Progresie aritmetică

Se numeşte progresie aritmetică un șir în care diferenţa oricăror doi termeni consecutivi este un număr constant r, numit raţia progresiei aritmetice.

1. Relaţia de recurenţă între doi termeni consecutivi:

$a_{n+1} = a_n + r, \; \forall n \ge 1 \!$

2. $a_1, a_2, \cdots , a_{n-1}, a_n, a_{n+1} \!$ sunt termenii unei progresii aritmetice $\Leftrightarrow \!$

$a_n = \frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2} \!$

3. Termenul general este dat de:

$a_n= a_1 + (n-1)r \!$

4. Suma oricăror doi termeni egal depărtaţi de extremi este egal cu suma termenilor extremi:

$a_k + a_{n-k+1} = a_1 + a_n \!$

5. Suma primilor n termeni:

$S_n= \frac{(a_1+a_n) \cdot n}{2} \!$

6. Şirul termenilor unei progresii aritmetice:

$a_1, a_1+r, a_1+2r, a_1+3r, \cdots \!$

$a_m-a_n = (m-n)r \!$

7. Trei numere $x_1, x_2, x_3 \!$ se scriu în progresie aritmetică de forma:

$x_1= u-v, \; \; x_2= u, \; \; x_3= u+v, \; \; \forall u, v \in \mathbb R. \!$

8. Patru numere $x_1, x_2, x_3, x_4 \!$ se scriu în progresie aritmetică astfel:

$x_1= u-3v, \; \; x_2 = u-v, \; \; x_3= u+3v, \; \; \forall u, v \in \mathbb R. \!$

9. Dacă $\div a_i \Rightarrow \frac{a_k}{a_{k+1}} < \frac{a_{k+1}}{a_{k+2}}. \!$

Vezi şi

• Progresie geometrică