FANDOM


ChebyshevT 802

Polinoamele lui Cebîșev de speța întâi reprezintă o mulțime de polinoame ortogonale definite ca fiind soluţiile ecuațiilor diferențiale de tip Cebîșev şi sunt notate $ T_n(x) \! $ sau $ T[n, x]. \! $

Sunt utilizate pentru aproximări în cadrul metodei celor mai mici pătrate şi constituie un caz special de polinoame Gegenbauer cu $ \alpha=0. \! $

O altă utilizare a acestora o găsim în trigonometrie la calculul unghiului multiplu.

Polinoamele lui Cebîșev de speța întâi $ T_n (z) \! $ pot fi definite prin integrala curbilinie:

$ T_n(z) = \frac{1}{4 \pi i} \oint \frac{(1-t^2) t^{-n-1}}{1-2tz + t^2} dt, \! $

unde curba care înconjoară originea axelor este parcursă în sensul trigonometric (sensul invers al acelor de ceasornic).

Primele polinoame Cebîșev de speța întâi sunt:

ChebyshevTSpiral 1000

Spirala Cebîșev care se obţine reprezentând $ T_n(x) \! $ radial şi crescând raza cu fiecare valoare a lui n.

$ T_0 (x) =1 \! $
$ T_1 (x) =x \! $
$ T_2 (x) =2x^2 - 1 \! $
$ T_3 (x) =4x^3 - 3x \! $
$ T_4 (x) =8x^4 - 8x^2 + 1 \! $
$ T_5 (x) =16x^5 - 20x^3 + 5x \! $
$ T_6 (x) =32x^6 - 48x^4 + 18x^2 - 1. \! $

Ordonând coeficienţii nenuli în sensul creşterii puterii, obţinem triunghiul acestora: 1; 1; , 2; , 4; 1, , 8; 5, , 16, ...[1]


Polinoamele lui Cebîșev de speța întâi pot fi definite şi prin identitatea:

$ T_n(\cos \theta) = \cos (n \theta). \! $

Acestea mai pot fi obţinute şi cu ajutorul funcțiilor generatoare:

$ g_1 (t, x) \equiv \frac {1- t^2}{1-2x t + t^2} = T_0 (x) + 2 \sum_{n=1}^{\infty} T_n(x) t^n. \! $

şi

$ g_2(t, x) \equiv \frac{1- xt}{1- 2 xt + t^2} = \sum_{n=0}^{\infty} T_n(x) t^n. \! $

pentru $ |x| \le 1 \! $ şi $ |t| < 1. \! $


O reprezentare directă este dată de:

$ T_n(x) = \frac 1 2 z^2 \left [ \left ( \sqrt {1- \frac {1}{z^2}} +1 \right )^n + \left ( \sqrt {1- \frac {1}{z^2}} \right )^n \right ]. \! $

În sfârşit, polinoamele mai pot fi definite şi cu ajutorul unor sume:

$ T_n(x) = \frac n 2 \sum_{r=0}^{\lfloor n/2 \rfloor} \frac {(-1)^r}{n-r} \binom {n-r}{r} (2x)^{n-2r}= \! $
$ = \cos (n \cos^{-1}x) = \sum_{m=0}^{\lfloor n/2 \rfloor} \binom{n}{2m} x^{n-2m} (x^2-1)^m, \! $

unde $ \binom nk \! $ este un coeficient binomial iar $ \lfloor x \rfloor \! $ este funcţia parte întreagă, sau prin produsul:

$ T_n(x) = 2^{n-1} \prod_{k=1}^n \left \{ x- \cos \left [ \frac {(2k-1)\pi}{2n} \right ]. \right \} \! $

$ T_n \! $ satisface ecuaţia cu determinanţi:

$ T_n = \begin{vmatrix} x & 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 1 & 2x & 1 & 0 & \ddots & 0 & 0 \\0 & 1 & 2x & 1 & \ddots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2x & \ddots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \ddots & 1 & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & 2x \end{vmatrix} \! $

Polinoamele Cebîșev de speța întâi sunt cazuri speciale de polinoame Jacobi $ P_n^{(\alpha, \beta)} \! $ cu $ \alpha = \beta = - \frac 1 2, \! $

$ T_n(x) = \frac {P_n^{(-1/2, -1/2)} (x)}{P_n^{(-1/2, -1/2)} (1)} = 2F_1 \left (-n, n ; \frac 1 2; \frac 1 2 (1-x) \right ), \! $

unde $ 2F_1 (a, b; c; x) \! $ este o funcție hipergeometrică.

Note Edit

  1. Vezi The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences

Vezi şi Edit

Resurse Edit