Fandom

Math Wiki

Serie Laurent

1.030pages on
this wiki
Add New Page
Comments0 Share

Fie z_0 \! un număr complex. Prin serie Laurent în jurul lui z_0 \! se înţelege o serie de forma:

\sum_{n= - \infty}^{\infty} a_n (z-z_0)^n \!   (1)

cu coeficienţii a_n \! numere complexe. Aceasta mai poate fi scrisă sub forma:

\cdots + \frac {a_{-2}}{(z-z_0)^2} + \frac {a_{-1}}{z-z_0} + a_0 + a_1(z-z_0) + a_2 (z-z_0)^2 + \cdots . \!   (2)

Teorema 1 (Coroana de divergenţă) Fie seria Laurent:

\sum_{n=- \infty}^{\infty} a_n (z-z_0)^n \!


r= \overline {\lim}_{n \to \infty} \sqrt[n] {|a_{-n}|} \!

şi


R=
\begin{cases}
0 & daca \; \overline {\lim}_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} = \infty \\
\frac {1}{\overline{\lim}_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}} & daca \;  \overline {\lim}_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} \notin \{ 0, \infty \} \\
\infty & daca \; {\lim}_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} =0
\end{cases}

Dacă r<R \! atunci:

a) În coroana circulară (numită coroana de convergenţă)

\{ z \; | \; r< |z- z_0| < R \} \!

seria Laurent converge absolut şi uniform pe compacte.

b) Seria Laurent diverge în \{ z \; | \; |z-z_0 < r| \} \cup  \{ z \; | \; |z-z_0 | > R \}. \!

c) Suma seriei Laurent S: D \rightarrow \mathbb C, \!

S(z) = \sum_{n=- \infty}^{\infty} a_n (z-z_0)^n = \sum_{n=1}^{\infty} a_{-n} (z-z_0)^{-n} + \sum_{n=0}^{\infty} a_n (z-z_0)^n \!

este funcţie olomorfă.

Teorema 2 (Dezvoltarea în serie Laurent)

Dacă funcţia

f: D = \{ z \; |\; r< |z-z_0|< R \} \rightarrow \mathbb C \!

definită pe coroana D este olomorfă, atunci există o unică serie Laurent

\sum_{n=- \infty}^{\infty} a_n (z-z_0)^n \!

cu coroana de convergenţă incluzând pe D şi astfel încât

f(z) = \sum_{n=- \infty}^{\infty} a_n (z-z_0)^n \!   (3)

oricare ar fi z \in D. \!

Resurse Edit

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Also on Fandom

Random Wiki