Fandom

Math Wiki

Relație de echivalență

1.029pages on
this wiki
Add New Page
Comments0 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Definiţia 1. Fie \mathcal R \! o relaţie binară pe mulţimea nevidă A. Spunem că \mathcal R \! este:

  • reflexivă, dacă \forall x \in A, x \mathcal R x \!
  • simetrică, dacă \forall x, y \in A, x \mathcal R y \; \Rightarrow \; y \mathcal R x; \!
  • tranzitivă, dacă \forall x, y, z \in A, x \mathcal R y \! şi y \mathcal R z \; \Rightarrow \; x \mathcal R z. \!


Observaţie. Dacă vom considera relaţia \triangle_A = \{ (x, x) \; | \; x \in A \}, \! numită diagonala produsului cartezian A \times A, \! atunci cele trei proprietăţi pot fi rescrise astfel:

  • reflexivitate: \triangle_A \subseteq \mathcal R \!
  • simetrie: \mathcal R \subseteq \mathcal R^{-1} \!
  • tranzitivitate: \mathcal R^2 = \mathcal R \!


Definiţia 2. O relaţie \mathcal R \! în mulţimea A este o relaţie de echivalenţă dacă are următoarele proprietăţi: \mathcal R \! este reflexivă, \mathcal R \! este simetrică şi \mathcal R \! este tranzitivă.

De multe ori, o relaţie de echivalenţă pe o mulţime A se va nota \sim; \! scriem x \sim y \! (citim x echivalent cu y), sau scriem x \not \sim y \! (citim x nu este echvalent cu y).


Un exemplu de relaţie de echivalenţă este egalitatea în mulţimea părţilor \mathcal P(X) \! ale unei mulţimi X.

Mulţimea \mathcal R= \{ (x, y) \in \mathbb Z \times \mathbb Z \; | \; x-y \;divizibil \; cu \ 5 \}  \! este o relaţie de echivalenţă în mulţimea \mathbb Z \! a numerelor întregi.


Fie n \in \mathbb N^* \! şi x, y \in \mathbb Z. \! Spunem că x este congruent cu y modulo n şi scriem x \equiv y \pmod{n} \! dacă n divide x-y \!.


Fie M o mulţime nevidă înzestrată cu relaţia de echivalenţă "\sim \!". Pentru a \in M, clasa de echivalenţă a lui a este mulţimea:

\hat a \overset {def}{=} \{ x \in M \; | \; x \sim a \}.

Mulţimea claselor de echivalenţă se notează \hat M \! (sau (M / \sim \!)) şi se numeşte mulţimea factor a lui M prin relaţia "\sim \!".

\hat M = \{ \hat a \; | \; a \in M \} \!

Fie \sim \! o relaţie de echivalenţă pe M. Clasele de echivalenţă de pe M, sunt disjuncte două câte două.


Fie M o mulţime nevidă. O familie \{C_i \}_{i \in I} \! de părţi nevide ale lui M se numeşte partiţie a mulţimii M dacă:

  1) \forall i, j \in I, \; i \neq j \; \Rightarrow \; C_i \cap C_j = \varnothing \!

  2) \forall x \in M, \; \exists i \in I  \! astfel încât x \in C_i. \!

Fie \{C_i\}_{i \in I} \! partiţie a mulţimii M. M=\bigcup_{i \in I} C_i. \! Pentru o relaţie de echivalenţă pe M, clasele de echivalenţă definite de această relaţie formează o partiţie a mulţimii M.


Teoria multimilor 8.png

Teoria multimilor 9.png

Teoria multimilor 10.png

Teoria multimilor 11.png

Teoria multimilor 12.png

Teoria multimilor 13.png


Observaţie: Din cele de mai înainte deducem că, dacă \mathcal R \! este o relaţie de echivalenţă pe mulţimea A, atunci mulţimea claselor de echivalenţă ale lui \mathcal R \! pe A determină o partiţie a lui A.

Also on Fandom

Random Wiki