FANDOM


Teorema lui Sylvester

În orice triunghi ABC, avem relaţia:

$ \overrightarrow {OH}= \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB}+ \overrightarrow {OC}, \! $

unde O este centrul cercului circumscris triunghiului, iar H ortocentrul.

Demonstraţie. Se vor considera mijlocul $ A_1 $ al laturii $ BC $ şi $ A' $ punctul diametral opus lui $ A $ de pe cercul circumscris triunghiului.

Deoarece $ \angle ABA' =90^{\circ} $ şi $ \angle ACA'=90^{\circ} $ (deoarece $ AA' $ este diametru) şi $ BH \perp AC $ şi $ CH \perp AB $ rezultă că $ A'BHC $ este paralelogram.

Se scriu relaţiile vectoriale referitoare la mediana unui triunghi:

$ 2 \overrightarrow {MO} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MA'} $
$ \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = 2 \overrightarrow {MA_1} = \overrightarrow {MH} + \overrightarrow {MA'}. $

Se deduce:

$ 2 \overrightarrow {MO} + \overrightarrow {MH} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC}. $

Punând $ M=O $ se obţine relaţia cerută.


Observaţie.

O propoziţie similară este următoarea:

$ 2 \overrightarrow {HO}= \overrightarrow {HA} + \overrightarrow {HB}+ \overrightarrow {HC}. \! $

Aceasta se obţine pentru $ M=H. $


Vezi şi Edit