FANDOM


Produsul scalar a doi vectori este un scalar care verifică proprietăţile:

1) Comutativitate: $ \vec u \cdot \vec v = \vec v \cdot \vec u. \! $

2) Asociativitate: $ \vec u \cdot (\vec v + \vec w) = \vec u \cdot \vec v + \vec u \cdot \vec w. \! $

3) Liniaritate: $ (\lambda \vec u ) \cdot \vec v = \vec u \cdot (\lambda \vec v) = \lambda (\vec u \cdot \vec v). \! $

4) Pozitivitate: $ \vec u \cdot \vec u \ge 0 \! $ cu egalitate dacă şi numai dacă $ \vec u = \vec 0 . \! $


Legătura dintre produs scalar şi unghiul dintre vectori:

$ \vec u \cdot \vec v = u \cdot v \cdot \cos (\widehat {u, v}). \! $

Deci doi vectori sunt ortogonali dacă şi numai dacă produsul lor scalar este nul.

Modulul unui vector $ \vec v \! $ este dat de:

$ |\vec v| = \sqrt {\vec v \cdot \vec v} \! $

Aplicaţie în fizică:

Dacă o forță $ \vec F \! $ deplasează un corp producându-i o deplasare $ \vec d, \! $ atunci lucrul mecanic efectuat de forţă este:

$ L =\vec F \cdot \vec d. \! $

Spațiu vectorial euclidian Edit

(Vezi articolul: Spațiu vectorial euclidian)

Definiţia produsului scalar poate fi extinsă pentru orice spațiu vectorial astfel:

Definiţie. Fie A un spațiu vectorial pe $ \mathbb R \! $ şi fie funcţia:

$ f : A \times A \rightarrow \mathbb R. \! $

Spunem că f este un produs scalar dacă:

1. $ f(u, v) = f(v, u), \; \forall u, v \in A. \! $

2. $ f(u+v, w) = f(u, v) + f(u, w), \; \forall u, v, w \in A. \! $

3. $ f(a \cdot u, v) = f(u, a \cdot v) = a f(u, v) , \; \forall a \in \mathbb R, \; \forall u, v \in A.\! $

4. $ f(u, u) \ge 0, \! $ cu egalitate dacă şi numai dacă $ u=0. \! $


Produsul scalar este o formă biliniară simetrică şi pozitivă.


Definiţie. Un spaţiu vectorial pe $ \mathbb R \! $ înzestrat cu un produs scalar se numeşte:

  • euclidian dacă are dimensiune finită.
  • prehilbertian dacă are dimensiune infinită.


Exemplu: Dacă A este mulţimea polinoamelor, w o funcţie strict pozitivă pe un interval $ [a, b], \! $ atunci definim un produs scalar pe A astfel:

$ f(P, Q) = \int_a^b P(x)Q(x) w(x) dx. \! $

Acest exemplu indică modul de definire a polinoamelor ortogonale.

Prod scalar 1 Prod scalar 2 Prod scalar 3 Prod scalar 4 Prod scalar 5

Produs scalar 1 Produs scalar 2 Produs scalar 3 Produs scalar 4 Produs scalar 5

Vezi şi Edit

Resurse Edit