Relația lui Sylvester (geometrie)

În orice triunghi ABC, avem relaţia:

$\overrightarrow {OH}= \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB}+ \overrightarrow {OC}, \!$

unde O este centrul cercului circumscris triunghiului, iar H ortocentrul.

Demonstraţie. Se vor considera mijlocul $A_1$ al laturii $BC$ şi $A'$ punctul diametral opus lui $A$ de pe cercul circumscris triunghiului.

Deoarece $\angle ABA' =90^{\circ}$ şi $\angle ACA'=90^{\circ}$ (deoarece $AA'$ este diametru) şi $BH \perp AC$ şi $CH \perp AB$ rezultă că $A'BHC$ este paralelogram.

Se scriu relaţiile vectoriale referitoare la mediana unui triunghi:

$2 \overrightarrow {MO} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MA'}$

$\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = 2 \overrightarrow {MA_1} = \overrightarrow {MH} + \overrightarrow {MA'}.$

Se deduce:

$2 \overrightarrow {MO} + \overrightarrow {MH} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC}.$

Punând $M=O$ se obţine relaţia cerută.

Observaţie.

O propoziţie similară este următoarea:

$2 \overrightarrow {HO}= \overrightarrow {HA} + \overrightarrow {HB}+ \overrightarrow {HC}. \!$

Aceasta se obţine pentru $M=H.$

Vezi şi

• Legea de inerție a lui Sylvester‎