Fandom

Math Wiki

Seria lui Bertrand

1.029pages on
this wiki
Add New Page
Comments0 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Joseph Bertrand.jpg

Joseph Louis François Bertrand (1822 - 1900), matematician francez, cu contribuţii deosebite în teoria numerelor

Definim seria Bertrand ca fiind:

\sum_{n \ge 2} \frac {1}{n^{\alpha \ln ^{\beta} n}}, \!

unde \alpha \! şi \beta \! sunt numere reale.

Exemple de serii Bertrand:

\sum_{n \ge 2} \frac{1}{n \ln n}, \; \; \sum_{n \ge 2} \frac{\ln n }{n}, \;\; \sum_{n \ge 2} \frac{1}{\sqrt n \ln n}. \!


Să studiem convergenţa acestei serii.

Mai întâi să remarcăm faptul că dacă \alpha < 0, \! atunci șirul \frac {1}{n^{\alpha} \ln ^{\beta} n} \! nu este mărginit deci nu tinde la zero. Înseamnă că seria:

\sum_{n \ge 2} \frac{1}{n^{\alpha} \ln^{\beta} n}, \!

este divergentă. De aceea vom presupune că \alpha \ge 0. \!

Avem trei cazuri:


  • Cazul 1: 0 < \alpha < 1 \!

Fie p = \frac {\alpha +1}{2}. \! Atunci \alpha < p < 1. \! Remarcăm că:

n^p \cdot \frac{1}{n^{\alpha} \ln ^{\beta} n} = \frac{n^{p-\alpha}}{\ln^{\beta}n}. \!

Deoarece p-\alpha >0, \! avem:

\lim_{n \to \infty} n^p \cdot \frac{1}{n^{\alpha} \ln^{\beta} n} = \infty. \!

Astfel, pentru N_0 \ge 2, \! avem:

n^p \cdot \frac{1}{n^{\alpha} \ln^{\beta} n}>1, \!

ceea ce implică:

\frac{1}{n^{\alpha} \ln^{\beta} n}>\frac{1}{n^p}. \!

Deoarece p<1 \! rezultă că seria \sum \frac {1}{n^p} \! este divergentă, deci şi seria:

\sum_{n \ge 2} \frac{1}{n^{\alpha} \ln^{\beta} n} \!

este divergentă.


  • Cazul 2: \alpha > 1 \!

Fie p = \frac {\alpha +1}{2}. \! Deci 1 < p < \alpha. \! Avem:

n^p \cdot \frac{1}{n^{\alpha} \ln^{\beta}n} = \frac{1}{n^{\alpha-p} \ln^{\beta}n}. \!

Deoarece \alpha-p > 0, \! avem:

\lim_{n \to \infty} n^p \cdot \frac{1}{n^{\alpha} \ln^{\beta}n}=0. \!

Astfel, pentru N_0 \ge 2, \! avem:

n^p \cdot \frac{1}{n^{\alpha} \ln^{\beta}n}<1. \!

ceea ce implică:

\frac{1}{n^{\alpha} \ln^{\beta}n}< \frac{1}{n^p}. \!

Seria \sum \frac{1}{n^p} \! este convergentă deoarece p>1. \! Rezultă că seria:

\sum_{n \ge 2} \frac{1}{n^{\alpha} \ln^{\beta} n} \!

este convergentă.


  • Cazul 3: \alpha = 1 \!

Considerăm funcţia:

f(x) = \frac{1}{x \ln ^{\beta}x}. \!

E uşor de verificat că, pentru un x suficient de mare (mai exact x > e^{- \beta} \!), funcţia f(x) \! este descrescătoare. Vom demonstra atunci că:

\int_M^{n+1} f(x) dx \le \frac{1}{(M+1) \ln ^{\beta} (M+1)} + \cdots + \frac{1}{n \ln^{\beta} n}, \!

şi

\frac{1}{M \ln^{\beta} M} + \cdots + \frac{1}{(n-1) \ln^{\beta}(n-1)} \le \int_M^{n-1} f(x)dx, \!

unde M este un număr întreg astfel ales încât f(x) este descrescătoare pe (M, \infty). \! De remarcat faptul că \beta \neq 1, \! deci:

\int_M^{n+1} \frac{1}{x \ln^{\beta} x} dx = \bigg [ \frac{1}{1-\beta} \ln^{1-\beta} x \bigg ]_M^{n+1} = \frac{\ln^{1-\beta}(n+1) - \ln^{1-\beta}M}{1-\beta}, \!

şi dacă \beta=1 \! (putem să luăm M=2 \!), atunci avem:

\int_2^{n+1} \frac{1}{x \ln x} dx = \bigg [ \ln (\ln x)  \bigg ]_2^{n+1} = \ln (\ln (n+1)) - \ln (\ln 2). \!

Avem trei cazuri:


Cazul a.: \beta <1, \! atunci avem:

\frac{\ln^{1-\beta}(n+1) - \ln^{1-\beta} M}{1-\beta} \le \frac{1}{(M+1) \ln^{\beta} (M+1)} + \cdots + \frac{1}{n \ln ^{\beta}n}. \!

Deoarece \lim_{n \to \infty } \frac{\ln^{1-\beta}(n+1) - \ln^{1-\beta} M}{1-\beta} = \infty, \! rezultă că seria \sum \frac{1}{n \ln^{\beta} n} \! nu este mărginită, deci este divergentă.


Cazul b.: \beta >1, \! atunci avem:

\frac{1}{M \ln^{\beta} M} + \cdots + \frac{1}{(n-1) \ln^{\beta} (n-1)} \le \frac{\ln^{1-\beta} (n+1) - \ln^{1-\beta}M}{1-\beta}, \!

dar, deoarece:

\frac{\ln^{1-\beta} (n+1) - \ln^{1-\beta}M}{1-\beta} < \frac{1}{\beta -1}, \!

pentru valori mari ale lui n, obţinem:

\frac{1}{M \ln^{\beta} M} + \cdots + \frac{1}{(n-1) \ln^{\beta} (n-1)} < \frac{1}{\beta -1}, \!

ceea ce înseamnă că şirul sumelor parţiale asociate seriei:

\sum_{n \ge 2} \frac{1}{n \ln ^{\beta} n} \!

este marginit. Deci seria este convergentă.


Cazul c.: \beta =1, \! avem:

\int_2^{n+1} \frac{x \ln x}{d} x \le \frac {1}{3 \ln 3} + \cdots + \frac{1}{n \ln n}, \!

ceea ce implică:

\ln(\ln (n+1)) - \ln (\ln 2) \le \frac {1}{3 \ln 3} + \cdots + \frac{1}{n \ln n}. \!

Dar cum:

\lim_{n \to \infty} \ln(\ln (n+1)) - \ln (\ln 2) = \infty, \!

ajungem la concluzia că şirul sumelor parţiale asociat seriei:

\sum_{n \ge 2} \frac{1}{n \ln n} \!

nu este mărginit. Deci seria nu este divergentă.



În final, concluziile în ceea ce priveşte seria lui Bertrand:

\sum_{n \ge 2} \frac{1}{n^{\alpha} \ln^{\beta} n} \!

sunt următoarele:


\alpha >1 \!

Seria este convergentă indiferent de valoarea lui \beta. \!

\alpha <1 \!

Seria este divergentă indiferent de valoarea lui \beta. \!

\alpha =1 \!

Seria este convergentă dacă şi numai dacă \beta >1. \!


De exemplu, seriile:

\sum_{n \ge 2} \frac{1}{n \ln n} \! şi \sum_{n \ge 2} \frac{\ln n}{n} \!

sunt divergente iar seria:

\sum_{n \ge 2} \frac{\ln n}{n^2} \!

este convergentă.

Resurse Edit

Also on Fandom

Random Wiki