Fandom

Math Wiki

Relația lui Sylvester (geometrie)

1.029pages on
this wiki
Add New Page
Comments3 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Teorema lui Sylvester.png

În orice triunghi ABC, avem relaţia:

\overrightarrow {OH}=  \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB}+ \overrightarrow {OC}, \!

unde O este centrul cercului circumscris triunghiului, iar H ortocentrul.

Demonstraţie. Se vor considera mijlocul  A_1 al laturii  BC şi  A' punctul diametral opus lui  A de pe cercul circumscris triunghiului.

Deoarece  \angle ABA' =90^{\circ} şi  \angle ACA'=90^{\circ} (deoarece  AA' este diametru) şi  BH \perp AC şi  CH \perp AB rezultă că  A'BHC este paralelogram.

Se scriu relaţiile vectoriale referitoare la mediana unui triunghi:

 2 \overrightarrow {MO} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MA'}
 \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = 2 \overrightarrow {MA_1} = \overrightarrow {MH} + \overrightarrow {MA'}.

Se deduce:

 2 \overrightarrow {MO} + \overrightarrow {MH} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC}.

Punând M=O se obţine relaţia cerută.


Observaţie.

O propoziţie similară este următoarea:

2 \overrightarrow {HO}=  \overrightarrow {HA} + \overrightarrow {HB}+ \overrightarrow {HC}. \!

Aceasta se obţine pentru M=H.


Vezi şi Edit

Also on Fandom

Random Wiki