Fandom

Math Wiki

Serie Laurent

1.029pages on
this wiki
Add New Page
Comments0 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Fie z_0 \! un număr complex. Prin serie Laurent în jurul lui z_0 \! se înţelege o serie de forma:

\sum_{n= - \infty}^{\infty} a_n (z-z_0)^n \!   (1)

cu coeficienţii a_n \! numere complexe. Aceasta mai poate fi scrisă sub forma:

\cdots + \frac {a_{-2}}{(z-z_0)^2} + \frac {a_{-1}}{z-z_0} + a_0 + a_1(z-z_0) + a_2 (z-z_0)^2 + \cdots . \!   (2)

Teorema 1 (Coroana de divergenţă) Fie seria Laurent:

\sum_{n=- \infty}^{\infty} a_n (z-z_0)^n \!


r= \overline {\lim}_{n \to \infty} \sqrt[n] {|a_{-n}|} \!

şi


R=
\begin{cases}
0 & daca \; \overline {\lim}_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} = \infty \\
\frac {1}{\overline{\lim}_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}} & daca \;  \overline {\lim}_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} \notin \{ 0, \infty \} \\
\infty & daca \; {\lim}_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} =0
\end{cases}

Dacă r<R \! atunci:

a) În coroana circulară (numită coroana de convergenţă)

\{ z \; | \; r< |z- z_0| < R \} \!

seria Laurent converge absolut şi uniform pe compacte.

b) Seria Laurent diverge în \{ z \; | \; |z-z_0 < r| \} \cup  \{ z \; | \; |z-z_0 | > R \}. \!

c) Suma seriei Laurent S: D \rightarrow \mathbb C, \!

S(z) = \sum_{n=- \infty}^{\infty} a_n (z-z_0)^n = \sum_{n=1}^{\infty} a_{-n} (z-z_0)^{-n} + \sum_{n=0}^{\infty} a_n (z-z_0)^n \!

este funcţie olomorfă.

Teorema 2 (Dezvoltarea în serie Laurent)

Dacă funcţia

f: D = \{ z \; |\; r< |z-z_0|< R \} \rightarrow \mathbb C \!

definită pe coroana D este olomorfă, atunci există o unică serie Laurent

\sum_{n=- \infty}^{\infty} a_n (z-z_0)^n \!

cu coroana de convergenţă incluzând pe D şi astfel încât

f(z) = \sum_{n=- \infty}^{\infty} a_n (z-z_0)^n \!   (3)

oricare ar fi z \in D. \!

Resurse Edit

Also on Fandom

Random Wiki