FANDOM


Punctul lui Fermat-Torricelli

Primul punct al lui Fermat Edit

(Vezi articolul: Primul punct al lui Fermat.)

Acesta se mai numeşte şi punctul lui Toricelli.


Teoremă.

Fie un triunghi ABC oarecare şi $ ABC_1, BA_1C_1, CB_1A_1 \! $ trei triunghiuri echilaterale construite în exteriorul triunghiului ABC. Atunci:

a) $ AA_1=BB_1=CC_1 \! $

b) centrele cercurilor circumscrise triunghiurilor echilaterale construite formează un alt triunghi echilateral.

c) $ AA_1 \cap BB_1 \cap CC_1 \neq \varnothing \! $

d) cercurile circumscrise celor trei triunghiuri echilaterale sunt concurente.


Demonstraţie

Considerăm că triunghiul ABC are toate unghiurile strict mai mici decât $ 120^{\circ}, \! $ celelalte cazuri tratându-se fără dificultate.

a) Rotaţia $ r_{A, 60^{\circ}} \! $ duce pe C în $ B_1, \! $. Aşadar, $ CC_1 = BB_1 \! $ şi analoagele.

b) Afixele punctelor $ A_1, B_1, C_1 \! $ obţinute prin rotaţii sunt:

$ a_1= c+(b-c) \varepsilon , \; b_1 = a+(c-a) \varepsilon, \; c_1 = (a-b) \varepsilon. \! $

Notând cu $ O_1, O_2, O_3 \! $ centrele cercurilor circumscrise triunghiurilor $ A_1BC, AB_1C, ABC_1, \! $ avem:

$ z_{O_1} = \frac{b+2c+(b-c) \varepsilon}{3}, \; z_{O_2} = \frac{2a+c+(c-a) \varepsilon}{3} \; z_{O_3} = \frac{a+2b+(a-b) \varepsilon}{3}. \! $

unde $ \varepsilon = \cos 60 ^{\circ} + i \sin 60 ^{\circ}. \! $

Deoarece $ z_{O_1} = z_{O_2}+ (z_{O_3} - z_{O_2}) \cdot \varepsilon, \! $ rezultă că triunghiul $ O_1O_2O_3 \! $ este echilateral.

$ \angle (B_1B, AA_1) = arg \frac{a_1-a}{b-b_1} = arg \frac {c+ (b-c) \varepsilon - a}{(b-a) - (c-a) \varepsilon} = arg \varepsilon = 60^{\circ}.\! $

Notăm $ \{ T \} = B_1B \cap AA_1. \! $ Deoarece $ m (\angle ATB_1) = m(\angle ACB_1), \! $ rezultă că patrulaterul $ ATCB_1 \! $ este inscriptibil. Analog, patrulaterul $ CTBA_1 \! $ este inscriptibil. Deci punctul T se află la intersecţia cercurilor circumscrise triunghiurilor $ ACB_1 \! $ şi $ CBA_1. \! $

Dar $ m(\angle ATB) = 180^{\circ} - m (\angle AB_1C) = 120^{\circ} \! $ şi $ m(\angle BTC) =120^{\circ}, \! $ rezultă $ m(\angle ATB) = 120^{\circ}, \! $ rezultă că patrulaterul $ ATBC_1 \! $ este inscriptibil şi deci cele trei cercuri sunt concurente în T.

Al doilea punct al lui Fermat Edit

(Vezi articolul: Al doilea punct al lui Fermat.)

Vezi şi Edit

Resurse Edit