FANDOM


Coordonatele unui punct din spaţiu Edit

Cu ajutorul spaţiului vectorilor liberi $ V_3 \! $ putem introduce riguros matematic noţiunea de coordonate ale unui punct arbitrar M din spaţiul tridimensional al geometriei elementare $ E_3. \! $ Pentru aceasta să fixăm baza canonică:

$ B= \{ \vec i, \vec j, \vec k \} \! $   (1)

în spaţiul vectorial real al vectorilor liberi $ V_3 \! $ şi să considerăm că acestă bază este "legată" într-un punct fixat O al spaţiului tridimensional al geometriei elementare $ E_3. \! $


Definiţie. Ansamblul:

$ \mathcal R= \{ O; \vec i, \vec j, \vec k \} \! $   (2)

se numeşte reperul cartezian canonic al spaţiului tridimensional al geometriei elementare $ E_3. \! $ Dreptele directoare ale versorilor $ \vec i, \vec j \! $ şi $ \vec k \! $ sunt axele Ox, Oy şi Oz ale unui sistem de coordonate Oxyz în spaţiul tridimensional al geometriei elementare $ E_3 \! $ (aceste axe au acelaşi sens cu al versorilor $ \vec i, \vec j \! $ şi $ \vec k \! $) iar punctul Oeste originea sistemului de coordonate Oxyz.


Definiţie. Spunem că un punct arbitrar M din spaţiul tridimensional al geometriei elementare $ E_3 \! $ are coordonatele carteziene:

$ (x, y, z) \in \mathbb R^3 \! $   (3)

iar reperul cartezian canonic:

$ \mathcal R= \{ O; \vec i, \vec j, \vec k \} \! $   (4)

dacă vectorul de poziţie \rightarrow {OM} se descompune în baza canonică:

$ B= \{ \vec i, \vec j, \vec k \} \! $   (5)

după formula:

$ \overrightarrow{OM} = x \vec i+ y \vec j+ z \vec k. \! $   (6)
Punctul M in spatiul E3

Punctul $ M(x, y, z) \! $ din spaţiul $ E_3 \! $

Observaţie. Coordonatele carteziene $ (x, y, z) \! $ ale punctului M reprezintă lungimile proiecţiilor ortogonale ale vectorului de poziţie $ \overrightarrow{OM} \! $ pe cele trei axe de coordonate Ox, Oy şi Oz.


Exemplu: Să considerăm un cub $ [OABCO'A'B'C'], \! $ având muchiile de lungime $ l>0, \! $ şi să legăm în vârful O baza canonică:

$ B= \{ \vec i, \vec j, \vec k \} \! $   (7)

astfel încât direcţiile şi sensurile versorilor $ \vec i, \vec j, \vec k \! $ să coincidă cu cele ale muchiilor cubului $ \overline{OA}, \overline {OB} \! $ şi $ \overline{OO'}. \! $


Este evident că punctul O este originea sistemului de axe. Vectorul de poziţie al acesteia este $ \overrightarrow {OO}=\vec 0 \! $ şi deci punctul O are coordonatele $ O(0, 0, 0). \! $

Deoarece vectorul de poziţie $ \overrightarrow{OA} \! $ este coliniar cu $ \vec i \! $ şi are lungimea $ \| \overrightarrow{OA}\|, \! $ rezultă că avem:

$ \overrightarrow{OA} = l \vec i. \! $   (8)

Prin urmare, coordonatele vârfului A sunt $ A(l, 0, 0). \! $

Deoarecec vectorul de poziţie $ \overrightarrow{OB} \! $ (respectiv $ \overrightarrow {OO'} \! $) este coliniar cu $ \vec j \! $ (respectiv $ \vec k \! $) şi are lungimea $ \|\overrightarrow{OB} \| = l \! $ (respectiv $ \|\overrightarrow{OO'} \| = l \! $), rezultă că avem:

$ \overrightarrow{OB} = l \vec j \! $ (respectiv $ \overrightarrow{OO'} = l \vec k \! $)

Prin urmare, coordonatele vârfurilor B şi O' sunt $ B(0, l, 0). \! $ şi $ O'(0, 0, l). \! $


Coordonatele vârfului C se determină considerând vectorul de poziţie $ \overrightarrow{OC} \! $ care, conform regulii paralelogramului, este:

$ \overrightarrow{OC}= \overrightarrow {OA}+ \overrightarrow {OB}=l \vec i + l \vec j. \! $   (9)

Prin urmare, vârful C are coordonatele $ C(l, l, 0). \! $ Prin analogie, vârful A' are coordonatele $ A'(l, 0, l) \! $ iar vârful B' are coordonatele $ B'(0, l, l). \! $

Vectorul de poziţie $ \overrightarrow{OC'} \! $ se descompune, conform regulii paralelogramului, în:

$ \overrightarrow{OC'} = \overrightarrow{OC}+ \overrightarrow{OO'}= \overrightarrow{OA}+ \overrightarrow{OB}+ \overrightarrow{OO'}= l \vec i + l \vec j+ l \vec k. \! $   (10)

Prin urmare, vârful C' are coordonatele $ C'(l, l, l). \! $


Cu ajutorul noţiunii de coordonate ale unui punct din spaţiu se pot descrie ecuaţiile planelor în spaţiu sau, cu alte cuvinte, se poate dezvolta o întreagă geometrie analitică în spaţiu.

Puncte coliniare Edit

Punctul $ P(x, y, z) \! $ care împarte segmentul determinat de $ P_1(x_1, y_1, z_1) \! $ şi $ P_2(x_2, y_2, z_2) \! $ în raportul $ \lambda_1 \div \lambda_2 \! $ este dat de:

$ x = \frac {\lambda_2 x_1+ \lambda_1 x_2}{\lambda_1 + \lambda_2}, \; y= \frac {\lambda_2 y_1+ \lambda_1 y_2}{\lambda_1 + \lambda_2}, \; z= \frac {\lambda_2 z_1+ \lambda_1 z_2}{\lambda_1 + \lambda_2}, \! $   (11)

Utilizând o notaţie simetrică, rezultă că punctele $ P_1 (x_1, y_1, z_1), P_2 (x_2, y_2, z_2), P_3 (x_3, y_3, z_3) \! $ sunt coliniare dacă şi numai dacă există numerele $ \mu_1, \mu_2, \mu_3 \! $ nu toate nule, astfel încât:

$ \left. \begin{matrix} \mu_1 x_1 + \mu_2 x_2 + \mu_3 x_3 = 0, \\ \mu_1 y_1 + \mu_2 y_2 + \mu_3 y_3 = 0, \\ \mu_1 z_1 + \mu_2 z_2 + \mu_3 z_3 = 0, \\ \mu_1 + \mu_2 + \mu_3 =0. \end{matrix} \right \} \! $   (12)

De remarcat faptul că dacă $ P_1, P_2, P_3 \! $ sunt coliniare şi distincte, niciunul din numerele $ \mu_1, \mu_2, \mu_3 \! $ nu este nul. Mai mult, numerele $ \mu_1, \mu_2, \mu_3 \! $ nu toate nule satisfăcând (12) există dacă şi numai dacă orice determinant de trei rânduri derivat din matricea:

$ \begin{bmatrix} x_1 & y_1 & z_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & z_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & z_3 & 1 \end{bmatrix} \! $   (13)

este zero (Aitken).

Această condiţie se mai scrie:

$ \begin{vmatrix} \begin{vmatrix} x_1 & y_1 & z_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & z_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & z_3 & 1 \end{vmatrix} \end{vmatrix} =0, $   (14)

fiind o formă mai concisă pentru condiţia de coliniaritate.

Observaţii.

1. Dacă $ P_1P_2 \! $ are direcţia $ (l, m, n) \! $ şi $ P_1^*, P_2^*, P^* \! $ sunt proiecţiile punctelor $ P_1, P_2, P \! $ pe OX, atunci:

$ x-x_1 = (P_1^*P^*) = (P_1P)l \! $
$ x_2-x = (P^*P_2^*) = (PP_2)l \! $

şi din prima din ecuaţiile (11) rezultă:

$ (P_1P) \div (PP_2) = \lambda_1 \div \lambda_2. \! $

În mod similar pentru celellate două. E interesant de studiat cazul $ l =0. \! $


Vezi şi Edit