Fandom

Math Wiki

Punct

1.029pages on
this wiki
Add New Page
Comments0 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Coordonatele unui punct din spaţiu Edit

Cu ajutorul spaţiului vectorilor liberi V_3 \! putem introduce riguros matematic noţiunea de coordonate ale unui punct arbitrar M din spaţiul tridimensional al geometriei elementare E_3. \! Pentru aceasta să fixăm baza canonică:

B= \{ \vec i, \vec j, \vec k \} \!   (1)

în spaţiul vectorial real al vectorilor liberi V_3 \! şi să considerăm că acestă bază este "legată" într-un punct fixat O al spaţiului tridimensional al geometriei elementare E_3. \!


Definiţie. Ansamblul:

\mathcal R= \{ O; \vec i, \vec j, \vec k \} \!   (2)

se numeşte reperul cartezian canonic al spaţiului tridimensional al geometriei elementare E_3. \! Dreptele directoare ale versorilor \vec i, \vec j \! şi \vec k \! sunt axele Ox, Oy şi Oz ale unui sistem de coordonate Oxyz în spaţiul tridimensional al geometriei elementare E_3 \! (aceste axe au acelaşi sens cu al versorilor \vec i, \vec j \! şi \vec k \!) iar punctul Oeste originea sistemului de coordonate Oxyz.


Definiţie. Spunem că un punct arbitrar M din spaţiul tridimensional al geometriei elementare E_3 \! are coordonatele carteziene:

(x, y, z) \in \mathbb R^3 \!   (3)

iar reperul cartezian canonic:

\mathcal R= \{ O; \vec i, \vec j, \vec k \} \!   (4)

dacă vectorul de poziţie \rightarrow {OM} se descompune în baza canonică:

B= \{ \vec i, \vec j, \vec k \}   \!   (5)

după formula:

\overrightarrow{OM} = x \vec i+ y \vec j+ z \vec k. \!   (6)
Punctul M in spatiul E3.png

Punctul M(x, y, z) \! din spaţiul E_3 \!

Observaţie. Coordonatele carteziene (x, y, z) \! ale punctului M reprezintă lungimile proiecţiilor ortogonale ale vectorului de poziţie \overrightarrow{OM} \! pe cele trei axe de coordonate Ox, Oy şi Oz.


Exemplu: Să considerăm un cub [OABCO'A'B'C'], \! având muchiile de lungime l>0, \! şi să legăm în vârful O baza canonică:

B= \{ \vec i, \vec j, \vec k \} \!   (7)

astfel încât direcţiile şi sensurile versorilor  \vec i, \vec j, \vec k \! să coincidă cu cele ale muchiilor cubului \overline{OA}, \overline {OB} \! şi \overline{OO'}. \!


Este evident că punctul O este originea sistemului de axe. Vectorul de poziţie al acesteia este \overrightarrow {OO}=\vec 0 \! şi deci punctul O are coordonatele O(0, 0, 0). \!

Deoarece vectorul de poziţie \overrightarrow{OA} \! este coliniar cu \vec i \! şi are lungimea \| \overrightarrow{OA}\|, \! rezultă că avem:

\overrightarrow{OA} = l \vec i. \!   (8)

Prin urmare, coordonatele vârfului A sunt A(l, 0, 0). \!

Deoarecec vectorul de poziţie \overrightarrow{OB} \! (respectiv \overrightarrow {OO'} \!) este coliniar cu \vec j \! (respectiv \vec k \!) şi are lungimea \|\overrightarrow{OB} \| = l \! (respectiv \|\overrightarrow{OO'} \| = l \!), rezultă că avem:

\overrightarrow{OB} = l \vec j \! (respectiv \overrightarrow{OO'} = l \vec k \!)

Prin urmare, coordonatele vârfurilor B şi O' sunt B(0, l, 0). \! şi O'(0, 0, l). \!


Coordonatele vârfului C se determină considerând vectorul de poziţie \overrightarrow{OC} \! care, conform regulii paralelogramului, este:

\overrightarrow{OC}= \overrightarrow {OA}+ \overrightarrow {OB}=l \vec i + l \vec j.  \!   (9)

Prin urmare, vârful C are coordonatele C(l, l, 0). \! Prin analogie, vârful A' are coordonatele A'(l, 0, l) \! iar vârful B' are coordonatele B'(0, l, l). \!

Vectorul de poziţie \overrightarrow{OC'} \! se descompune, conform regulii paralelogramului, în:

\overrightarrow{OC'} = \overrightarrow{OC}+  \overrightarrow{OO'}=  \overrightarrow{OA}+  \overrightarrow{OB}+  \overrightarrow{OO'}= l \vec i + l \vec j+ l \vec k. \!   (10)

Prin urmare, vârful C' are coordonatele C'(l, l, l). \!


Cu ajutorul noţiunii de coordonate ale unui punct din spaţiu se pot descrie ecuaţiile planelor în spaţiu sau, cu alte cuvinte, se poate dezvolta o întreagă geometrie analitică în spaţiu.

Puncte coliniare Edit

Punctul P(x, y, z) \! care împarte segmentul determinat de P_1(x_1, y_1, z_1) \! şi P_2(x_2, y_2, z_2) \! în raportul \lambda_1 \div \lambda_2 \! este dat de:

x = \frac {\lambda_2 x_1+ \lambda_1 x_2}{\lambda_1 + \lambda_2}, \; y= \frac {\lambda_2 y_1+ \lambda_1 y_2}{\lambda_1 + \lambda_2}, \; z= \frac {\lambda_2 z_1+ \lambda_1 z_2}{\lambda_1 + \lambda_2}, \!   (11)

Utilizând o notaţie simetrică, rezultă că punctele P_1 (x_1, y_1, z_1), P_2 (x_2, y_2, z_2), P_3 (x_3, y_3, z_3) \! sunt coliniare dacă şi numai dacă există numerele \mu_1, \mu_2, \mu_3 \! nu toate nule, astfel încât:

\left. \begin{matrix} \mu_1 x_1 + \mu_2 x_2 + \mu_3 x_3 = 0, \\ \mu_1 y_1 + \mu_2 y_2 + \mu_3 y_3 = 0, \\ \mu_1 z_1 + \mu_2 z_2 + \mu_3 z_3 = 0, \\ \mu_1 + \mu_2 + \mu_3 =0. \end{matrix} \right \} \!   (12)

De remarcat faptul că dacă P_1, P_2, P_3 \! sunt coliniare şi distincte, niciunul din numerele \mu_1, \mu_2, \mu_3 \! nu este nul. Mai mult, numerele \mu_1, \mu_2, \mu_3 \! nu toate nule satisfăcând (12) există dacă şi numai dacă orice determinant de trei rânduri derivat din matricea:

\begin{bmatrix} x_1 & y_1 & z_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & z_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & z_3 & 1 \end{bmatrix} \!   (13)

este zero (Aitken).

Această condiţie se mai scrie:

\begin{vmatrix} \begin{vmatrix} x_1 & y_1 & z_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & z_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & z_3 & 1 \end{vmatrix} \end{vmatrix} =0,   (14)

fiind o formă mai concisă pentru condiţia de coliniaritate.

Observaţii.

1. Dacă P_1P_2 \! are direcţia (l, m, n) \! şi P_1^*, P_2^*, P^* \! sunt proiecţiile punctelor P_1, P_2, P \! pe OX, atunci:

x-x_1 = (P_1^*P^*) = (P_1P)l \!
x_2-x = (P^*P_2^*) = (PP_2)l \!

şi din prima din ecuaţiile (11) rezultă:

(P_1P) \div (PP_2) = \lambda_1 \div \lambda_2. \!

În mod similar pentru celellate două. E interesant de studiat cazul l =0. \!


Vezi şi Edit

Also on Fandom

Random Wiki