FANDOM


ChebyshevT 802

Polinoamele lui Cebîșev de speța întâi reprezintă o mulțime de polinoame ortogonale definite ca fiind soluţiile ecuațiilor diferențiale de tip Cebîșev şi sunt notate T_n(x) \! sau T[n, x]. \!

Sunt utilizate pentru aproximări în cadrul metodei celor mai mici pătrate şi constituie un caz special de polinoame Gegenbauer cu \alpha=0. \!

O altă utilizare a acestora o găsim în trigonometrie la calculul unghiului multiplu.

Polinoamele lui Cebîșev de speța întâi T_n (z) \! pot fi definite prin integrala curbilinie:

T_n(z) = \frac{1}{4 \pi i} \oint \frac{(1-t^2) t^{-n-1}}{1-2tz + t^2} dt, \!

unde curba care înconjoară originea axelor este parcursă în sensul trigonometric (sensul invers al acelor de ceasornic).

Primele polinoame Cebîșev de speța întâi sunt:

ChebyshevTSpiral 1000

Spirala Cebîșev care se obţine reprezentând T_n(x) \! radial şi crescând raza cu fiecare valoare a lui n.

T_0 (x) =1 \!
T_1 (x) =x \!
T_2 (x) =2x^2 - 1 \!
T_3 (x) =4x^3 - 3x \!
T_4 (x) =8x^4 - 8x^2 + 1 \!
T_5 (x) =16x^5 - 20x^3 + 5x \!
T_6 (x) =32x^6 - 48x^4 + 18x^2 - 1. \!

Ordonând coeficienţii nenuli în sensul creşterii puterii, obţinem triunghiul acestora: 1; 1; , 2; , 4; 1, , 8; 5, , 16, ...[1]


Polinoamele lui Cebîșev de speța întâi pot fi definite şi prin identitatea:

T_n(\cos \theta) = \cos (n \theta). \!

Acestea mai pot fi obţinute şi cu ajutorul funcțiilor generatoare:

g_1 (t, x) \equiv \frac {1- t^2}{1-2x t + t^2} = T_0 (x) + 2 \sum_{n=1}^{\infty} T_n(x) t^n. \!

şi

g_2(t, x) \equiv \frac{1- xt}{1- 2 xt + t^2} = \sum_{n=0}^{\infty} T_n(x) t^n. \!

pentru |x| \le 1 \! şi |t| < 1. \!


O reprezentare directă este dată de:

T_n(x) = \frac 1 2 z^2 \left [ \left ( \sqrt {1- \frac {1}{z^2}} +1  \right )^n  + \left ( \sqrt {1- \frac {1}{z^2}} \right )^n  \right ]. \!

În sfârşit, polinoamele mai pot fi definite şi cu ajutorul unor sume:

T_n(x) = \frac n 2 \sum_{r=0}^{\lfloor n/2 \rfloor} \frac {(-1)^r}{n-r} \binom {n-r}{r} (2x)^{n-2r}= \!
= \cos (n \cos^{-1}x) = \sum_{m=0}^{\lfloor n/2 \rfloor} \binom{n}{2m}  x^{n-2m} (x^2-1)^m, \!

unde \binom nk \! este un coeficient binomial iar \lfloor x \rfloor \! este funcţia parte întreagă, sau prin produsul:

T_n(x) = 2^{n-1} \prod_{k=1}^n  \left \{ x- \cos \left [ \frac {(2k-1)\pi}{2n} \right ]. \right \} \!

T_n \! satisface ecuaţia cu determinanţi:

T_n = \begin{vmatrix} x & 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 1 & 2x & 1 & 0 & \ddots & 0 & 0 \\0 & 1 & 2x & 1 & \ddots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2x & \ddots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \ddots & 1 & 0 \\  \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & 2x \end{vmatrix} \!

Polinoamele Cebîșev de speța întâi sunt cazuri speciale de polinoame Jacobi P_n^{(\alpha, \beta)} \! cu \alpha = \beta = - \frac 1 2, \!

T_n(x) = \frac {P_n^{(-1/2, -1/2)} (x)}{P_n^{(-1/2, -1/2)} (1)} = 2F_1 \left (-n, n ; \frac 1 2; \frac 1 2 (1-x) \right ), \!

unde 2F_1 (a, b; c; x) \! este o funcție hipergeometrică.

Note Edit

  1. Vezi The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences

Vezi şi Edit

Resurse Edit

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Also on FANDOM

Random Wiki