Fandom

Math Wiki

Principiul lui d'Alembert

1.029pages on
this wiki
Add New Page
Comment1 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Dinamica Lagrangiană este capabilă sa opereze cu constrangeri dependente de timp, constrangeri care efectueaza lucru mecanic real, insa nu si lucru mecanic virtual. Ne putem gandi la lucrul mec. virtual ca “un lucru mecanic care a uitat de timp”. Nu exista nici o diferenta intre cele doua tipuri de lucru mecanic atat timp cat se opereaza cu constrangeri dependente de timp.

  • Din ecuaţia de mişcare a lui Newton:
\vec F_i = \dot {\vec p_i} \!

\Rightarrow \!

\vec F_i - \dot {\vec p_i} =0 \!
  • O parte a forţei F_i \! se datorează constrângerilor:
\vec F_i = \vec F_i^{(a)} + \vec f_i \!

unde

  • \vec F_i^{(a)} \! este forţa aplicată: \vec F_i^{(a)} = \vec F_i^{(a)} (\vec r_1, \vec r_2, \cdots , \vec r_n) \!
  • \vec f_i \! este este forţa de constrângere. În general, aceasta nu efectuează lucru mecanic (\vec f_i \cdot \delta \vec r_i = 0 \!), mişcarea este perpendiculară pe forţă. Excepţie: frecarea.


Multiplicând \vec F_i^{(a)} + \vec f_i - \vec p_i= 0 \! cu \delta \vec r_i \! şi însumând după i:

\sum_i (\vec F_i^{(a)} - \vec p_i) \delta \vec r_i = 0. \!

deoarece \vec f_i \delta \vec r_i =0. \!

Forţa de constrângere a fost eliminată şi numai are rost indicele (a)

Principiul lui d'Alembert (1743) Pentru un sistem de puncte materiale în mişcare, supus acţiunii unor forţe date şi unor legături bilaterale fără frecare (dependente sau independente de timp), suma lucrurilor mecanice virtuale ale forţelor date şi ale forţelor de inerţie este nulă.

\delta \vec r_i = \sum_j \frac{\partial \vec r_i}{\partial q_j} \delta q_j \!

\Rightarrow \!


\sum_{i=1}^N \left ( \vec F_i - m_i \frac{d^2 \vec r_i}{dt^2}  \right ) \sum_{j=1}^n \frac{\partial \vec r_i}{\partial q_j} \delta q_j = 0. \!

Conceptul de lucru mecanic virtual ne-a permis eliminarea tuturor constrangerilor din sistem si pastrarea doar a fortelor externe!! Acest principiu trebuie sa functioneze pentru orice variatie d q_j \!

\sum_{i=1}^N \left ( \vec F_i - m_i \frac{d^2 \vec r_i}{dt^2}  \right ) \sum_{j=1}^n \frac{\partial \vec r_i}{\partial q_j} = 0. \!

\Rightarrow \!

\sum_{j=1} \left [ \sum_{i=1} \vec F_i  \frac{\partial \vec r_i}{\partial q_j} - \sum_{i=1} m_i \ddot {\vec r_i} \frac{\partial r_i}{\partial q_j} \right ] = 0. \!

d \vec r_i = \sum_{j=1}^n \frac{\partial \vec r_i}{\partial q_j} dq_j + \frac{\partial \vec r_i}{\partial t} dt \!
 \Rightarrow
\vec v_i  = \dot {\vec r_i} = \frac{d \vec r_i}{dt} = \sum_{j=1} \frac{\partial \vec r_i}{\partial q_j} \dot q_j+ \frac{\partial \vec r_i}{\partial t} \!
\Rightarrow \!
\frac{\partial \vec v_i}{\partial \dot q_j} = \frac{\partial \vec r_i}{\partial q_j} \!.


\sum_{i=1} m_i \ddot {\vec r_i} \frac {\partial {\vec r_i}}{\partial q_j} = \sum_{i=1}^N m_i \frac{d \vec v_i}{d t} \cdot \frac{\partial \vec r_i}{\partial q_j} = \!
\sum_{i=1}^N m_i \frac{d}{dt} \left ( \vec v_i \frac{\partial \vec r_i}{\partial q_j} \right ) -\sum_{i=1}^N m_i \vec v_i \frac{d}{dt} \left ( \frac{\partial \vec r_i}{\partial q_j} \right ) = \sum_{i=1}^N m_i \frac{d}{dt} \left ( \vec v_i \frac{\partial \vec r_i}{\partial q_j} \right ) - \sum_{i=1}^N m_i \vec v_i \frac{d}{dq_j} \left ( \frac{\partial \vec r_i}{\partial t} \right ) = \!
\sum_{i=1}^N m_i \frac{d}{dt} \left ( \vec v_i \frac{\partial \vec r_i}{\partial q_j} \right ) - \sum_{i=1}^N m_i \vec v_i \frac{d \vec v_i}{dq_j} = \!


= \sum_{i=1}^N m_i \frac{d}{dt} \left ( \vec v_i \frac{\partial \vec r_i}{\partial \dot q_j} \right ) - \sum_{i=1}^N m_i \vec v_i \frac{d \vec v_i}{dq_j}. \!


\sum_i \vec F_i \frac{\partial \vec r_i}{\partial q_j} = \sum_i m_i \frac{d}{dt} \left ( \vec v_i \frac{\partial \vec v_i}{\partial \dot q_j} \right ) =- \sum_i m_i \vec v_i \frac{\partial \vec v_i}{\partial q_j} \!

Notăm:

Q_j = \sum_{i=1}^N \vec F_i \frac{\partial \vec r_i}{\partial q_j} \! componentele generalizate ale forţelor.

Observăm că:

\sum_i m_i \frac{d}{dt} \left ( \vec v_i \frac{\partial \vec v_i}{\partial \dot q_j} \right ) = \frac{d}{dt} \left [ \sum_i m_i \left ( \vec v_i \frac{\partial \vec v_i}{\partial \dot q_j} \right ) \right ] =  \!
= \frac{d}{dt} \left [ \sum_i m_i \cdot \frac 1 2 \frac{\partial}{\partial \dot q_j} (v_i^2) \right ] = \frac{d}{dt} \left [ \frac{\partial}{\partial \dot q_j} \left (\frac 1 2 \sum_i m_i v_i^2 \right ) \right ] = \frac{d}{dt} \left ( \frac{\partial T}{\partial \dot q_j} \right ) \!
\sum_i m_i \left ( \vec v_i \frac{\partial \vec v_i}{\partial q_j} \right ) = \frac{\partial }{\partial q_j} \left ( \frac 1 2 \sum_i m_i v_i^2 \right ) = \frac{\partial T}{\partial q_j} \!


Q_j = \frac{d}{dt} \left ( \frac{\partial T}{\partial \dot q_j} \right ) - \frac{\partial T}{\partial q_j}; \; \; T=T(q, \dot q, t) \!

Ecuaţia Lagrange de speţa a II-a.


În cazul forţelor potenţiale (forţe conservative):

\vec F_i = - \nabla_i U \!

unde

\nabla_i U \frac{\partial \vec r_i}{\partial q_j} = \frac {\partial U}{\partial \vec r_i} \cdot \frac{\partial \vec r_i}{\partial q_j} = \frac{\partial U}{\partial q_j} \!

Aşadar

\sum_i \nabla_i U \delta \vec r_i = \sum_i \nabla_i U \sum_j \frac{\partial \vec r_i}{\partial q_j} \delta q_j  = \sum_j \left ( \sum_i \nabla_i U \frac {\partial \vec v_i}{\partial q_j} \right ) \delta q_j = \sum_j \frac{\partial U}{\partial q_j} \delta q_j = \sum_j Q_j \delta q_j \!
\Rightarrow \!

Q_j = - \frac{\partial U}{\partial q_j} \!

Q_j = \frac{d}{dt} \left ( \frac{\partial T}{\partial \dot q_j} \right ) - \frac{\partial T}{\partial q_j} = - \frac {\partial U}{\partial q_j} \; \Rightarrow \; \frac{d}{dt} \left ( \frac{\partial T}{\partial \dot q_j} \right ) - \frac{\partial}{\partial q_j} (T-U) = 0; \; \; U=U(q, t)  \!

Introducem noţiunea de potenţial cinetic:

L(q, \dot q, t) = T(q, \dot q, t)- U(q, t) \!

\Rightarrow \!

\frac{d}{dt} \left ( \frac{\partial L}{\partial \dot q_j} \right ) - \frac{\partial L}{\partial q_j} =0 \!

Ecuaţiile Lagrange sau ecuaţiile diferenţiale ale mişcării unui sistem de puncte materiale.

Edit

În cazul în care o parte a forţelor generalizate Q_j \! nu sunt conservative depinzând atât de viteze cât şi de poziţie:

Q_j = -\frac{\partial U}{\partial q_j} + \frac{d}{dt} \frac{\partial U}{\partial \dot q_j} \; \; \; U(q_j, \dot q_j) \!

Forţele de frecare \Rightarrow \! neconservative şi pot fi obţinute din funcţia disipativă Rayleigh:

U = \mathcal F = \frac 1 2 \sum_i (k_x v^2_{ix} + k_y v^2_{iy} + k_z v^2_{iz}) \!

\vec F = - \nabla_V \mathcal F \!


Q_j = \sum_i \vec F_i \cdot \frac{\partial \vec r_i}{\partial q_j} = - \sum_i \nabla_v \mathcal Ft \frac{\partial \vec r_i}{\partial q_j} = - \sum_i \nabla_v \mathcal Ft \frac{\partial \dot {\vec r_i}}{\partial q_j} = - \frac{\partial \mathcal F}{\partial \dot q_j} \!


\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot q_j} - \frac{\partial L}{\partial q_j}  + \frac{\partial \mathcal F}{\partial \dot q_j}=0 \!


Ecuatiile Lagrange sunt adevarate in orice sistem de coordonate olonome!

Mecanismul obtinerii ecuatiilor dinamice prin metoda Lagrange:

  • Se identifica setul minim de coordonate generalizate compatibile cu legaturile
  • Se exprima energiile cinetice si potentiale in termenii coordonatelor

generalizate si a vitezelor generalizate

  • Se obtine functia Lagrange L=T-U
  • Se diferentiaza functia Lagrange in raport cu q_j \! şi \dot q_j \!
  • Se scrie ecuatia Lagrange pentrru fiecare coordonata generalizata

Concluzie Edit

• În cazul Formalismului Lagrangian accentul se pune nu pe abordarea matematica ci pe posibilitatea unei alegeri proprii a sistemului de coordonate.

• Puterea acestei aproximatii consta in:

1. Energia este o functie scalara , Lagrangianul la fel

2. Lagrangianul este invariant in raport cu transformarile de coordonate

Also on Fandom

Random Wiki