Fandom

Math Wiki

Plan osculator la o curbă

1.029pages on
this wiki
Add New Page
Comments0 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Fie o curbă spaţială dată prin ecuaţia ei vectorială: \Gamma: \; \vec r = \vec r(t), \; \; M_0(t_0) \! un punct regulat de pe curbă şi T_{M_0} (\Gamma) \! dreapta tangentă la curbă în punctul M_0. \!


Definiţie. Un plan care conţine dreapta tangentă c se numeşte plan tangent şi se notează \pi_{M_0} (\Gamma). \!


Fie un punct M'(t_0+k) \! de pe \Gamma, \! vecin cu M_0, \! k fiind o creştere mică astfel ca t_0+k \in I. \! Fie D(M_0, M'_0) \! dreapta determinată de aceste puncte, secantă pentru curba \Gamma. \!


Observaţie. Dreapta obţinută ca limită a poziţiilor secantelor D(M_0, M'_0) \! când M_0 \to M'_0 \! (adică k \to 0 \!) este tangenta la \Gamma \! în punctul M_0. \!


Definiţie. Planul determinat de dreapta T_{M_0} (\Gamma) \! şi de un punct M'_0 \! de pe curba \Gamma \! din vecinătatea lui M_0, \! se numeşte plan osculator al curbei \Gamma \! în punctul M_0, \! şi se notează P^o_{M_0} (\Gamma). \!


Planul osculator este determinat de M_0, \! direcţia tangentei \dot \vec r (t_0) \! şi de direcţia \overrightarrow {M_0 M'_0} = \vec r (t_0 + k) - \vec r (t_0). \! Remarcăm că vectorul \frac 1 k [\vec r (t_0 + k) - \vec r (t_0)] \! este coliniar cu vectorul \overrightarrow {M_0 M'_0}. \!

Planul osculator la o curba spatiala.png

Planul osculator la o curbă spaţială

Fie t_k \! un punct intermediar din intervalul (t_0, t_0+k). \! Conform ipotezei că \vec r(t) \! este o funcţie de clasă \mathcal C^2 \! pe intervalul real I, putem considera aproximarea de ordinul II a expresiei \vec r(t_0+k): \!

\vec r(t _0+k) = \vec r (t_0) + k \cdot \dot \vec r (t_0) + \frac{k^2}{2!} \cdot \ddot \vec r (t_k) \; \; t_k \in (t_0, t_0+k) \!

care se obţine din formula Taylor cu restul Lagrange aplicată funcţiei vectoriale \vec r. \!

În plus, în baza continuităţii funcţiei \ddot \vec r, \! avem \lim_{k \to 0} \ddot \vec r (t_k) = \ddot \vec r (t_0). \! Obţinem astfel:

\frac{\vec r(t_0+k) - \vec r (t_0)}{k} = \dot \vec r (t_0) + \frac{k}{2!} \cdot \ddot \vec r (t_k). \!


Cum membrul drept al egalităţii de mai sus este un vector coliniar cu \overrightarrow {M_0 M'_0}, \! rezultă că vectorul \ddot \vec r (t_k) \! aparţine planului osculator, pentru orice k. Trecând la limită pentru k \to 0, \! obţinem că vectorul \ddot \vec r (t_0) \! aparţine planului osculator.


Aşadar, cunoaştem doi vectori directori ai planului osculator: \dot \vec r(t_0) \! şi \ddot \vec r(t_0). \! Ecuaţia vectorială a planului osculator este:

P^o_{M_0} (\Gamma): \; (\vec R - \vec r (t_0); \dot \vec r (t_0); \ddot \vec r (t_0)) = 0 \!

iar ecuaţia carteziană a planului osculator este:

P^O_{M_0} (\Gamma): \; \begin{vmatrix} X-x(t_0) & Y-y(t_0) & Z-z(t_0) \\ \dot x(t_0) & \dot y(t_0) & \dot z(t_0) \\ \ddot x(t_0) & \ddot y(t_0) & \ddot z(t_0) \end{vmatrix} =0 \!


Dacă curba \Gamma \! este dată sub formă parametrică, atunci ecuaţia planului osculator poate fi scrisă sub forma:

P^O_{M_0} (\Gamma): \begin{cases} X=x(t_0)+ \alpha \dot x(t_0) + \beta \ddot x(t_0) \\ Y=y(t_0)+ \alpha \dot y(t_0) + \beta \ddot y(t_0) \\ Z=z(t_0)+ \alpha \dot z(t_0) + \beta \ddot z(t_0) \end{cases} \!      \alpha, \beta \! - parametrii

sau

P^O_{M_0} (\Gamma) : \; A[x-x(t_0)] + B[y-y(t_0)] + C[z-z(t_0)]=0 \!


unde A, B, C \! sunt complemenţii algebrici ai matricei: \begin{bmatrix} \dot x(t_0) & \dot y(t_0) & \dot z(t_0) \\ \ddot x(t_0) & \ddot y(t_0) & \ddot z(t_0)  \end{bmatrix} \!


Observaţii.

1. Planul osculator al unei curbe plane este chiar planul curbei.

2. Direcţia normală a planului osculator P^O_{M_0} (\Gamma) \! este vectorul:

\begin{bmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ \dot x(t_0) & \dot y(t_0) & \dot z(t_0) \\ \ddot x(t_0) & \ddot y(t_0) & \ddot z(t_0)  \end{bmatrix} = A \vec i + B \vec j + C \vec k. \!

Dreapta normală pe planul osculator (adică dreapta de direcţie \dot \vec (t_0) \times \ddot \vec (t_0) \!) în punctul M_0 \! se numeşte binormală, şi se notează cu B_{M_0} (\Gamma). \!

Also on Fandom

Random Wiki