FANDOM


Definiţia 1.: O relaţie binară în (sau pe) mulţimea A este o submulţime $ \mathcal R \! $ a produsului cartezian $ A \times A : \; \mathcal R \subset A \times A. \! $

Dacă $ x, y \in A \! $ şi $ (x, y) \in \mathcal R, \! $ notăm $ x \mathcal R y. \! $ În acest caz spunem că elementul x este în relaţia $ \mathcal R \! $ cu elementul y.


Exemplu: Mulţimea $ \mathcal R = \{ (x, y) \in \mathbb R^1 \times \mathbb R^1 \; | \; x^2 + y^2 \le 1 \} \! $ este o relaţie binară în mulţimea $ \mathbb R^1 \! $ a numerelor reale.


Pentru mulţimea A vom nota prin $ \mathfrak {Rel} (A) \! $ mulţimea relaţiilor binare de pe A.

Relaţia $ \triangle_A = \{ (x, x) \; | \; x \in A \} \! $ poartă numele de diagonala produsului cartezian $ A \times A. \! $


Pentru $ \mathcal R \in \mathfrak {Rel} (A) \! $ definim $ \mathcal R^{-1} = \{ (x, y) \in A \times A \; | \; (y, x) \in \mathcal R \}. \! $

În mod evident, $ (\mathcal R^{-1})^{-1} = \mathcal R \! $ iar dacă mai avem $ \mathcal R' \in \mathfrak {Rel} (A) \! $ a.î. $ \mathcal R \subseteq \mathcal R' \; \Rightarrow \ \mathcal R^{-1} \subseteq \mathcal R'^{-1}. \! $


Definiţia 2. O relaţie $ \mathcal R \! $ între elementele unei mulţimi A şi elementele unei mulţimi B este o submulţime a produsului cartezian $ A \times B; \; \mathcal R \subset A \times B. \! $

Dacă $ (x, y) \in \mathcal R \! $ se notează cu $ x \mathcal R y. \! $


Definiţia 3. Pentru $ \mathcal R, \mathcal S \in \mathfrak {Rel} (A) \! $ definim compunerea lor, $ \mathcal R \circ \mathcal S, \! $ prin:

$ \mathcal R \circ \mathcal S = \{ (x, y) \in A \times A \; | \! $ există $ z \in A \! $ a.î. $ (x, z) \in \mathcal S \! $ şi $ (z, y) \in \mathcal R \}. \! $


Rezultatul următor este imediat:

Propoziţia 1. Fie $ \mathcal R, \mathcal S, \mathcal T \in \mathfrak {Rel} (A). \! $ Atunci:

(i)   $ \mathcal R \circ \triangle_A = \triangle_A \circ \mathcal R = \mathcal R \! $

(ii)   $ (\mathcal R \circ \mathcal S) \circ \mathcal T = \mathcal R \circ (\mathcal S) \circ \mathcal T) \! $

(iii)   $ \mathcal R \subseteq \mathcal S \; \Rightarrow \; \mathcal R \circ \mathcal T \subseteq \mathcal S \circ \mathcal T \! $ şi $ \mathcal T \circ \mathcal R \subseteq \mathcal T \circ \mathcal S \! $

(iv)   $ (\mathcal R \circ \mathcal S)^{-1} = \mathcal S^{-1} \circ \mathcal R^{-1} \! $

(v)   $ (\mathcal R \cup \mathcal S)^{-1} = \mathcal R^{-1} \cup \mathcal S^{-1}; \! $ mai general, dacă $ (\mathcal R_i)_{i \in I} \! $ este o familie de relaţii binare pe A, atunci:

$ \left ( \bigcup_{i \in I} \mathcal R_i \right )^{-1} = \bigcup_{i \in I} \mathcal R_i^{-1}. \! $

Pentru $ n \in \mathbb N \! $ şi $ \mathcal R \in \mathfrak {Rel} (A) \! $ definim:

$ \mathcal R^n = \begin{cases} \triangle_A & pentru \; n=0 \\ \underset{\mathbf n \; ori} {\underbrace {\mathcal R \circ \mathcal R \circ \cdots \circ \mathcal R}} & pentru \; n>1 \end{cases} \! $

Se probează imediat că, dacă $ m, n \in \mathbb N, \! $ atunci $ \mathcal R^m \circ \mathcal R^n = \mathcal R^{m+n}. \! $


Definiţia 4. O funcție f definită pe o mulţime A şi cu valori în mulţimea B este o relaţie $ \mathcal R \! $ între elementele mulţimii A şi elementele lui B $ (\mathcal R \subset A \times B) \! $ care are următoarele proprietăţi:

a) pentru orice $ x \in A, \! $ există $ y \in B \! $ astfel încât $ x \mathcal R y. \! $

b) dacă pentru $ x \in A \! $ şi $ y_1, y_2 \in B \! $ avem $ x \mathcal R y_1 \! $ şi $ x \mathcal R y_2, \! $ atunci $ y_1=y_2. \! $

O funcţie f definită pe mulţimea A şi cu valori în mulţimea B se notează cu $ f: A \rightarrow B. \! $


Vezi şi Edit

Resurse Edit