Fandom

Math Wiki

Serie Fourier

1.029pages on
this wiki
Add New Page
Comments0 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Pentru ca o funcție f să fie dezvoltabilă în serie Taylor este necesar ca f să fie indefinit derivabilă. Această restricţie este severă. Chiar dacă se foloseşte formula Taylor cu rest pentru reprezentarea funcţiei, funcţia trebuie să fie derivabilă de un număr finit de ori. Această din urmă condiţie implică continuitatea funcţiei. Multe funcţii însă, care descriu fenomene fizice importante, nu sunt continue şi nu pot fi reprezentate nici cu formula Taylor. De exemplu, funcţia care descrie evoluţia în timp a tensiunii într-un circuit electric în care apar comutări de contacte, nu este continuă.

Seriile Fourier oferă posibilitatea de reprezentare a funcţiilor continue şi continue pe porţiuni. Aceasta întrucât pentru a construi seria Fourier, funcţia trebuie să fie doar integrabilă Riemann-Darboux.


Definiţie. Fie f: [- \pi, \pi] \rightarrow \mathbb R \! o funcție continuă pe porţiuni. Seria Fourier a lui f este, prin definiţie, seria de funcţii:

f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n \cdot \cos nx + b_n \cdot \sin nx). \!

în care coeficienţii Fourier a_n, b_n \! sunt calculaţi cu formulele:

a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cdot \cos nx \; dx  \; \; n= 0, 1, 2, \cdots \!
a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cdot \sin nx \; dx  \; \; n= 0, 1, 2, \cdots \!


Observaţie. În mod tradiţional, până când problema convergenţei seriei Fourier nu este tranşată, relaţia dintre funcţia f şi seria Fourier a lui f se notează cu semnul \sim \! în loc de egalitate.

Rezultatul fundamental care va fi stabilit în această secţiune se referă la convergenţa seriei Fourier a unei funcţii continue pe porţiuni şi la suma seriei. Acest rezultat se bazează pe două leme ce vor fi prezentate ulterior.


Lema 1. [de reprezentare integrală a sumei parţiale S_n(x) \!]. Suma parţială de ordinul n, S_n(x), \! a seriei Fourier a unei funcţii f: [- \pi, \pi] \rightarrow \mathbb R \! continue pe porţiuni şi prelungită prin periodicitate la \mathbb R \! poate fi reprezentată sub forma:

S_n(x) = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x-u) \cdot \frac{\sin (n + \frac 1 2) u}{2 \sin \frac 1 2 u} du, \; \; x \in \mathbb R. \!


Demonstraţie. Considerăm suma parţială S_n(x) \! a seriei Fourier a funcţiei f:

S_n(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{k=1}^n (a_k \cdot \cos kx + b_k \cdot \sin kx). \!

În virtutea definiţiei coeficienţilor Fourier a_k, b_k, \! putem scrie:

S_n(x) = \frac{1}{2 \pi} \int_{- \pi}^{\pi} f(t) dt + \frac{1}{\pi} \sum_{k=1}^n \left [  \cos kx \int_{- \pi}^{\pi} \cos kt dt + \sin kx \int_{-\pi}^{\pi} f(t) \sin kt dt \right ] \!

Introducând \cos kx \! şi \sin kx \! sub semnul de integrală şi folosind identitatea trigonometrică:

\cos k(x-t) = \cos kx \cdot \cos kt + \sin kx \cdot \sin kt, \!

obţinem:

S_n(x) = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(t) \frac 1 2 + \sum_{k=1}^n \cos k(x-t) dt. \!

Aplicând identitatea:

\frac 1 2 + \sum_{k=1}^n \cos k(x-t) = \frac{\sin (n + \frac 1 2) (x-t)}{2 \sin \frac 1 2 (x-t)}. \!

şi introducând u=x-t, \; \; S_n(x) \! devine:

S_n(x)= \frac{1}{\pi} \int_{x-\pi}^{x+\pi} f(x-u) \cdot \frac{\sin (n + \frac 1 2)u}{2 \sin \frac  1 2 u} du. \!

Integrandul este o funcţie de u, periodică de perioadă 2 \pi \! şi prin urmare:

S_n(x) = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x-u) \cdot \frac{\sin (n + \frac 1 2)u}{2 \sin \frac  1 2 u} du. \!


Lema 2. Dacă f: [-\pi, \pi] \rightarrow \mathbb R \! este o funcție continuă pe porţiuni atunci sunt adevărate următoarele egalităţi:

a) \lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} b_n = 0. \!
b) \lim_{n \to \infty} f(x) \sin (n + \frac 1 2) x \; dx = 0 \! dacă -\pi \le a < b \le \pi \!

unde a_n \! şi b_n \! sunt coeficienţii Fourier ai funcţiei f.


Demonstraţie. Se consideră identitatea:

\int_{-\pi}^{\pi} |f(x)- S_n(x)|^2 dx = \int_{-\pi}^{\pi} f^2(x) dx - 2 \int_{-\pi}^{\pi} f(x) S_n(x) dx + \int_{-\pi}^{\pi} |S_n(x)|^2 dx \!

Prin calcul se arată că avem:

\int_{-\pi}^{\pi} |S_n(x)|^2 dx = \int_{-\pi}^{\pi} f(x) S_n(x) dx = \pi \left [\frac{a_0^2}{2} + \sum_{k=1}^n (a_k^2+b_k^2)  \right ]  \!

Ţinând seama de acestă egalitate din urmă, identitatea considerată devine:

\int_{-\pi}^{\pi} |f(x)- S_n(x)|^2 dx = \int_{-\pi}^{\pi} |f(x)|^2 dx - \pi \left [\frac{a_0^2}{2} + \sum_{k=1}^n (a_k^2+b_k^2)  \right ].   \!

De aici se deduce inegalitatea:

\frac{a_0^2}{2} + \sum_{k=1}^n (a_k^2+b_k^2) \le \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f^2 (x) dx \!

valabilă pentru orice n şi cunoscută sub denumirea de inegalitatea lui Bessel.

Din inegalitatea lui Bessel rezultă că seria numerică:

\frac{a_0^2}{2} + \sum_{k=1}^{\infty} (a_k^2 + b_k^2) \!

este convergentă şi, prin urmare, a_k \underset{k \to \infty}{\longrightarrow} 0 \! şi b_k \underset{k \to \infty}{\longrightarrow} 0. \!

Remarcăm aici faptul că dacă:

\lim_{n \to \infty} \int_{-\pi}^{\pi} |f(x) - S_n(x)|^2 dx = 0. \!

atunci are loc egalitatea:

\frac{a_0^2}{2} + \sum_{k=1}^{\infty} (a_n^2 + b_n^2) = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f^2(x) dx \!

numită egalitatea lui Parseval.

Convergenţa:

\lim_{n \to \infty} |f(x) - S_n(x)|^2 dx =0 \!

se numeşte convergenţa în medie de sume parţiale S_n(x) \! la funcţia f(x). \!

Acum să arătăm că pentru a<b, \; a, b \in [-\pi, \pi] \! avem:

\lim_{n \to \infty} \int_a^b f(x) \sin (n + \frac 1 2)x \; dx = 0. \!

Remarcăm la început că pentru \alpha < \beta \! avem:

\left | \int_{\alpha}^{\beta} \sin(n+ \frac 1 2) x \; dx  \right | = \left | \frac{\cos(n + \frac 1 2) \alpha - \cos(n + \frac 1 2) \beta}{n+ \frac 1 2} \right | \le \frac {2}{n+ \frac 1 2} \!

Fie a= x_0 < x_1 < \cdots < x_P = b \! o partiţie a segmentului [a, b] \! şi descompunerea corespunzătoare a integralei:

 \int_a^b f(x) \sin (n+ \frac 1 2) x \; dx = \sum_{i=0}^{p-1} \int_{x_i}^{x_{i+1}} f(x) \sin (n+ \frac 1 2)x \; dx \!

Notăm:

m_i = inf \{ f(x) \; | \; x \in [x_i, x_{i+1}] \} \!

şi reprezentăm integrala \int_{a}^b f(x) \sin(n + \frac 1 2) x \; dx \! în forma următoare:

\int_a^b f(x) \sin(n+ \frac 1 2) x \; dx = \sum_{i=0}^{p-1} \int_{x_i}^{x_{i+1}}[f(x) - m_i] \sin (n+\frac 1 2) x \; dx + \sum_{i=0}^{p-1} \int_{x_i}^{x_{i+1}} \sin (n + \frac 1 2)x \; dx \!

Pentru \omega_i = M_i-m_i, \! unde M_i = sup \{f(x) \; | \; x \in [x_i, x_{i+1}]  \}, \! avem:

f(x) - m_i \le M_i - m_i = \omega_i \; \; \forall x \in [x_i, x_{i+1}] \! şi i= 0, 1, \cdots , p-1. \!

De aici rezultă:

\left | \int_a^b f(x) \sin(n+ \frac 1 2) x \; dx \right | \le \sum_{i=0}^{p-1} \omega_i \Delta x_i + \frac{2}{n + \frac 1 2} \sum_{i=0}^{p-1} |m_i| \!

Pentru \varepsilon >0 \! alegem partiţia astfel încât:

\sum_{i=0}^{p-1} \omega_i \Delta x_i < \frac{\varepsilon}{2} \!

Acest lucru este posibil pentru că funcţia f este continuă pe porţiuni şi este integrabilă. Acum putem lua n> \frac{4}{\varepsilon} M(b-a), \! unde M = sup \{ f(x) \; | \; x \in [a, b] \} \! şi pentru asemenea valori ale lui n obţinem inegalitatea:

\left | \int_a^b f(x) \sin (n + \frac  1 2 x \; dx) \right  | \le \varepsilon \; \; \forall \varepsilon >0. \!


Teoremă (Fourier). Fie f: [-\pi, \pi]  \rightarrow \mathbb R \! o funcţie continuă pe porţiuni care prelungeşte prin periodicitate la toată axa reală. Dacă f are derivate laterale finite în punctele ei de discontinuitate atunci următoarele afirmaţii sunt adevărate:

a) dacă x_0 \! este un punct de continuitate a lui f atunci:
\lim_{n \to \infty} S_n(x_0) = f(x_0). \!
b) dacă x_0 \! este un punct de discontinuitate a lui f atunci:
\lim_{n \to \infty} S_n(x_0) = \frac 1 2 [f(x_0^+) + f(x_0^-)] \!

Demonstraţie. Facem demonstraţia în cazul în care f nu este continuă într-un punct x_0. \! Considerăm:

f(x_0^-) = \lim_{x \to x_0^-} f(x) \!

şi

f(x_0^+) = \lim_{x \to x_0^+} f(x) \!

Conform lemei 1, avem:

S_n(x_0) = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x_0 - u) \cdot \frac{\sin (n+ \frac 1 2) u}{2 \sin \frac 1 2 u} du \!

Avem de asemenea:

\frac 1 2 \cdot f(x_0^+)= \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{0} f(x_0^+) \cdot \frac{\sin (n+ \frac 1 2) u}{2 \sin \frac 1 2 u} du \!
\frac 1 2 \cdot f(x_0^-)= \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} f(x_0^-) \cdot \frac{\sin (n+ \frac 1 2) u}{2 \sin \frac 1 2 u} du \!

şi, prin urmare:

S_n(x_0) - \frac 1 2 [f(x_0^+) + f(x_0^-)] = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^0 [f(x_0- u) - f(x_0^+)] \cdot \frac{\sin (n+ \frac 1 2) u}{2 \sin \frac 1 2 u} du + \!
+ \frac{1}{\pi} \int_0^{\pi} [f(x_0- u) - f(x_0^-)] \cdot \frac{\sin (n+ \frac 1 2) u}{2 \sin \frac 1 2 u} du \!

Integranzii sunt bine definiţi peste tot, cu excepţia lui u=0 \! unde trebuie făcută o analiză. Primul integrand poate fi scris sub forma:

F_1(u) \cdot \sin (n + \frac 1 2) u \!

unde

F_1(u) = \frac{f(x_0-u) - f(x_0^+)}{u} \cdot \frac{\frac 1 2 u}{\sin \frac 1 2 u} \!

Pentru u \to 0^-, \! cel de-al doilea factor tinde la 1 şi produsul tinde la - f'(x_0^+). \! Astfel dacă punem F_1(0) = - f' (x_0^+) \! integrandul este bine definit în u=0. \!

În mod similar avem:

F_2(u) = \frac{f(x_0-u) - f(x_0^-)}{u} \cdot \frac{-\frac 1 2 u}{\sin \frac 1 2 u} \!

are limita + f'(x_0^-) \! şi dacă punem F_2(0) = + f'(x_0^-) \! cel de-al doilea integrand este bine definit.

Prin urmare avem:

S_n(x_0) - \frac 1 2 [f(x_0^+) + f(x_0^-)] = \frac {1}{\pi} \int_{-\pi}^0 F_1(u) \cdot \sin (n + \frac 1 2) u \; du + \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} \cdot \sin (n + \frac 1 2) u \; du. \!

şi aplicând lema 2, concluzionăm că:

\lim_{n \to \infty} S_n(x_0) = \frac  1 2 [f(x_0^+) + f(x_0^-)] \!

Se arată uşor că dacă f este continuă în x_0 \! atunci:

\lim_{n \to \infty} S_n (x_0) = f(x_0). \!

Diferite forme ale seriei Fourier Edit

Teoremă. [schimbarea originii intervalului fundamental [-\pi, \pi] \!] Dacă f: [-\pi, \pi] \rightarrow \mathbb R \! este o funcție continuă pe porţiuni şi este prelungită pe \mathbb R \! prin periodicitate, atunci pentru orice \alpha, \! coeficienţii Fourier a_n, b_n \! ai lui f verifică relaţiile:

a_n = \frac{1}{\pi} \int_{\alpha - \pi} ^{\alpha + \pi} f(x) \cdot \cos nx \; dx \; \; \; n = 0, 1, 2, \cdots \!
b_n = \frac{1}{\pi} \int_{\alpha - \pi} ^{\alpha + \pi} f(x) \cdot \sin nx \; dx \; \; \; n = 0, 1, 2, \cdots \!

şi

f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n \cdot \cos nx + b_n \cdot \sin nx) \!

în orice punct de continuitate x \in [\alpha -\pi , \alpha+ \pi]. \!


Demonstraţie. Funcţiile f(x) \cdot \cos nx, \; f(x) \cdot \sin nx \! sunt periodice de perioadă 2 \pi. \! Rezultă că integralele lor sunt aceleaşi pe orice interval de lungime 2 \pi. \! Se obţin în acest fel egalităţile:

\frac{1}{\pi} \int_{\alpha - \pi}^{\alpha + \pi} f(x) \cdot \cos nx dx  = \frac{1}{\pi} \int_{- \pi}^{ \pi} f(x) \cdot \cos nx dx = a_n \!
\frac{1}{\pi} \int_{\alpha - \pi}^{\alpha + \pi} f(x) \cdot \sin nx dx  = \frac{1}{\pi} \int_{- \pi}^{ \pi} f(x) \cdot \sin nx dx = b_n \!


Pentru egalitatea:

f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n \cdot \cos nx + b_n \cdot \sin nx) \!

considerăm șirul y_k = x - 2 k \pi, \; k \in \mathbb Z. \! Există k_0 \in \mathbb Z \! astfel încât y_{k_0} \in [-\pi, \pi] \! şi pentru k_0 \! avem:

f(y_{k_0}) = f(x- 2k_0 \pi) = f(x), \!

precum şi:

f(y_{k_0}) =  \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n \cdot \cos ny_{k_0} + b_n \cdot \sin ny_{k_0}) =  \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n \cdot \cos nx + b_n \cdot \sin nx) .  \!

QED.


Observaţie. În condiţiile teoremei 1, dacă x este un punct de discontinuitate a prelungirii lui f prin periodicitate, atunci are loc:

\frac{1}{2} [f(x^+) + f(x^-)] = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n \cdot \cos nx + b_n \cdot \sin nx). \!

Această egalitate se demonstrează asemănător cu egalitatea din teorema 1.


Teorema 2. [schimbarea lungimii intervalului] Dacă f: [-L, L] \rightarrow \mathbb R \! este o funcție continuă pe porţiuni, atunci pentru orice x \in [-L, L] \! are loc:

f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n \cdot \cos \frac{n \pi x}{L} + b_n \cdot \sin \frac{n \pi x}{L}) \!

dacă f este continuă în x.

\frac 1 2 [f(x^+) + f(x^-)] = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n \cdot \cos \frac{n \pi x}{L} + b_n \cdot \sin \frac{n \pi x}{L})  \!

dacă f nu este continuă în x, unde:

a_n = \frac 1 L \int_{-L}^L f(x) \cdot \cos \frac{n \pi x}{L} dx  \; \; n =0, 1, 2, \cdots \!
b_n = \frac 1 L \int_{-L}^L f(x) \cdot \sin \frac{n \pi x}{L} dx  \; \; n =0, 1, 2, \cdots \!


Demonstraţie.



Serie Fourier 8.png Serie Fourier 9.png Serie Fourier 10.png

Vezi şi Edit

Resurse Edit

Also on Fandom

Random Wiki