Fandom

Math Wiki

Relație binară

1.029pages on
this wiki
Add New Page
Comments0 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Definiţia 1.: O relaţie binară în (sau pe) mulţimea A este o submulţime \mathcal R \! a produsului cartezian A \times A :  \; \mathcal R \subset A \times A. \!

Dacă x, y \in A \! şi (x, y) \in \mathcal R,  \! notăm x \mathcal R y. \! În acest caz spunem că elementul x este în relaţia \mathcal R \! cu elementul y.


Exemplu: Mulţimea \mathcal R = \{ (x, y) \in \mathbb R^1 \times \mathbb R^1  \; | \; x^2 + y^2 \le 1 \} \! este o relaţie binară în mulţimea \mathbb R^1 \! a numerelor reale.


Pentru mulţimea A vom nota prin \mathfrak {Rel} (A) \! mulţimea relaţiilor binare de pe A.

Relaţia \triangle_A = \{ (x, x) \; | \; x \in A \} \! poartă numele de diagonala produsului cartezian A \times A. \!


Pentru \mathcal R \in \mathfrak {Rel} (A) \! definim \mathcal R^{-1} = \{ (x, y) \in A \times A \; | \; (y, x) \in \mathcal R \}. \!

În mod evident, (\mathcal R^{-1})^{-1} = \mathcal R \! iar dacă mai avem \mathcal R' \in \mathfrak {Rel} (A) \! a.î. \mathcal R \subseteq \mathcal R' \; \Rightarrow \ \mathcal R^{-1} \subseteq \mathcal R'^{-1}. \!


Definiţia 2. O relaţie \mathcal R \! între elementele unei mulţimi A şi elementele unei mulţimi B este o submulţime a produsului cartezian A \times B; \; \mathcal R \subset A \times B. \!

Dacă (x, y) \in \mathcal R \! se notează cu x \mathcal R y. \!


Definiţia 3. Pentru \mathcal R, \mathcal S \in \mathfrak {Rel} (A) \! definim compunerea lor, \mathcal R \circ \mathcal S, \! prin:

\mathcal R \circ \mathcal S = \{ (x, y) \in A \times A \; |  \! există z \in A \! a.î. (x, z) \in \mathcal S \! şi (z, y) \in \mathcal R \}. \!


Rezultatul următor este imediat:

Propoziţia 1. Fie \mathcal R, \mathcal S, \mathcal T \in \mathfrak {Rel} (A). \! Atunci:

(i)   \mathcal R \circ \triangle_A = \triangle_A \circ \mathcal R = \mathcal R \!

(ii)   (\mathcal R \circ \mathcal S) \circ \mathcal T = \mathcal R \circ (\mathcal S) \circ \mathcal T) \!

(iii)   \mathcal R \subseteq \mathcal S \; \Rightarrow \; \mathcal R \circ \mathcal T \subseteq \mathcal S \circ \mathcal T \! şi \mathcal T \circ \mathcal R \subseteq \mathcal T \circ \mathcal S \!

(iv)   (\mathcal R \circ \mathcal S)^{-1} = \mathcal S^{-1} \circ \mathcal R^{-1} \!

(v)   (\mathcal R \cup \mathcal S)^{-1} = \mathcal R^{-1} \cup \mathcal S^{-1}; \! mai general, dacă (\mathcal R_i)_{i \in I} \! este o familie de relaţii binare pe A, atunci:

\left ( \bigcup_{i \in I} \mathcal R_i  \right )^{-1} = \bigcup_{i \in I} \mathcal R_i^{-1}. \!

Pentru n \in \mathbb N \! şi \mathcal R \in \mathfrak {Rel} (A) \! definim:

\mathcal R^n = \begin{cases} \triangle_A & pentru \; n=0 \\ \underset{\mathbf n \; ori} {\underbrace {\mathcal R \circ  \mathcal R \circ \cdots \circ \mathcal R}}  & pentru \; n>1 \end{cases} \!

Se probează imediat că, dacă m, n \in \mathbb N, \! atunci \mathcal R^m \circ \mathcal R^n = \mathcal R^{m+n}. \!


Definiţia 4. O funcție f definită pe o mulţime A şi cu valori în mulţimea B este o relaţie \mathcal R \! între elementele mulţimii A şi elementele lui B (\mathcal R \subset A \times B) \! care are următoarele proprietăţi:

a) pentru orice x \in A, \! există y \in B \! astfel încât x \mathcal R y. \!

b) dacă pentru x \in A \! şi y_1, y_2 \in B \! avem x \mathcal R y_1 \! şi x \mathcal R y_2, \! atunci y_1=y_2. \!

O funcţie f definită pe mulţimea A şi cu valori în mulţimea B se notează cu f: A \rightarrow B. \!


Vezi şi Edit

Resurse Edit

Also on Fandom

Random Wiki