Punct

Coordonatele unui punct din spaţiu

Cu ajutorul spaţiului vectorilor liberi $V_3 \!$ putem introduce riguros matematic noţiunea de coordonate ale unui punct arbitrar M din spaţiul tridimensional al geometriei elementare $E_3. \!$ Pentru aceasta să fixăm baza canonică:

$B=\{{\vec {i}},{\vec {j}},{\vec {k}}\}\!$   (1)

în spaţiul vectorial real al vectorilor liberi $V_3 \!$ şi să considerăm că acestă bază este "legată" într-un punct fixat O al spaţiului tridimensional al geometriei elementare $E_3. \!$

Definiţie. Ansamblul:

${\mathcal {R}}=\{O;{\vec {i}},{\vec {j}},{\vec {k}}\}\!$   (2)

se numeşte reperul cartezian canonic al spaţiului tridimensional al geometriei elementare $E_3. \!$ Dreptele directoare ale versorilor ${\vec {i}},{\vec {j}}\!$ şi $\vec k \!$ sunt axele Ox, Oy şi Oz ale unui sistem de coordonate Oxyz în spaţiul tridimensional al geometriei elementare $E_3 \!$ (aceste axe au acelaşi sens cu al versorilor ${\vec {i}},{\vec {j}}\!$ şi $\vec k \!$) iar punctul Oeste originea sistemului de coordonate Oxyz.

Definiţie. Spunem că un punct arbitrar M din spaţiul tridimensional al geometriei elementare $E_3 \!$ are coordonatele carteziene:

$(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\!$   (3)

iar reperul cartezian canonic:

${\mathcal {R}}=\{O;{\vec {i}},{\vec {j}},{\vec {k}}\}\!$   (4)

dacă vectorul de poziţie \rightarrow {OM} se descompune în baza canonică:

$B=\{{\vec {i}},{\vec {j}},{\vec {k}}\}\!$   (5)

după formula:

${\overrightarrow {OM}}=x{\vec {i}}+y{\vec {j}}+z{\vec {k}}.\!$   (6)

Punctul $M(x, y, z) \!$ din spaţiul $E_3 \!$

Observaţie. Coordonatele carteziene $(x, y, z) \!$ ale punctului M reprezintă lungimile proiecţiilor ortogonale ale vectorului de poziţie $\overrightarrow {OM} \!$ pe cele trei axe de coordonate Ox, Oy şi Oz.

Exemplu: Să considerăm un cub $[OABCO'A'B'C'],\!$ având muchiile de lungime $l>0,\!$ şi să legăm în vârful O baza canonică:

$B=\{{\vec {i}},{\vec {j}},{\vec {k}}\}\!$   (7)

astfel încât direcţiile şi sensurile versorilor $\vec i, \vec j, \vec k \!$ să coincidă cu cele ale muchiilor cubului ${\overline {OA}},{\overline {OB}}\!$ şi ${\overline {OO'}}.\!$

Este evident că punctul O este originea sistemului de axe. Vectorul de poziţie al acesteia este ${\overrightarrow {OO}}={\vec {0}}\!$ şi deci punctul O are coordonatele $O(0,0,0).\!$

Deoarece vectorul de poziţie ${\overrightarrow {OA}}\!$ este coliniar cu $\vec i \!$ şi are lungimea $\|{\overrightarrow {OA}}\|,\!$ rezultă că avem:

${\overrightarrow {OA}}=l{\vec {i}}.\!$   (8)

Prin urmare, coordonatele vârfului A sunt $A(l,0,0).\!$

Deoarecec vectorul de poziţie ${\overrightarrow {OB}}\!$ (respectiv ${\overrightarrow {OO'}}\!$) este coliniar cu $\vec j\!$ (respectiv $\vec k \!$) şi are lungimea $\|{\overrightarrow {OB}}\|=l\!$ (respectiv $\|{\overrightarrow {OO'}}\|=l\!$), rezultă că avem:

${\overrightarrow {OB}}=l{\vec {j}}\!$ (respectiv ${\overrightarrow {OO'}}=l{\vec {k}}\!$)

Prin urmare, coordonatele vârfurilor B şi O' sunt $B(0,l,0).\!$ şi $O'(0,0,l).\!$

Coordonatele vârfului C se determină considerând vectorul de poziţie ${\overrightarrow {OC}}\!$ care, conform regulii paralelogramului, este:

${\overrightarrow {OC}}={\overrightarrow {OA}}+{\overrightarrow {OB}}=l{\vec {i}}+l{\vec {j}}.\!$   (9)

Prin urmare, vârful C are coordonatele $C(l,l,0).\!$ Prin analogie, vârful A' are coordonatele $A'(l,0,l)\!$ iar vârful B' are coordonatele $B'(0,l,l).\!$

Vectorul de poziţie ${\overrightarrow {OC'}}\!$ se descompune, conform regulii paralelogramului, în:

${\overrightarrow {OC'}}={\overrightarrow {OC}}+{\overrightarrow {OO'}}={\overrightarrow {OA}}+{\overrightarrow {OB}}+{\overrightarrow {OO'}}=l{\vec {i}}+l{\vec {j}}+l{\vec {k}}.\!$   (10)

Prin urmare, vârful C' are coordonatele $C'(l,l,l).\!$

Cu ajutorul noţiunii de coordonate ale unui punct din spaţiu se pot descrie ecuaţiile planelor în spaţiu sau, cu alte cuvinte, se poate dezvolta o întreagă geometrie analitică în spaţiu.

Puncte coliniare

Punctul $P(x,y,z)\!$ care împarte segmentul determinat de $P_1(x_1, y_1, z_1) \!$ şi $P_2(x_2, y_2, z_2) \!$ în raportul $\lambda _{1}\div \lambda _{2}\!$ este dat de:

$x={\frac {\lambda _{2}x_{1}+\lambda _{1}x_{2}}{\lambda _{1}+\lambda _{2}}},\;y={\frac {\lambda _{2}y_{1}+\lambda _{1}y_{2}}{\lambda _{1}+\lambda _{2}}},\;z={\frac {\lambda _{2}z_{1}+\lambda _{1}z_{2}}{\lambda _{1}+\lambda _{2}}},\!$   (11)

Utilizând o notaţie simetrică, rezultă că punctele $P_{1}(x_{1},y_{1},z_{1}),P_{2}(x_{2},y_{2},z_{2}),P_{3}(x_{3},y_{3},z_{3})\!$ sunt coliniare dacă şi numai dacă există numerele $\mu _{1},\mu _{2},\mu _{3}\!$ nu toate nule, astfel încât:

$\left.{\begin{matrix}\mu _{1}x_{1}+\mu _{2}x_{2}+\mu _{3}x_{3}=0,\\\mu _{1}y_{1}+\mu _{2}y_{2}+\mu _{3}y_{3}=0,\\\mu _{1}z_{1}+\mu _{2}z_{2}+\mu _{3}z_{3}=0,\\\mu _{1}+\mu _{2}+\mu _{3}=0.\end{matrix}}\right\}\!$   (12)

De remarcat faptul că dacă $P_1, P_2, P_3 \!$ sunt coliniare şi distincte, niciunul din numerele $\mu _{1},\mu _{2},\mu _{3}\!$ nu este nul. Mai mult, numerele $\mu _{1},\mu _{2},\mu _{3}\!$ nu toate nule satisfăcând (12) există dacă şi numai dacă orice determinant de trei rânduri derivat din matricea:

${\begin{bmatrix}x_{1}&y_{1}&z_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&z_{2}&1\\x_{3}&y_{3}&z_{3}&1\end{bmatrix}}\!$   (13)

este zero (Aitken).

Această condiţie se mai scrie:

${\begin{vmatrix}{\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}&z_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&z_{2}&1\\x_{3}&y_{3}&z_{3}&1\end{vmatrix}}\end{vmatrix}}=0,$   (14)

fiind o formă mai concisă pentru condiţia de coliniaritate.

Observaţii.

1. Dacă $P_1 P_2 \!$ are direcţia $(l,m,n)\!$ şi $P_{1}^{*},P_{2}^{*},P^{*}\!$ sunt proiecţiile punctelor $P_{1},P_{2},P\!$ pe OX, atunci:

$x-x_{1}=(P_{1}^{*}P^{*})=(P_{1}P)l\!$

$x_{2}-x=(P^{*}P_{2}^{*})=(PP_{2})l\!$

şi din prima din ecuaţiile (11) rezultă:

$(P_{1}P)\div (PP_{2})=\lambda _{1}\div \lambda _{2}.\!$

În mod similar pentru celellate două. E interesant de studiat cazul $l=0.\!$

Vezi şi

• Dreaptă
• Plan
• Punct material