FANDOM


Un punct prin care o curbă plană trece de un număr m de ori este un punct multiplu al curbei, cu ordinul de multiplicitate m. Coordonatele unui punct dublu al curbei plane (m=2) verifică simultan ecuaţia curbei $ \xi (x, y) = 0 \! $ şi $ \xi'_x=0; \; \xi'_y=0, \! $ fără a anula toate derivatele parţiale de ordinul doi ale funcţiei $ \xi. \! $ Coordonatele unui punct multiplu de ordin m verifică simultan ecuaţia $ \xi (x, y)=0 \! $ şi anulează toate derivatele parţiale până la ordinul m-1 inclusiv, fără a anula toate derivatele parţiale de ordinul m.

Pentru o curbă în spaţiu definită prin aplicaţia $ \xi \! $ ale cărei componente sunt funţiile $ f_1, f_2, f_3 \! $ definim punctul singular de ordinul q ca fiind acel punct care corespunde parametrului $ t_0, \! $ pentru care toate derivatele de ordin k ($ 0 \le k \le q-1 \! $) ale funcţiilor $ f_1, f_2, f_3 \! $ sunt simultan nule, dar $ [f_1^{(q)}(t_0)]^2 + [f_2^{(q)}(t_0)]^2 + [f_3^{(q)}(t_0)]^2 \neq 0.\! $

Exemple Edit

  • Considerăm curba definită parametric:
$ \begin{cases}x= \frac{2+t^2}{1+t^2} \\ \\ y=\frac{t^3}{1+t^2} \end{cases} $

Dacă vom considera două valori distincte ale parametrului t, $ t_1 \neq t_2 ,\! $ din $ x(t_1) = x(t_2) \! $ rezultă $ t_1 =- t_2 .\! $ Dar, din $ y(t_1) = y(t_2) \! $ rezultă $ t_1 = t_2. $

Cubica unicursala

Cubică unicursală

$ \begin{cases}x= \frac{t^2}{2a} \\ \\ y=t (1 - \frac{t^2}{8a^2}) \end{cases} $

Dacă vom considera $ x(t_1) = x(t_2), \! $ deducem $ t_1 =- t_2 .\! $. Dacă vom considera $ t_1 <0 \! $, din $ y(t_1) = y(t_2) \! $ obţinem: $ t_2 = 2 \sqrt{2a}. \! $ Deci $ M(4a, 0) \! $ este un nod al curbei.

Puncte singulare ale curbelor plane Edit

Fie c o curbă parametrizată definită astfel:

$ c: I \subset \mathbb R \rightarrow \mathbb R^2, \; c(t)=(x(t), y(t)). \! $

Condiţiile de regularitate pentru curba c sunt sintetizate prin următoarele:

i) c este o aplicaţie injectivă.

ii) $ c \in \mathcal C^k (I), \; k \ge 1 \! $ şi $ c(t) \neq 0, \; \forall t \in I. \! $


adică c este o curbă regulată dacă orice punct de pe curba c este regulat. Avem regularitate de ordinul I dacă şi numai dacă $ k=1. \! $ Pentru a avea regularitate de ordinul II se cere în plus $ \ddot c(t) \neq 0, \; \forall t \in I. \! $


Definiţie. Dacă există puncte pe curba c astfel încât condiţiile i) şi ii) nu sunt îndeplinite, atunci aceste puncte se numesc puncte singulare.


Punctele singulare, dacă există, corespund acelor valori ale parametrului real t care sunt soluţii ale sistemului:

$ \begin{cases} \dot x(t) =0 \\ \dot y(t)=0 \end{cases} \! $


În general acest sistem este incompatibil, dar vom analiza cazurile în care acest sistem are soluţii. Fie $ t_0 \in I \! $ o soluţie a sistemului de mai sus. Rezultă că punctul $ M_0 (t=t_0)= M_0 (x_0, y_0) \! $ este punct singular al curbei $ \Gamma. \! $


Dacă se cunoaşte o reprezentare carteziană a curbei: $ F(x, y)=0, \! $ atunci $ M_0 \in \Gamma \; \Rightarrow \; F(x(t_0), y(t_0))=0. \! $ Prin derivarea în raport cu $ t_0 \! $ se obţine:

$ F'_z (x_0, y_0) \cdot \dot x(t_0) + F'_y (x_0, y_0) \cdot \dot y(t_0) =0 \! $

de unde:

$ \frac{\dot y(t_0)}{\dot x (t_0)} = - \frac {F'_x (x_0, y_0)} {F'_y (x_0, y_0)}= k_T \! $

va reprezenta panta tangentei la curbă în punctul singular $ M_0. \! $ Dar avem o nedeterminare de tipul $ \frac 0 0 \! $ ceea ce conduce la:

$ F'_x (x_0, y_0) = 0 \! $ şi $ F'_y (x_0, y_0) = 0 \! $


Concluzie: Pentru a afla coordonatele carteziene ale punctelor singulare este suficient să rezolvăm sistemul:

$ \begin{cases} F(x, y)=0 \\ F'_z(x_0, y_0) =0 \\ F'_y(x_0, y_0) =0 \end{cases} \! $

Sistemul are 3 ecuaţii şi 2 necunoscute, ceea ce înseamnă că este posibil ca el să nu aibă soluţii. În acest caz, curba c nu are puncte singulare (toate punctele sunt regulate). În caz de compatibilitate pot exista mai multe soluţii, ceea ce înseamnă că c are mai multe puncte singulare.

Natura punctelor singulare. Tangenta în punctele singulare Edit

Fie $ M_0 (x_0, y_0) \in \Gamma \! $ un punct singular pentru curba $ \Gamma. \! $ Ecuaţia tangentei în acest punct se scrie:

$ T_{M_0} (\Gamma): \; Y-y_0 = k_T (X-x_0) \! $

unde $ k_T \! $ este panta tangentei. Panta tangentei se poate exprima prin una din următoarele expresii:

  • $ k_T= y' (x_0) \! $ dacă curba $ \Gamma \! $ este dată prin ecuaţia carteziană explicită $ y=y(x); \! $
  • $ k_T= -\frac{F'_z (x_0, y_0)}{F'_y (x_0, y_0)} \! $ dacă $ \Gamma \! $ este dată prin ecuaţia carteziană implicită $ F(x, y)=0. \! $


Dacă $ M_0 (x_0, y_0) \! $ este un punct singular, atunci: $ F'_x (x_0. y_0)=0 \! $ şi $ F'_y (x_0, y_0) =0. \! $


În cazul în care curba $ \Gamma \! $ este dată prin ecuaţia carteziană implicită, în condiţiile teoremei funcţiilor implicite, determinarea lui $ y'(x_0) \! $ se face derivând în raport cu x, în punctul $ (x_0, y_0), \! $ identitatea $ F(x, y(x)) =0. \! $ Obţinem:

$ F'_x(x_0. y_0) + F'_y (x_0, y_0) y' (x_0)=0, \! $

însă, nu putem rezolva această ecuaţie pentru a obţine $ y'(x_0), \! $ deoarece în punctul $ (x_0, y_0), \! $ derivatele $ F'_x (x_0, y_0) \! $ şi $ F'_y (x_0, y_0) \! $ se anulează.

În acest caz, derivăm de două ori relaţia $ F(x, y(x))=0 \! $ şi obţinem:

$ F''_{x^2} (x_0, y_0) + 2 F''_{xy} (x_0, y_0) y' (x_0) + F''_{y^2} (x_0, y_0) y' (x_0)^2 + F'_y (x_0, y_0) y'' (x_0) = 0. \! $

Deoarece ultimul termen este identic nul, pentru determinarea lui $ y'(x_0) \! $ rămâne să folosim ecuaţia:

$ F''_{z^2} (x_0, y_0) + 2 F''_{zy} (x_0, y_0) y' (x_0) + F''_{y^2} (x_0, y_0) y' (x_0)^2 = 0. \! $


Un punct singular $ M_0 \! $ este punct singular dublu, dacă în ecuaţia anterioară cel puţin unul dintre coeficienţii este nenul.

În raport cu natura rădăcinilor acestei ecuaţii, care depinde de valoarea discriminantului $ \Delta = 4 [(F''_{xy})^2-F''_{x^2}F''_{y^2}]_{(x_0, y_0)}, \! $ avem următoarea clasificare a punctelor singulare duble:

  a. Punctul singular dublu se numeşte nod, dacă $ \Delta >0 \; \Rightarrow \; k_{1, 2} \in \mathbb R \cup \{ \pm \infty \} \! $ cu $ k_1 \neq k_2, \! $ i.e. avem două tangente distincte la curbă în $ M_0. \! $

  b. Punctul singular dublu se numeşte punct de întoarcere, dacă $ \Delta =0 \; \Rightarrow \; k_{1, 2} \in \mathbb R \cup \{ \pm \infty \} \! $ cu $ k_1=k_2, \! $ i.e. avem două tangente nedistincte la curbă în $ M_0. \! $

  c. Punctul singular dublu se numeşte punct izolat, dacă $ \Delta <0 \; \Rightarrow \; k_{1, 2} \in \mathbb R \cup \{ \pm \infty \} \! $ cu $ k_1 \neq k_2, \! $ i.e. nu avem tangente reale în $ M_0 \! $ (cele două tangente sunt imaginare).

Clasificarea punctelor singulare

Clasificarea punctelor singulare

Vezi şi Edit

Resurse Edit