Fandom

Math Wiki

Proprietăți ale funcțiilor derivabile

1.029pages on
this wiki
Add New Page
Comments0 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

PROPRIETĂȚILE FUNCȚIILOR DERIVABILE PE UN INTERVAL


Pagina principală  Analiză matematică  Primitive: exercitii rezolvate  Integrarea prin părţi - exerciţii rezolvate

Banner Şcoala pentru toţi. Fundalul este reprezentat de o tablă dintr-o sală de clasă. În partea stângă, profesoara stă la catedră. În partea dreaptă se află o fetiţă cu ochelari cu lentile groase şi un băiat. Pe tablă scrie cu alb Şcoala pentru toţi în text normal şi în Braille.

Meniu principal Edit

  • Pagina principală
  • Despre Şcoala pentru toţi
  • Programe utile
  • Contact

Grădiniţă Edit

  • Ghicitori

Şcoala primară Edit

  • Culegeri de matematică
  • Fabule

Gimnaziu Edit

  • Culegeri de matematică
  • Memorator de matematică
  • Algebră
  • Geometrie plană
  • Geometrie în spaţiu
  • Matematică distractivă
  • Matematică audio
  • Legende
  • Poezii

Liceu Edit

  • Culegeri de matematică
  • Variante BAC rezolvate
  • Analiză matematică

Autentificare Edit

Integrarea prin părţi - exerciţii rezolvate Edit

Scris de Cristina Vuşcan

Marţi, 06 Noiembrie 2012 10:09

Să se calculeze primitivele următoarelor funcţii:


1. ;

Rezolvare: Vom scrie funcţia h astfel

şi vom considera că  şi . Atunci:


. Prin urmare, .

Verificare: Vom face verificarea, derivând una din primitivele familiei de primitive obţinute ca rezultat. Dacă derivata este egală cu funcţia h, rezultatul obţinut este corect şi verificarea încheiată. Aşadar:


, c.c.t.d.


2. ;

Rezolvare: Avem . În acest caz  iar . Revenind la calculul primitivei lui h, obţinem:


. Deci, .


3. ;

Rezolvare: Avem



. Prin urmare, .


4. ;

Rezolvare: Avem

. Trecând cu semn schimbat în membrul stâng al egalităţii termenul , obţinem

. Deci .


5. ;

Rezolvare:


. Prin urmare .


6. ;

Rezolvare:


. Aşadar .


7. ;

Rezolvare: 


. Prin urmare .


8. ;

Rezolvare:


. Trecând cu semn schimbat în membrul stâng termenul , obţinem

de unde .


9. ;

Rezolvare:



. Deci .


10. ;

Rezolvare: . Fie  şi . Avem:



. Trecând cu semn schimbat, în membrul stâng, termenul , obţinem

de unde (1) . Apoi



. Trecând cu semn schimbat, în membrul stâng, termenul , obţinem

de unde (2) . Acum, din (1) şi (2) rezultă

.


11. ;

Rezolvare:


. Trecând cu semn schimbat în membrul stâng termenul , obţinem:

de unde .

Ultima actualizare ( Duminică, 18 Noiembrie 2012 19:16 )


Logicus - probleme de logică și perspicacitate

www.anjo.ro - magazin virtual de produse pentru nevăzători

Site realizat de SC Anjo Web Design SRL

Puncte de extrem ale unei funcții Edit

Definiție

Fie f : D \rightarrow \mathbb R \! și x_0 \in D. \!

  • Spunem că x_0 \! este punct de maxim relativ sau maxim local pentru funcția f dacă există o vecinătate V a lui x_0 \! astfel încât f(x_0 \ge f(x) \! pentru orice x \in V \cap D. \! (în x_0 \!) funcția f are cea mai mare valoare).
  • Spunem că x_0 \! este punct de minim relativ sau minim local pentru funcția f dacă există o vecinătate V a lui x_0 \! astfel încât f(x_0 \le f(x) \! pentru orice x \in V \cap D. \! (în x_0 \!) funcția f are cea mai mică valoare).
  • Spunem că x_0 \! este punct de extrem relativ sau extrem local dacă este punct de maxim sau minim relativ.
Grafic cu puncte de extrem local.png

Exemplu

În figură, punctele a și c sunt puncte de maxim local iar punctele b și d sunt puncte de minim local.


Extremele definite mai sus se numesc extreme relative sau locale spre a le deosebi de extremele absolute sau globale.


Definiție

  • Spunem că x_0 \! este punct de maxim absolut sau maxim global pentru funcția f: D \rightarrow \mathbb R \! dacă f(x_0) \ge f(x) \! pentru orice x \in D. \!

În acest caz, f(x_0) \! reprezintă valoare maximă a funcției și se notează:

f(x_0) = \max_{x \in D} f(x)  \!
  • Spunem că x_0 \! este punct de minim absolut sau minim global pentru funcția f: D \rightarrow \mathbb R \! dacă f(x_0) \le f(x) \! pentru orice x \in D. \!

În acest caz, f(x_0) \! reprezintă valoare minimă a funcției și se notează:

f(x_0) = \min_{x \in D} f(x)  \!


În continuare, pentru simplicitate, când ne vom referi la punctele de maxim sau de minim relativ, vom omite cuvântul relativ.

Dacă x_0 \! este un punct de minim (de maxim ) a funcției, punctul de abscisă x_0 \! este numit punct de minim (maxim) al graficului.


Teorema lui Fermat Edit

Punct de extrem de maxim sau de minim.png

Exemplu pregătitor

Fie funcția f: \mathbb R \rightarrow \mathbb R, \; f(x)= ax^2+bx+c  \! cu a \neq 0. \!

știm că graficul este o parabolă având vârful de abscisă x_0= - \frac {b}{2a} \!

Vârful corespunde unui punct extrem (maxim sau minim după cum a<0 \! sau a>0 \!).

Studiul graficului sugerează faptul că tangenta la grafic în vârf este orizontală. Într-adevăr, f'(x) = 2ax+b, \! deci panta tangentei la grafic în vârf este f'(- \frac {b}{2a})=0. \!

Teorema lui Fermat

Fie f : I \rightarrow \mathbb R \! o funcție derivabilă pe intervalul I.

Dacă a este un punct de extrem din interiorul intervalului f'(a)=0. \!


Demonstrație

Fie a un punct de maxim relativ și V o vecinătate a lui, a, astfel încât f(x) \le f(a), \! pentru orice x.

Atunci:

f'_s(a)= \lim_{\underset {x<a}{a \to a}} \frac {f(x) - f(a)}{x-a} \ge 0, \; \;  \lim_{\underset {x>a}{a \to a}} \frac {f(x) - f(a)}{x-a} \le 0 \!

Funcția f fiind derivabilă, avem f'_s(a) = f'_d(a) =0 \! de unde rezultă concluzia.

Cazul când a este punct de minim este analog.

Interpretarea geometrică a teoremei lui Fermat Edit

Interpretare geometrica teorema lui Fermat.png

Dacă f: I \rightarrow \mathbb R \! este o funcție derivabilă, în orice punct de extreme, diferit de extremitățile graficului, tangenta la grafic este orizontală.

Punctul x_1 \! este un punct de minim iar x_2 \! este un punct de maxim din interiorul lui [a, b]. \!

Tangentele la grafic în punctele de abscise x_1 \! și x_2 \! sunt orizontale.

Observații

1. Teorema lui Fermat afirmă că dacă o funcție este derivabilă pe un interval I, atunci punctele de extrem din interiorul intervalului I se află printre punctele critice.

2. Concluzia teoremei lui Fermat rămâne valabilă (cu aceeași demonstrație), dacă în locul condiției ca f să fie derivabilă pe I punem condiția ca f să fie derivabilă doar în punctul de extrem considerat.

3. Reciproca teoremei lui Fermat nu este adevărată, adică din faptul că derivata într-un punct este nulă nu rezultă neapărat că acest punct este de extrem.

Exemplu:

Pentru funcția f: \mathbb R \rightarrow \mathbb R, \; f(x)= x^3, \! originea este punct critic dar nu este extrem

4. Dacă un punct de extrem este situat la un capăt al intervalului I, nu rezultă neapărat că derivata în acel punct este nulă. \!

Exemple:

  • Pentru funcția strict crescătoare f: [2, 5] \rightarrow \mathbb R, \; f(x) = 3x -1, \! minimul se atinge în 2 iar maximul în 5, dar derivata nu se anulează în nici un punct.
  • În figură, punctele A (a, f(a)) \! și B(f, f(b)) \! sunt puncte de extrem ale graficului dar tangentele la grafic în aceste puncte nu sunt orizontale.

5. Pot exista puncte de extrem în care funcția nu este derivabilă.

Exemplu:

Pentru funcția f: \mathbb R \rightarrow \mathbb R, \; f(x)= |x|, \! originea este punct de minim, dar f nu este derivabilă în origine.

Teorema lui Rolle Edit

Grafic teorema Rolle.png

(Detalii la articolul Teorema lui Rolle)

Fie f: [a, b] \rightarrow \mathbb R. \! Dacă:

a) f este continuă pe [a, b]. \!

b) f este derivabilă pe (a, b) \!

c) f(a) = f(b) \!

atunci există c \in (a, b) \! astfel încât f'(c)=0. \! (derivata are cel puțin o rădăcină în intervalul [a, b] \!)


Observație

O funcție f: [a, b] \rightarrow \mathbb R, \! continuă pe [a, b] \! și derivabilă pe (a, b) \! se numește funcție Rolle pe [a, b], \! unde a, b \in \mathbb R , \; a<b. \!

Interpretarea geometrică a teoremei lui Rolle Edit

Punctul c, a cărui existență rezultă din teorema lui Rolle, nu este neapărat unic.

Consecințe Edit

Fie f: I \rightarrow \mathbb R, \! o funcție derivabilă pe un interval I.

Două rădăcini ale funcției (adică ale ecuației f(x)=0 \!) sunt numite rădăcini consecutive, dacă între ele nu se află nicio altă rădăcină.

Consecința 1. Între două rădăcini ale funcției există cel puțin o rădăcină a derivatei.

Consecința 2. Între două rădăcini consecutive ale derivatei există cel mult o rădăcină a funcției.

Exemple Edit

1) Demonstrați că în intervalul (0, 1) \! se găsește o singură rădăcină a ecuației:

4x^3-6x^2+1=0. \!


Soluție

Notăm f(x) =4x^3-6x^2+1. \! Cum f(0)=1>0 \! și f(1) =-1 <0, \! folosind proprietatea valorilor intermediare, rezultă că între 0 și 1 există cel puțin o rădăcină. Dar f'(x)= 12x^2-12x \! are rădăcinile 0 și 1 și aplicând a doua consecință a teoremei lui Rolle, rezultă unicitatea.


2) Dacă f: [-1, 1] \rightarrow \mathbb R, \; f(x) = \begin{cases} x^2-3x, & x \in [-1, 0)  \\ mx^2+nx+p, & x \in (0, 1] \end{cases}

aflați valorile lui m, n, p astfel încât funcția să îndeplinească condițiile teoremei lui Rolle. Aflați valoarea punctului intermediar.


Soluție

Din condiția ca f să fie continuă, găsim p=0, \! iar din condiția ca f să fie derivabilă, n=-3 \!. Relația f(1) = f(-1) \! implică m=7. \! Punctul intermediar este c.


3) Fie funcția f: \mathbb R \rightarrow \mathbb R, \; f(x) = x^3-3x. Aflați punctele de extrem.


Soluție

Deoarece f este derivabilă pe \mathbb R, \! căutăm punctele de extrem printre punctele critice.

f'(x) = 3(x^2-1) deci punctele critice sunt 1 și -1.

Cercetăm cu ajutorul definiției, dacă acestea sunt puncte de extrem.

Avem f'(x) - f(1) = x^2-3x+2 = (x+2) (x-1)^2, \! de unde rezultă că pentru orice x din vecinătatea (-2, \infty) \! a lui 1 are loc relația f(x)> f(1) \!, adică 1 este punct de minim relativ.

Analog, din f(x) - f(-1) = x^3 - 3x -2 = (x-2)(x+1)^2, rezultă că pentru orice x din vecinătatea (- \infty, 2) \! alui -1 avem f(x) < f(-1), \! deci -1 este punct de maxim relativ.

Teorema lui Lagrange Edit

(Vezi articolul: Teorema creșterilor finite)

Teorema lui Lagrange (teorema de medie sau teorema creșterilor finite) este unul dintre cele mai importante rezultate din analiza matematică:

Dacă f: [a, b] \rightarrow \mathbb R \! este:

  a) funcție continuă pe [a, b] \!

  b) funcție derivabilă pe (a, b), \! atunci există c \in (a, b) \! astfel încât

\frac {f(b) - f(a)}{b-a} = f'(c) \!


Demonstrație. Fie h: [a, b] \rightarrow \mathbb R, \; h(x)= f(x) - \lambda x\! și impunem ca h să îndeplinească condițiile teoremei lui Rolle. Evident, h este continuă pe [a, b] \! și derivabilă pe (a, b). \! Punând condiția h(a) = h(b), \! găsim: \lambda = \frac {f(b) - f(a)}{b-a}. \!

Din teorema lui Rolle, rezultă că există c \in (a, b) \! astfel încât h'(c)=0, \! de unde \lambda = f'(c) \! și ținând seama de expresia lui \lambda, \! rezultă concluzia:

f'(c)= \frac {f(b)- f(a)}{b-a}. \!


Teorema lui Lagrange se mai numește și prima formulă a creșterilor finite. Punctul c este numit în aplicații punct intermediar.

Interpretare geometrică Edit

Interpretare teorema Lagrange.png

Dacă notăm A (a, f(a)), B(b, f(b)), \! atunci \frac {f(b)- f(a)}{b-a} \! reprezintă panta dreptei AB, iar f'(c) \! reprezintă panta tangentei la grafic în punctul C(c, f(c)). \! Astfel, concluzia teoremei lui Lagrange se exprimă geometric prin existența unui punct (cel puțin) în care tangenta la grafic este paralelă cu coarda care unește capetele graficului. Punctul c nu este neapărat unic!

Consecințe Edit

  1. Dacă derivata unei funcții este nulă pe un interval, atunci funcția este constantă pe acel interval.

Demonstrație. Fie f: I \rightarrow \mathbb R \! o funcție derivabilă cu f'=0 \! pe intervalul I. Fixăm un punct a \in I \! și considerăm un punct arbitrar x \in I , \; x \neq a. \! Aplicăm teorema lui Lagrange pe intervalul [a, x] \! sau [x, a]. \! Există un c cuprins între a și x astfel încât f(x)- f(a) = (x-a) f'(c) \! și, deoarece f'(c)=0, \! rezultă f(x) - f(a) =0. \! Cum x este arbitrar în I, deducem că f este constantă.


  2. Dacă două funcții au derivatele egale pe un interval, atunci diferența celor două funcții este constantă pe acel interval.

Demonstrație. Fie g și h derivabile cu g'=h' \! pe I. Aplicăm prima consecință pentru funcția f=g-h. \!

Corolar (calculul derivatei unei funcții într-un punct) Edit

  1. Dacă o funcție f: (a, x_0] \rightarrow \mathbb R \! este continuă pe(a, x_0], \! derivabilă pe (a, x_0) \! și există \lim_{\underset {x<x_0}{x \to x_0}} f'(x), \! atunci f'_s (x_0) = \lim_{\underset {x<x_0}{x \to x_0}} f'(x). \!

  2. Dacă o funcție f: (a, x_0] \rightarrow \mathbb R \! este continuă pe[x_0, b), \! derivabilă pe (x_0, b) \! și există \lim_{\underset {x>x_0}{x \to x_0}} f'(x), \! atunci f'_d (x_0) = \lim_{\underset {x>x_0}{x \to x_0}} f'(x). \!

  3. Dacă o funcție este derivabilă pe (a, b) \setminus \{ x_0 \} \! (unde x_0 \in (a, b) \!), este continuă în x_0 \! și există \lim_{x \to x_0} f'(x) \! atuncif'(x_0) = \lim_{x \to x_0} f'(x). \!


Demonstrație

  1. Avem: f'_s(x_0) = \lim_{\underset {x<x_0}{x \to x_0}} (x_0)  \! și din teorema lui Lagrange pe intervalul [x, x_0] \! există c_x \in (x, x_0) \! (care depinde de x), cu \frac {f(x) - f(x_0)}{x-x_0} = f'(c_x). \!

Rezultă f'_s(x_0) = \lim_{\underset {x<x_0}{x \to x_0}} f'(c_x) = \lim_{\underset {c_x<x_0}{c_x \to x_0}} f'(c_x) = \lim_{\underset {x<x_0}{x \to x_0}} f'(x) \!

Afirmația 2 se demonstrează analog, iar 3 rezultă din 1 și 2.


Astfel, teorema lui Lagrange furnizează o metodă de studiu al derivabilității unei funcții într-un punct, în situația în care un calcul direct prin aplicarea regulilor de derivare nu este posibil.


Exemplu:

Funcția f: [-1, 1] \rightarrow \mathbb R, \; f(x) = \arcsin x \! este derivabilă pe (-1, 1) \! și

f'(x) = \frac {1}{\sqrt {1-x^2}} \!

Studiul derivabilității în 1 și -1 folosind definiția este laborios.

Teorema lui Cauchy Edit

Fie funcțiile f, g: [a, b] \rightarrow \mathbb R, \! care verifică condițiile:

  (a) f și g sunt continue pe intervalul [a, b]; \!

  (b) f și g sunt derivabile pe intervalul (a, b); \!  \!

  (c) g'(x) \neq 0 \! pentru orice x \in (a, b). \!

atunci există c \in (a, b) \! astfel încât:

 \frac {f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} = \frac {f'(c)}{g'(c)}. \!


Observații.

  1. Teorema lui Lagrange se obține și ca un caz particular al teoremei lu Cauchy dacă alegem g(x)=x. \!

  2. Teorema lui Cauchy se mai numește și a doua teoremă a creșterilor finite sau a doua teoremă de medie.

Resurse Edit

Also on Fandom

Random Wiki