FANDOM


Definiţia 1. Fie $ \mathcal R \! $ o relaţie binară pe mulţimea nevidă A. Spunem că $ \mathcal R \! $ este:

  • reflexivă, dacă $ \forall x \in A, x \mathcal R x \! $
  • simetrică, dacă $ \forall x, y \in A, x \mathcal R y \; \Rightarrow \; y \mathcal R x; \! $
  • tranzitivă, dacă $ \forall x, y, z \in A, x \mathcal R y \! $ şi $ y \mathcal R z \; \Rightarrow \; x \mathcal R z. \! $


Observaţie. Dacă vom considera relaţia $ \triangle_A = \{ (x, x) \; | \; x \in A \}, \! $ numită diagonala produsului cartezian $ A \times A, \! $ atunci cele trei proprietăţi pot fi rescrise astfel:

  • reflexivitate: $ \triangle_A \subseteq \mathcal R \! $
  • simetrie: $ \mathcal R \subseteq \mathcal R^{-1} \! $
  • tranzitivitate: $ \mathcal R^2 = \mathcal R \! $


Definiţia 2. O relaţie $ \mathcal R \! $ în mulţimea A este o relaţie de echivalenţă dacă are următoarele proprietăţi: $ \mathcal R \! $ este reflexivă, $ \mathcal R \! $ este simetrică şi $ \mathcal R \! $ este tranzitivă.

De multe ori, o relaţie de echivalenţă pe o mulţime A se va nota $ \sim; \! $ scriem $ x \sim y \! $ (citim x echivalent cu y), sau scriem $ x \not \sim y \! $ (citim x nu este echvalent cu y).


Un exemplu de relaţie de echivalenţă este egalitatea în mulţimea părţilor $ \mathcal P(X) \! $ ale unei mulţimi X.

Mulţimea $ \mathcal R= \{ (x, y) \in \mathbb Z \times \mathbb Z \; | \; x-y \;divizibil \; cu \ 5 \} \! $ este o relaţie de echivalenţă în mulţimea $ \mathbb Z \! $ a numerelor întregi.


Fie $ n \in \mathbb N^* \! $ şi $ x, y \in \mathbb Z. \! $ Spunem că x este congruent cu y modulo n şi scriem $ x \equiv y \pmod{n} \! $ dacă n divide $ x-y \!. $


Fie M o mulţime nevidă înzestrată cu relaţia de echivalenţă "$ \sim \! $". Pentru $ a \in M, $ clasa de echivalenţă a lui a este mulţimea:

$ \hat a \overset {def}{=} \{ x \in M \; | \; x \sim a \}. $

Mulţimea claselor de echivalenţă se notează $ \hat M \! $ (sau ($ M / \sim \! $)) şi se numeşte mulţimea factor a lui M prin relaţia "$ \sim \! $".

$ \hat M = \{ \hat a \; | \; a \in M \} \! $

Fie $ \sim \! $ o relaţie de echivalenţă pe M. Clasele de echivalenţă de pe M, sunt disjuncte două câte două.


Fie M o mulţime nevidă. O familie $ \{C_i \}_{i \in I} \! $ de părţi nevide ale lui M se numeşte partiţie a mulţimii M dacă:

  1) $ \forall i, j \in I, \; i \neq j \; \Rightarrow \; C_i \cap C_j = \varnothing \! $

  2) $ \forall x \in M, \; \exists i \in I \! $ astfel încât $ x \in C_i. \! $

Fie $ \{C_i\}_{i \in I} \! $ partiţie a mulţimii M. $ M=\bigcup_{i \in I} C_i. \! $ Pentru o relaţie de echivalenţă pe M, clasele de echivalenţă definite de această relaţie formează o partiţie a mulţimii M.


Teoria multimilor 8

Teoria multimilor 9

Teoria multimilor 10

Teoria multimilor 11

Teoria multimilor 12

Teoria multimilor 13


Observaţie: Din cele de mai înainte deducem că, dacă $ \mathcal R \! $ este o relaţie de echivalenţă pe mulţimea A, atunci mulţimea claselor de echivalenţă ale lui $ \mathcal R \! $ pe A determină o partiţie a lui A.