Relația lui Leibniz (geometrie)

Dacă M este un punct în planul triunghiului ABC, atunci:

$MA^2 + MB^2 + MC^2 = 3 MG^2 + GA^2 + GB^2 + GC^2 \!$(relaţia lui Leibniz).

Consecinţe.

1). Dacă O este centrul cercului circumscris triunghiului ABC, R raza acestuia, iar H ortocentrul triunghiului, atunci:

$OH^2 = 9R^2 -(a^2 + b^2 + c^2), \!$

unde

$a, b, c \!$ sunt lungimile laturilor triunghiului.

2). Dacă M este un punct în planul triunghiului ABC, atunci:

$MA^2 + MB^2 + MC^2 \ge GA^2 + GB^2 + GC^2, \!$

cu egalitate pentru M=G.

O altă propoziţie atribuită lui Leibniz este următoarea:

Dacă G este centrul de greutate al triunghiului ABC:

$\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} +\overrightarrow {MC} =3\overrightarrow {MG}, \!$

unde M este un punct arbitrar din spaţiu.

Vezi şi

• Teorema lui Euler (geometrie)