Math Wiki
Register
Advertisement

Produsul scalar a doi vectori este un scalar care verifică proprietăţile:

1) Comutativitate:

2) Asociativitate:

3) Liniaritate:

4) Pozitivitate: cu egalitate dacă şi numai dacă


Legătura dintre produs scalar şi unghiul dintre vectori:

Deci doi vectori sunt ortogonali dacă şi numai dacă produsul lor scalar este nul.

Modulul unui vector este dat de:

Aplicaţie în fizică:

Dacă o forță deplasează un corp producându-i o deplasare atunci lucrul mecanic efectuat de forţă este:

Spațiu vectorial euclidian[]

(Vezi articolul: Spațiu vectorial euclidian)

Definiţia produsului scalar poate fi extinsă pentru orice spațiu vectorial astfel:

Definiţie. Fie A un spațiu vectorial pe şi fie funcţia:

Spunem că f este un produs scalar dacă:

1.

2.

3.

4. cu egalitate dacă şi numai dacă


Produsul scalar este o formă biliniară simetrică şi pozitivă.


Definiţie. Un spaţiu vectorial pe înzestrat cu un produs scalar se numeşte:

  • euclidian dacă are dimensiune finită.
  • prehilbertian dacă are dimensiune infinită.


Exemplu: Dacă A este mulţimea polinoamelor, w o funcţie strict pozitivă pe un interval atunci definim un produs scalar pe A astfel:

Acest exemplu indică modul de definire a polinoamelor ortogonale.

Prod scalar 1 Prod scalar 2 Prod scalar 3 Prod scalar 4 Prod scalar 5

Produs scalar 1 Produs scalar 2 Produs scalar 3 Produs scalar 4 Produs scalar 5

Vezi şi[]

Resurse[]

Advertisement