FANDOM


Metoda poartă numele matematicienilor Jørgen Pedersen Gram şi Erhard Schmidt, dar apare şi în lucrările lui Laplace şi Cauchy.

Definiţii şi propoziţii Edit

Fie V un spațiu prehilbertian.

  • Doi vectori $ x, y \in V \! $ se numesc ortogonali dacă $ \langle x, y \rangle =0. \! $
  • O submulţime $ S \subseteq V \! $ este ortogonală dacă orice doi vectori diferiţi din S sunt ortogonali.
  • Vectorul $ x \in V \! $ se numeşte vectorul-unitate (vector unitar) dacă $ \|x\| =1. \! $
  • O submulţime $ S \subseteq V \! $ este ortonormală dacă S este ortogonală şi conţine numai vectori unitari.
  • O submulţime $ S \subseteq V \! $ este bază ortonormală a lui V dacă este o bază ordonată care este ortonormală.
  • Dacă S este o submulţime ortogonală a lui V ce conţine vectori nenuli, atunci S este liniar independentă.
  • Orice produs scalar definit pe un spaţiu finit dimensional admite o bază ortonormală.
  • Dacă $ \beta= \{ v_1, v_2, \cdots, v_n \} \! $ este o bază ortonormală a lui V, atunci pentru orice $ x \in V \! $:
$ x \sum_{i=1}^n \langle x, v_i \rangle v_i. \! $

unde $ \langle x, v_i \rangle \! $ se numesc coeficienţi Fourier.


Teoremă. Fie V un spațiu prehilbertian şi $ S= \{ w_1, w_2, \cdots , w_n \} \! $ o submulţime liniar independentă. Definim $ S' = \{ v_1, v_2, \cdots v_n \}, \! $ unde $ v_1=w_1 \! $ şi:

$ v_k= w_k - \sum_{j=1}^{k-1} \frac {\langle w_k, v_j \rangle}{\| v_j \|^2} v_j \! $ pentru $ 2 \le k \le n. \! $

Paşii algoritmului Edit

Se porneşte de la o bază arbitrară $ \{ u_1, u_2, \cdots , u_n \}. \! $

  • Fie $ v_1 =u_1. \! $
  • Se ia $ v_2 = u_2 - pr_{W_1}u_2= u_2 - \frac {\langle u_2, v_1 \rangle}{\| v_1 \|^2} v_1, \! $ unde $ W_1 \! $ este subspaţiul generat de $ v_1, \! $ iar $ pr_{W_1}u_2 \! $ este proiecţia ortogonală a lui $ u_2 \! $ în $ W_1. \! $
  • Fie $ v_3= u_3 - pr_{W_2}u_3 = u_3 - \frac{\langle u_3, v_1 \rangle}{\| v_1 \|^2} v_1 - \frac{\langle u_3, v_2 \rangle}{\| v_2 \|^2} v_2, \! $ unde $ W_2 \! $ este subspaţiul generat de $ v_1 \! $ şi $ v_2. \! $
  • Se ia acum $ v_4 = u_4 - pr_{W_3}u_4 = u_4 - \frac{\langle u_4, v_1 \rangle}{\| v_1 \|^2} v_1 - \frac{\langle u_4, v_2 \rangle}{\| v_1 \|^2} v_2 - \frac{\langle u_4, v_3 \rangle}{\| v_3 \|^2} v_3, \! $ unde $ W_3 \! $ este subspaţiul generat de $ v_1, v_2 \! $ şi $ v_3. \! $
$ \vdots \! $

Procedeul se continuă până se ajunge la $ v_n. \! $ Se va obţine o mulţime ortogonală $ \{ v_1, v_2, \cdots , v_n \} \! $ formată din n vectori liniar independenţi în V şi care astfel formează o bază ortogonală a lui V.

Formula cu determinanţi Edit

Rezultatul procedeului Gram-Schmidt poate fi exprimat folosind determinanţi:

$ \mathbf{e}_j = \frac{1}{\sqrt{D_{j-1} D_j}} \begin{vmatrix} \langle \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_1 \rangle & \langle \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_1 \rangle & \dots & \langle \mathbf{v}_j, \mathbf{v}_1 \rangle \\ \langle \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2 \rangle & \langle \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_2 \rangle & \dots & \langle \mathbf{v}_j, \mathbf{v}_2 \rangle \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \langle \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_{j-1} \rangle & \langle \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_{j-1} \rangle & \dots & \langle \mathbf{v}_j, \mathbf{v}_{j-1} \rangle \\ \mathbf{v}_1 & \mathbf{v}_2 & \dots & \mathbf{v}_j \end{vmatrix} $

Vezi şi Edit

Resurse Edit