Fandom

Math Wiki

Produs scalar

1.029pages on
this wiki
Add New Page
Comments0 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Produsul scalar a doi vectori este un scalar care verifică proprietăţile:

1) Comutativitate:  \vec u \cdot \vec v = \vec v \cdot \vec u. \!

2) Asociativitate: \vec u \cdot  (\vec v + \vec w) = \vec u \cdot \vec v + \vec u \cdot \vec w. \!

3) Liniaritate: (\lambda \vec u ) \cdot \vec v = \vec u \cdot (\lambda \vec v) = \lambda (\vec u \cdot \vec v). \!

4) Pozitivitate: \vec u \cdot \vec u \ge 0 \! cu egalitate dacă şi numai dacă \vec u = \vec 0 . \!


Legătura dintre produs scalar şi unghiul dintre vectori:

\vec u \cdot \vec v = u \cdot v \cdot \cos (\widehat {u, v}). \!

Deci doi vectori sunt ortogonali dacă şi numai dacă produsul lor scalar este nul.

Modulul unui vector \vec v \! este dat de:

|\vec v| = \sqrt {\vec v \cdot \vec v} \!

Aplicaţie în fizică:

Dacă o forță \vec F \! deplasează un corp producându-i o deplasare \vec d, \! atunci lucrul mecanic efectuat de forţă este:

L =\vec F \cdot \vec d. \!

Spațiu vectorial euclidian Edit

(Vezi articolul: Spațiu vectorial euclidian)

Definiţia produsului scalar poate fi extinsă pentru orice spațiu vectorial astfel:

Definiţie. Fie A un spațiu vectorial pe \mathbb R \! şi fie funcţia:

f : A \times A \rightarrow \mathbb R. \!

Spunem că f este un produs scalar dacă:

1. f(u, v) = f(v, u), \; \forall u, v \in A. \!

2. f(u+v, w) = f(u, v) + f(u, w), \; \forall u, v, w \in A. \!

3. f(a \cdot u, v) = f(u, a \cdot v) = a f(u, v) , \; \forall a \in \mathbb R, \; \forall u, v \in A.\!

4. f(u, u) \ge 0, \! cu egalitate dacă şi numai dacă u=0. \!


Produsul scalar este o formă biliniară simetrică şi pozitivă.


Definiţie. Un spaţiu vectorial pe \mathbb R \! înzestrat cu un produs scalar se numeşte:

  • euclidian dacă are dimensiune finită.
  • prehilbertian dacă are dimensiune infinită.


Exemplu: Dacă A este mulţimea polinoamelor, w o funcţie strict pozitivă pe un interval [a, b], \! atunci definim un produs scalar pe A astfel:

f(P, Q) = \int_a^b P(x)Q(x) w(x) dx. \!

Acest exemplu indică modul de definire a polinoamelor ortogonale.

Prod scalar 1.png Prod scalar 2.png Prod scalar 3.png Prod scalar 4.png Prod scalar 5.png

Produs scalar 1.png Produs scalar 2.png Produs scalar 3.png Produs scalar 4.png Produs scalar 5.png

Vezi şi Edit

Resurse Edit

Also on Fandom

Random Wiki