FANDOM


Fie $ z_0 \! $ un număr complex. Prin serie Laurent în jurul lui $ z_0 \! $ se înţelege o serie de forma:

$ \sum_{n= - \infty}^{\infty} a_n (z-z_0)^n \! $   (1)

cu coeficienţii $ a_n \! $ numere complexe. Aceasta mai poate fi scrisă sub forma:

$ \cdots + \frac {a_{-2}}{(z-z_0)^2} + \frac {a_{-1}}{z-z_0} + a_0 + a_1(z-z_0) + a_2 (z-z_0)^2 + \cdots . \! $   (2)

Teorema 1 (Coroana de divergenţă) Fie seria Laurent:

$ \sum_{n=- \infty}^{\infty} a_n (z-z_0)^n \! $


$ r= \overline {\lim}_{n \to \infty} \sqrt[n] {|a_{-n}|} \! $

şi


$ R= \begin{cases} 0 & daca \; \overline {\lim}_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} = \infty \\ \frac {1}{\overline{\lim}_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}} & daca \; \overline {\lim}_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} \notin \{ 0, \infty \} \\ \infty & daca \; {\lim}_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} =0 \end{cases} $

Dacă $ r<R \! $ atunci:

a) În coroana circulară (numită coroana de convergenţă)

$ \{ z \; | \; r< |z- z_0| < R \} \! $

seria Laurent converge absolut şi uniform pe compacte.

b) Seria Laurent diverge în $ \{ z \; | \; |z-z_0 < r| \} \cup \{ z \; | \; |z-z_0 | > R \}. \! $

c) Suma seriei Laurent $ S: D \rightarrow \mathbb C, \! $

$ S(z) = \sum_{n=- \infty}^{\infty} a_n (z-z_0)^n = \sum_{n=1}^{\infty} a_{-n} (z-z_0)^{-n} + \sum_{n=0}^{\infty} a_n (z-z_0)^n \! $

este funcţie olomorfă.

Teorema 2 (Dezvoltarea în serie Laurent)

Dacă funcţia

$ f: D = \{ z \; |\; r< |z-z_0|< R \} \rightarrow \mathbb C \! $

definită pe coroana D este olomorfă, atunci există o unică serie Laurent

$ \sum_{n=- \infty}^{\infty} a_n (z-z_0)^n \! $

cu coroana de convergenţă incluzând pe D şi astfel încât

$ f(z) = \sum_{n=- \infty}^{\infty} a_n (z-z_0)^n \! $   (3)

oricare ar fi $ z \in D. \! $

Resurse Edit