Raport anarmonic

Raportul anarmonic (numit şi biraport) este:

1. (pentru patru puncte $A, B, C, D \!$ coliniare) câtul rapoartelor în care punctele C şi D împart segmentul [AB]:

$(ABCD)={\frac {CA}{CB}}\div {\frac {DA}{DB}},\!$

segmentele fiind orientate. Ordinea punctelor $A, B, C, D \!$ este esenţială în definirea raportului anarmonic (ABCD). Cu patru litere A, B, C, D se pot face $4!=24\!$ permutări, ceea ce conduce la 24 de rapoarte anarmonice din care însă numai şase au valori distincte. Dacă $(ABCD)=k,\!$ cele şase valori sunt:

$k,\;{\frac {1}{k}},\;1-k,\;{\frac {1}{1-k}},\ {\frac {k}{k-1}},\;{\frac {k-1}{k}}.\!$

Raportul anarmonic a patru puncte este invariant faţă de o transformare proiectivă.

2. (Pentru patru numere $x_1, x_2, x_3, x_4 \!$) Raportul anarmonic a patru puncte este egal cu raportul anarmonic al absciselor lor:

$(x_{1}x_{2}x_{3}x_{4})={\frac {x_{3}-x_{1}}{x_{3}-x_{2}}}\div {\frac {x_{4}-x_{1}}{x_{4}-x_{2}}}.\!$

3. (pentru un fascicul de patru drepte) Raportul anarmonical celor patru puncte în care o secantă intersectează dreptele din fascicul.

Raportul anarmonic al unui fascicul este egal cu raportul anarmonic al coeficienţilor unghiulari ai dreptelor care alcătuiesc fasciculul.

Noţiunea apare pentru prima dată la Pappus (sec. III) şi a fost propusă de Möbius (1827).

Resurse

• Biraportul în geometria triunghiului (copie la Wikia)
• Wolfram MathWorld
• Rule of Sines, Cross Ratios, Perspective Rulers
• Web.Science.mq.edu
• Vision.Stanford.edu