Produsul scalar a doi vectori este un scalar care verifică proprietăţile:
1) Comutativitate:
2) Asociativitate:
3) Liniaritate:
4) Pozitivitate: cu egalitate dacă şi numai dacă
Legătura dintre produs scalar şi unghiul dintre vectori:
Deci doi vectori sunt ortogonali dacă şi numai dacă produsul lor scalar este nul.
Modulul unui vector este dat de:
Aplicaţie în fizică:
Dacă o forță deplasează un corp producându-i o deplasare atunci lucrul mecanic efectuat de forţă este:
Spațiu vectorial euclidian[]
(Vezi articolul: Spațiu vectorial euclidian)
Definiţia produsului scalar poate fi extinsă pentru orice spațiu vectorial astfel:
Definiţie.
Fie A un spațiu vectorial pe şi fie funcţia:
Spunem că f este un produs scalar dacă:
1.
2.
3.
4. cu egalitate dacă şi numai dacă
Produsul scalar este o formă biliniară simetrică şi pozitivă.
Definiţie.
Un spaţiu vectorial pe înzestrat cu un produs scalar se numeşte:
- euclidian dacă are dimensiune finită.
- prehilbertian dacă are dimensiune infinită.
Exemplu:
Dacă A este mulţimea polinoamelor, w o funcţie strict pozitivă pe un interval atunci definim un produs scalar pe A astfel:
Acest exemplu indică modul de definire a polinoamelor ortogonale.
Vezi şi[]
Resurse[]