in \mathfrak C ^{(1)} (I), \; i = \overline {1, n}, \! cu proprietatea:


\begin{cases}
\frac {d \phi_1}{dx} = f_1 [x, \phi_1(x), \phi_2(x), \cdots, \phi_n(x)]
\\
\frac {d \phi_2}{dx} = f_2 [x, \phi_1(x), \phi_2(x), \cdots, \phi_n(x)]
\\
\cdots \cdots \cdots
\\
\frac {d \phi_n}{dx} = f_2 [x, \phi_1(x), \phi_2(x), \cdots, \phi_n(x)]
\end{cases} \; , \; \forall x \in I.

Se subînbțelege că am presupus că  (x, \phi_1 (x), \phi_2 (x), \cdots , \phi_n (x)) \in D, \; \forall x \in I. \!


În general, un sistem de ecuații diferențiale admite o infinitate de soluții, Pentru a selecta o anumită soluție se impun condiții inițiale.

Definiția 2.1.2. Fie M_0 (x_0, y_{10}, y_{20}, \cdots , y_{n0}) \! un punct oarecare din D fixat. Se numește problema Cauchy pentru sistemul (1), problema determinării unei soluții a acestui sistem, y_1 = \phi_1(x), y_2 = \phi_2(x), \cdots , y_n = \phi_n(x), \; x \in I, \! care verifică condiția inițială:

\phi_1(x_0) = y_{10}, \phi_2(x_0) = y_{20}, \cdots , \phi_n(x_0) = y_{n0}. \!   (2)

Dacă adoptăm scrierea vectorială:

 y=(y_1, y_2, \cdots , y_n), \; \; f=(f_1, f_2, \cdots , f_n), \; \; \phi = (\phi_1, \phi_2, \cdots , \phi_n), \; \; y_0 = (y_{10}, y_{20}, \cdots , y_{n0}), \!

sistemul (1) se scrie:

y' = f(x, y), \!   (1')

iar problema Cauchy constă în determinarea unei funcții vectoriale \phi : I \rightarrow \mathbb R^n , \; \phi \in \mathfrak C^{(1)}(I), \! cu proprietățile:

(x, \phi (x)) \in D, \; \forall x \in I, \; \phi'(x) = f(x, \phi (x)), \; \forall x \in I, \; \phi (x_0) = y_0. \!   (2')

Definiția 2.1.3. O funcție f: D \rightarrow \mathbb R^{n+1} \! se numește lipschitziană pe D, în raport cu y_1, y_2, \cdots , y_n,  \! dacă există o constantă L>0 \! astfel încât

|f(x, y_1, y_2, \cdots , y_n) - f(x, z_1, z_2, \cdots , z_n)| \le L \sum_{j=1}^n {|y_j - z_j|}, \!

oricare ar fi punctele (x, y_1, y_2, \cdots , y_n) \! și  (x, z_1, z_2, \cdots , z_n) \! din D.


Observația 2.1.1. Dacă D este o mulțime deschisă și convexă, f \in \mathfrak C^{(1)} (D) \! și există M>0 \! astfel încât

\left | \frac {\partial f}{\partial x_i} (x, y_1, y_2, \cdots , y_n) \right | \le M, \; \forall \; (x, y_1, y_2, \cdots y_n) \in D  \! și \forall i= \overline {1, n}, \!

atunci f este lipschitziană pe D.

Într-adevăr, din teorema creșterilor finite a lui Lagrange, rezultă că oricare ar fi P(x, y_1, y_2, \cdots , y_n) \in D \! și oricare ar fi Q (x, z_1, z_2, \cdots , z_n) \in D \! există un punct (x, \varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots , \varepsilon_n) \! pe segmentul de dreaptă deschis, de capete P și Q, astfel încât

f(x, y_1, y_2, \cdots , y_n) - f(x, z_1, _2, \cdots , z_n) = \sum_{j=1}^n \frac {\partial f}{\partial x_j} (x, \varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots , \varepsilon_n) (y_j-z_j). \!

În continuare, avem:

\left |f(x, y_1, y_2, \cdots , y_n) - f(x, z_1, _2, \cdots , z_n) \right |  \le \!

\le \sum_{j=1}^n  \left | \frac {\partial f}{\partial x_j}  \right | \cdot (x, \varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots , \varepsilon_n)  \cdot |(y_j - z_j)| \le M \sum_{j=1}^n  |(y_j - z_j)|, \!

deci f este lipschitziană pe D.

Teorema 2.1.1. (Teorema de existență și unicitate pentru sisteme de ecuații diferențiale)

Fie M_0 (x_0, y_{10}, y_{20}, \cdots , y_{n0}) \in \mathbb R^{n+1}, \; a, b_i >0 , \; i= \overline {1, n} \! și D= (x_0 - a, x_0+a) \times \Delta , \! unde

\Delta = \prod_{j=1}^n (y_{j0} - b_j, y_{j0} + b_j) = (y_{10} - b_1, y_{10}+b_1) \times (y_{20} - b_2, y_{20}+b_2) \times \cdots \!

\cdots \times  (y_{n0} - b_n, y_{n0}+b_n) .\!

Dacă f_i : \overline D \rightarrow \mathbb R \! este continuă și lipschitziană pe  \overline D, \! în raport cu y_1, y_2, \cdots, y_n, \! oricare ar fi i = \overline {1, n},  \! atunci există o soluție unică a sistemului (1):

y_1 = \phi_1(x), \phi_2(x), \cdots , \phi_n(x), \; x \in I \subset (x_0 -a, x_0 +a), \!

cu proprietatea:

\phi_1(x_0) = y_{10}, \; \phi_2(x_0) = y_{20}, \; \cdots , \; \phi_n(x_0) = y_{n0}. \!

(Cu alte cuvinte, în condițiile precizate, problema Cauchy (1) - (2) are soluție unică).

Demonstrație. Pentru fiecare i= \overline {1, n}, \! funcția f_i \! este continuă pe mulțimea compactă \overline D,  \! deci este mărginită pe \overline D.  \! Fie M_i >0 \! marginea superioară a funcției f_i \! pe \overline D,  \! și fie M= \max \{ M_1, M_2, \cdots , M_n \}. \! Fie de asemenea L = \max \{ L_1, L_2, \cdots , L_n \}, \! unde L_i >0 \! este constanta Lipschitz a funcției f_i \! pe D, \; i= \overline {1, n}. \! Fie, de asemenea, \alpha \in (0, 1) \! oarecare și fie

h = \min (a, \frac {b_1}{M}, \frac {b_2}{M}, \cdots , \frac {b_n}{M}, \frac {\alpha}{n L}). \!

Notăm cu I=(x_0-h, x_0+h). \! Evident, I \subset (x_0-a, x_0+ a). \! Procedând ca în demostrația lemei 1.1.1 (vezi articolul Problema lui Cauchy), se arată că rezolvarea problemei lui Cauchy (1)-(2) este echivalentă cu rezolvarea următorului sistem de ecuații integrale:

\begin{cases} y_1(x)= y_{10}+ \int_{x_0}^x f_1[t, y_1(t), y_2(t), \cdots , y_n(t)] dt \\ y_2(x)= y_{20}+ \int_{x_0}^x f_2[t, y_1(t), y_2(t), \cdots , y_n(t)] dt \\ \cdots \cdots \cdots \\ y_n(x)= y_{n0}+ \int_{x_0}^x f_n[t, y_1(t), y_2(t), \cdots , y_n(t)] dt  & x \in I \end{cases} \! (3)

Rezultă că dacă arătăm că sistemul (3) are soluție unică, atunci teorema este demonstrată.

Pentru început, vom arăta că există o soluție a problemei Cauchy sau, echivalent, vom arăta că există o soluție a sistenului de ecuații integrale (3). Demonstrația se bazează pe Metoda aproximațiilor succesive, utilizată la demonstrarea teoremei de existență a soluției pentru ecuații diferențiale de ordinul întâi.

Definim prima aproximație y_1^{(1)}= y_1^{(1)}(x), y_2^{(1)}= y_2^{(1)}(x), \cdots , y_n^{(1)}= y_n^{(1)}(x),  \; x \in I ,\! astfel:

\begin{cases} y_1^{(1)}(x)= y_{10} + \int_{x_0}^x f_1(t, y_{10}, y_{20}, \cdots , y_{n0}) dt \\ y_2^{(1)}(x)= y_{20} + \int_{x_0}^x f_2(t, y_{10}, y_{20}, \cdots , y_{n0}) dt \\ \cdots \cdots \cdots \\ y_n^{(1)}(x)= y_{n0} + \int_{x_0}^x f_n(t, y_{10}, y_{20}, \cdots , y_{n0}) dt  \end{cases} \; x \in I \!

Deoarece funcțiile f_i, \; i= \overline{1, n}, \! sunt continue, rezultă că y_i^{(1)}, \; i= \overline{1, n}, \! sunt continue pe I.

Pe de altă parte, pentru orice i= \overline {1, n} \! și pentru orice x \in I, \! avem:

|y_i^{(1)} - y_{i0}| \le \left | \int_{x_0}^x |f_i(t, y_{10}, y_{20},  \cdots , y_{n0})| dt \right | \le M \left | \int_{x_0}^x dt \right | =\!

= M |x-x_0| \le Mh \le M \cdot \frac {b_i}{M} = b_i. \!


Vezi și Edit

Also on Fandom

Random Wiki