FANDOM


12.2.1. Suprafeţe parametrizate. să considerăm că $ \Sigma = Im \; r, \! $ unde

$ r: D \subseteq \mathbb R^2 \rightarrow \mathbb R^3, \; r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)), \! $

este o suprafaţă parametrizată simplă şi să considerăm că

$ c: I \subseteq \mathbb R \rightarrow D \subseteq \mathbb R^2, \; c(t) = (u(t, v(t)), \! $

este o curbă plană parametrizată.


DEFINIŢIA 12.2.1

Curba în spaţiu

$ \tilde c : I \subseteq \mathbb R \rightarrow \Sigma \subseteq \mathbb R^3, \; \tilde c (t) = (r \circ c ) (t) = r(u(t), v(t)), \! $

se numeşte ridicata urbei $ c \! $ pe suprafaţa $ \Sigma \! $ sau, pe scurt, curbă pe $ \Sigma. \! $

OBSERVAŢIA 12.2.1. Orice curbă pe $ \Sigma \! $

$ \tilde c : I \subseteq \mathbb R \rightarrow \Sigma \subseteq \mathbb R^3 \! $

este ridicata unei unice curbe plane

$ c: I \subseteq \mathbb R \rightarrow D \subseteq \mathbb R^2, \; c(t) = (u(t), v(t)). \! $

Această curbă plană este definită de relaţia

$ c= (r|_{Im \; \tilde c})^{-1} \circ \tilde c. \! $

$ \! $

Să considerăm acum că

$ P_0= r(u_0, v_0) = (x(u_0, v_0), y(u_0, v_0), z(u_0, v_0)) \! $

este un punct arbitrar pe suprafaţa $ \Sigma = Im \; r. \! $

DEFINIŢIA 12.2.2. Un vector liber $ w \in V_3 \! $ se numeşte vector tangent în punctul $ P_0 = r(u_0, v_0) \! $ la suprafaţa $ \Sigma = Im \; r \! $ dacă există o curbă pe $ \Sigma \! $ definită prin

$ \tilde c : (-\epsilon, \epsilon) \subseteq \mathbb R \rightarrow \Sigma \subseteq\mathbb R^3, \; \tilde c (t) = r(u(t), v(t)), \! $

unde $ \epsilon >0, \! $ astfel încât

$ \tilde c(0) = r(u_0, v_0) = P_0 \! $ şi $ \tilde c(0) = w. \! $

TEOREMA 12.2.1.

Pl tang sup img 1 Pl tang sup img 2 Pl tang sup img 3 Pl tang sup img 4

Plan tangent la suprafata 1 Plan tangent la suprafata 2 Plan tangent la suprafata 3

Plan tang supraf rasp


Vezi şi Edit

Resurse Edit