Fandom

Math Wiki

Punct singular

1.029pages on
this wiki
Add New Page
Comments0 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Un punct prin care o curbă plană trece de un număr m de ori este un punct multiplu al curbei, cu ordinul de multiplicitate m. Coordonatele unui punct dublu al curbei plane (m=2) verifică simultan ecuaţia curbei \xi (x, y) = 0 \! şi \xi'_x=0; \; \xi'_y=0, \! fără a anula toate derivatele parţiale de ordinul doi ale funcţiei \xi. \! Coordonatele unui punct multiplu de ordin m verifică simultan ecuaţia \xi (x, y)=0 \! şi anulează toate derivatele parţiale până la ordinul m-1 inclusiv, fără a anula toate derivatele parţiale de ordinul m.

Pentru o curbă în spaţiu definită prin aplicaţia \xi \! ale cărei componente sunt funţiile f_1, f_2, f_3 \! definim punctul singular de ordinul q ca fiind acel punct care corespunde parametrului t_0, \! pentru care toate derivatele de ordin k (0 \le k \le q-1 \!) ale funcţiilor f_1, f_2, f_3 \! sunt simultan nule, dar [f_1^{(q)}(t_0)]^2 + [f_2^{(q)}(t_0)]^2 + [f_3^{(q)}(t_0)]^2  \neq 0.\!

Exemple Edit

  • Considerăm curba definită parametric:
\begin{cases}x= \frac{2+t^2}{1+t^2} \\ \\  y=\frac{t^3}{1+t^2}  \end{cases}

Dacă vom considera două valori distincte ale parametrului t, t_1 \neq t_2 ,\! din x(t_1) = x(t_2) \! rezultă t_1 =- t_2 .\! Dar, din y(t_1) = y(t_2) \! rezultă t_1 = t_2.

Cubica unicursala.png

Cubică unicursală

\begin{cases}x= \frac{t^2}{2a} \\ \\  y=t (1 - \frac{t^2}{8a^2})  \end{cases}

Dacă vom considera x(t_1) = x(t_2), \! deducem t_1 =- t_2 .\!. Dacă vom considera t_1 <0 \!, din y(t_1) = y(t_2) \! obţinem: t_2 = 2 \sqrt{2a}. \! Deci M(4a, 0) \! este un nod al curbei.

Puncte singulare ale curbelor plane Edit

Fie c o curbă parametrizată definită astfel:

c: I \subset \mathbb R \rightarrow \mathbb R^2, \; c(t)=(x(t), y(t)). \!

Condiţiile de regularitate pentru curba c sunt sintetizate prin următoarele:

i) c este o aplicaţie injectivă.

ii) c \in \mathcal C^k (I), \; k \ge 1 \! şi c(t) \neq 0, \; \forall t \in I. \!


adică c este o curbă regulată dacă orice punct de pe curba c este regulat. Avem regularitate de ordinul I dacă şi numai dacă k=1. \! Pentru a avea regularitate de ordinul II se cere în plus \ddot c(t) \neq 0, \; \forall t \in I. \!


Definiţie. Dacă există puncte pe curba c astfel încât condiţiile i) şi ii) nu sunt îndeplinite, atunci aceste puncte se numesc puncte singulare.


Punctele singulare, dacă există, corespund acelor valori ale parametrului real t care sunt soluţii ale sistemului:

\begin{cases} \dot x(t) =0 \\ \dot y(t)=0  \end{cases} \!


În general acest sistem este incompatibil, dar vom analiza cazurile în care acest sistem are soluţii. Fie t_0 \in I \! o soluţie a sistemului de mai sus. Rezultă că punctul M_0 (t=t_0)= M_0 (x_0, y_0) \! este punct singular al curbei \Gamma. \!


Dacă se cunoaşte o reprezentare carteziană a curbei: F(x, y)=0, \! atunci M_0 \in \Gamma \; \Rightarrow \; F(x(t_0), y(t_0))=0. \! Prin derivarea în raport cu t_0 \! se obţine:

F'_z (x_0, y_0) \cdot \dot x(t_0) + F'_y (x_0, y_0) \cdot \dot y(t_0) =0 \!

de unde:

\frac{\dot y(t_0)}{\dot x (t_0)} = - \frac {F'_x (x_0, y_0)} {F'_y (x_0, y_0)}= k_T  \!

va reprezenta panta tangentei la curbă în punctul singular M_0. \! Dar avem o nedeterminare de tipul \frac 0 0 \! ceea ce conduce la:

F'_x (x_0, y_0) = 0 \! şi F'_y (x_0, y_0) = 0 \!


Concluzie: Pentru a afla coordonatele carteziene ale punctelor singulare este suficient să rezolvăm sistemul:

\begin{cases} F(x, y)=0 \\ F'_z(x_0, y_0) =0 \\ F'_y(x_0, y_0) =0  \end{cases} \!

Sistemul are 3 ecuaţii şi 2 necunoscute, ceea ce înseamnă că este posibil ca el să nu aibă soluţii. În acest caz, curba c nu are puncte singulare (toate punctele sunt regulate). În caz de compatibilitate pot exista mai multe soluţii, ceea ce înseamnă că c are mai multe puncte singulare.

Natura punctelor singulare. Tangenta în punctele singulare Edit

Fie M_0 (x_0, y_0) \in \Gamma \! un punct singular pentru curba \Gamma. \! Ecuaţia tangentei în acest punct se scrie:

T_{M_0} (\Gamma): \; Y-y_0 = k_T (X-x_0) \!

unde k_T \! este panta tangentei. Panta tangentei se poate exprima prin una din următoarele expresii:

  • k_T= y' (x_0) \! dacă curba \Gamma \! este dată prin ecuaţia carteziană explicită y=y(x); \!
  • k_T= -\frac{F'_z (x_0, y_0)}{F'_y (x_0, y_0)} \! dacă \Gamma \! este dată prin ecuaţia carteziană implicită F(x, y)=0. \!


Dacă M_0 (x_0, y_0) \! este un punct singular, atunci: F'_x (x_0. y_0)=0 \! şi F'_y (x_0, y_0) =0. \!


În cazul în care curba \Gamma \! este dată prin ecuaţia carteziană implicită, în condiţiile teoremei funcţiilor implicite, determinarea lui y'(x_0) \! se face derivând în raport cu x, în punctul (x_0, y_0), \! identitatea F(x, y(x)) =0. \! Obţinem:

F'_x(x_0. y_0) + F'_y (x_0, y_0) y' (x_0)=0, \!

însă, nu putem rezolva această ecuaţie pentru a obţine y'(x_0), \! deoarece în punctul (x_0, y_0), \! derivatele F'_x (x_0, y_0) \! şi F'_y (x_0, y_0) \! se anulează.

În acest caz, derivăm de două ori relaţia F(x, y(x))=0 \! şi obţinem:

F''_{x^2} (x_0, y_0) + 2 F''_{xy} (x_0, y_0) y' (x_0) + F''_{y^2} (x_0, y_0) y' (x_0)^2 + F'_y (x_0, y_0) y'' (x_0) = 0.  \!

Deoarece ultimul termen este identic nul, pentru determinarea lui y'(x_0) \! rămâne să folosim ecuaţia:

F''_{z^2} (x_0, y_0) + 2 F''_{zy} (x_0, y_0) y' (x_0) + F''_{y^2} (x_0, y_0) y' (x_0)^2 = 0.  \!


Un punct singular M_0 \! este punct singular dublu, dacă în ecuaţia anterioară cel puţin unul dintre coeficienţii este nenul.

În raport cu natura rădăcinilor acestei ecuaţii, care depinde de valoarea discriminantului \Delta = 4 [(F''_{xy})^2-F''_{x^2}F''_{y^2}]_{(x_0, y_0)}, \! avem următoarea clasificare a punctelor singulare duble:

  a. Punctul singular dublu se numeşte nod, dacă \Delta >0 \; \Rightarrow \; k_{1, 2} \in \mathbb R \cup \{ \pm \infty \} \! cu k_1 \neq k_2, \! i.e. avem două tangente distincte la curbă în M_0. \!

  b. Punctul singular dublu se numeşte punct de întoarcere, dacă \Delta =0 \; \Rightarrow \; k_{1, 2} \in \mathbb R \cup \{ \pm \infty \} \! cu k_1=k_2, \! i.e. avem două tangente nedistincte la curbă în M_0. \!

  c. Punctul singular dublu se numeşte punct izolat, dacă \Delta <0 \; \Rightarrow \; k_{1, 2} \in \mathbb R \cup \{ \pm \infty \} \! cu k_1 \neq k_2, \! i.e. nu avem tangente reale în M_0 \! (cele două tangente sunt imaginare).

Clasificarea punctelor singulare.png

Clasificarea punctelor singulare

Vezi şi Edit

Resurse Edit

Also on Fandom

Random Wiki