Fandom

Math Wiki

Procedeul Gram-Schmidt

1.029pages on
this wiki
Add New Page
Comments0 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Metoda poartă numele matematicienilor Jørgen Pedersen Gram şi Erhard Schmidt, dar apare şi în lucrările lui Laplace şi Cauchy.

Definiţii şi propoziţii Edit

Fie V un spațiu prehilbertian.

  • Doi vectori  x, y \in V \! se numesc ortogonali dacă \langle x, y \rangle =0. \!
  • O submulţime S \subseteq V \! este ortogonală dacă orice doi vectori diferiţi din S sunt ortogonali.
  • Vectorul x \in V \! se numeşte vectorul-unitate (vector unitar) dacă \|x\| =1. \!
  • O submulţime S \subseteq V \! este ortonormală dacă S este ortogonală şi conţine numai vectori unitari.
  • O submulţime S \subseteq V \! este bază ortonormală a lui V dacă este o bază ordonată care este ortonormală.
  • Dacă S este o submulţime ortogonală a lui V ce conţine vectori nenuli, atunci S este liniar independentă.
  • Orice produs scalar definit pe un spaţiu finit dimensional admite o bază ortonormală.
  • Dacă \beta= \{ v_1, v_2, \cdots, v_n \} \! este o bază ortonormală a lui V, atunci pentru orice x \in V \!:
x \sum_{i=1}^n \langle x, v_i \rangle v_i. \!

unde \langle x, v_i \rangle \! se numesc coeficienţi Fourier.


Teoremă. Fie V un spațiu prehilbertian şi S= \{ w_1, w_2, \cdots , w_n \} \! o submulţime liniar independentă. Definim S' = \{ v_1, v_2, \cdots v_n \}, \! unde v_1=w_1 \! şi:

v_k= w_k - \sum_{j=1}^{k-1} \frac {\langle w_k, v_j  \rangle}{\| v_j \|^2} v_j \! pentru 2 \le k \le n. \!

Paşii algoritmului Edit

Se porneşte de la o bază arbitrară \{ u_1, u_2, \cdots , u_n \}. \!

  • Fie v_1 =u_1. \!
  • Se ia v_2 = u_2 - pr_{W_1}u_2= u_2 - \frac {\langle u_2, v_1 \rangle}{\| v_1 \|^2} v_1, \! unde W_1 \! este subspaţiul generat de v_1, \! iar pr_{W_1}u_2 \! este proiecţia ortogonală a lui u_2 \! în W_1. \!
  • Fie v_3= u_3 - pr_{W_2}u_3 = u_3 - \frac{\langle u_3, v_1 \rangle}{\| v_1 \|^2} v_1 - \frac{\langle u_3, v_2 \rangle}{\| v_2 \|^2} v_2, \! unde W_2 \! este subspaţiul generat de v_1 \! şi v_2. \!
  • Se ia acum v_4 = u_4 - pr_{W_3}u_4 = u_4 - \frac{\langle u_4, v_1 \rangle}{\| v_1 \|^2} v_1 - \frac{\langle u_4, v_2 \rangle}{\| v_1 \|^2} v_2 - \frac{\langle u_4, v_3 \rangle}{\| v_3 \|^2} v_3, \! unde W_3 \! este subspaţiul generat de v_1, v_2 \! şi v_3. \!
\vdots \!

Procedeul se continuă până se ajunge la v_n. \! Se va obţine o mulţime ortogonală \{ v_1, v_2, \cdots , v_n \} \! formată din n vectori liniar independenţi în V şi care astfel formează o bază ortogonală a lui V.

Formula cu determinanţi Edit

Rezultatul procedeului Gram-Schmidt poate fi exprimat folosind determinanţi:

 \mathbf{e}_j = \frac{1}{\sqrt{D_{j-1} D_j}} \begin{vmatrix}
\langle \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_1 \rangle & \langle \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_1 \rangle & \dots & \langle \mathbf{v}_j, \mathbf{v}_1 \rangle \\
\langle \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2 \rangle & \langle \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_2 \rangle & \dots & \langle \mathbf{v}_j, \mathbf{v}_2 \rangle \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
\langle \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_{j-1} \rangle & \langle \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_{j-1} \rangle & \dots &
\langle \mathbf{v}_j, \mathbf{v}_{j-1} \rangle \\
\mathbf{v}_1 & \mathbf{v}_2 & \dots & \mathbf{v}_j \end{vmatrix}

Vezi şi Edit

Resurse Edit

Also on Fandom

Random Wiki