Fandom

Math Wiki

Punctele lui Fermat

1.029pages on
this wiki
Add New Page
Comments0 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Punctul lui Fermat-Torricelli.png

Primul punct al lui Fermat Edit

(Vezi articolul: Primul punct al lui Fermat.)

Acesta se mai numeşte şi punctul lui Toricelli.


Teoremă.

Fie un triunghi ABC oarecare şi ABC_1, BA_1C_1, CB_1A_1 \! trei triunghiuri echilaterale construite în exteriorul triunghiului ABC. Atunci:

a) AA_1=BB_1=CC_1 \!

b) centrele cercurilor circumscrise triunghiurilor echilaterale construite formează un alt triunghi echilateral.

c) AA_1 \cap BB_1 \cap CC_1 \neq \varnothing \!

d) cercurile circumscrise celor trei triunghiuri echilaterale sunt concurente.


Demonstraţie

Considerăm că triunghiul ABC are toate unghiurile strict mai mici decât 120^{\circ}, \! celelalte cazuri tratându-se fără dificultate.

a) Rotaţia r_{A, 60^{\circ}} \! duce pe C în B_1, \!. Aşadar, CC_1 = BB_1 \! şi analoagele.

b) Afixele punctelor A_1, B_1, C_1 \! obţinute prin rotaţii sunt:

a_1= c+(b-c) \varepsilon , \; b_1 = a+(c-a) \varepsilon, \; c_1 = (a-b) \varepsilon. \!

Notând cu O_1, O_2, O_3 \! centrele cercurilor circumscrise triunghiurilor A_1BC, AB_1C, ABC_1, \! avem:

z_{O_1} = \frac{b+2c+(b-c) \varepsilon}{3}, \;  z_{O_2} = \frac{2a+c+(c-a) \varepsilon}{3} \; z_{O_3} = \frac{a+2b+(a-b) \varepsilon}{3}. \!

unde \varepsilon = \cos 60 ^{\circ} + i \sin 60 ^{\circ}. \!

Deoarece z_{O_1} = z_{O_2}+ (z_{O_3} - z_{O_2}) \cdot \varepsilon, \! rezultă că triunghiul O_1O_2O_3 \! este echilateral.

\angle (B_1B, AA_1) = arg \frac{a_1-a}{b-b_1} = arg \frac {c+ (b-c) \varepsilon - a}{(b-a) - (c-a) \varepsilon} = arg \varepsilon  = 60^{\circ}.\!

Notăm \{ T \} = B_1B \cap AA_1. \! Deoarece m (\angle ATB_1) = m(\angle ACB_1), \! rezultă că patrulaterul ATCB_1 \! este inscriptibil. Analog, patrulaterul CTBA_1 \! este inscriptibil. Deci punctul T se află la intersecţia cercurilor circumscrise triunghiurilor ACB_1 \! şi CBA_1. \!

Dar m(\angle ATB) = 180^{\circ} - m (\angle AB_1C) = 120^{\circ} \! şi m(\angle BTC) =120^{\circ}, \! rezultă m(\angle ATB) = 120^{\circ}, \! rezultă că patrulaterul ATBC_1 \! este inscriptibil şi deci cele trei cercuri sunt concurente în T.

Al doilea punct al lui Fermat Edit

(Vezi articolul: Al doilea punct al lui Fermat.)

Vezi şi Edit

Resurse Edit

Also on Fandom

Random Wiki