FANDOM


Fie o curbă spaţială dată prin ecuaţia ei vectorială: $ \Gamma: \; \vec r = \vec r(t), \; \; M_0(t_0) \! $ un punct regulat de pe curbă şi $ T_{M_0} (\Gamma) \! $ dreapta tangentă la curbă în punctul $ M_0. \! $


Definiţie. Un plan care conţine dreapta tangentă c se numeşte plan tangent şi se notează $ \pi_{M_0} (\Gamma). \! $


Fie un punct $ M'(t_0+k) \! $ de pe $ \Gamma, \! $ vecin cu $ M_0, \! $ k fiind o creştere mică astfel ca $ t_0+k \in I. \! $ Fie $ D(M_0, M'_0) \! $ dreapta determinată de aceste puncte, secantă pentru curba $ \Gamma. \! $


Observaţie. Dreapta obţinută ca limită a poziţiilor secantelor $ D(M_0, M'_0) \! $ când $ M_0 \to M'_0 \! $ (adică $ k \to 0 \! $) este tangenta la $ \Gamma \! $ în punctul $ M_0. \! $


Definiţie. Planul determinat de dreapta $ T_{M_0} (\Gamma) \! $ şi de un punct $ M'_0 \! $ de pe curba $ \Gamma \! $ din vecinătatea lui $ M_0, \! $ se numeşte plan osculator al curbei $ \Gamma \! $ în punctul $ M_0, \! $ şi se notează $ P^o_{M_0} (\Gamma). \! $


Planul osculator este determinat de $ M_0, \! $ direcţia tangentei $ \dot \vec r (t_0) \! $ şi de direcţia $ \overrightarrow {M_0 M'_0} = \vec r (t_0 + k) - \vec r (t_0). \! $ Remarcăm că vectorul $ \frac 1 k [\vec r (t_0 + k) - \vec r (t_0)] \! $ este coliniar cu vectorul $ \overrightarrow {M_0 M'_0}. \! $

Planul osculator la o curba spatiala

Planul osculator la o curbă spaţială

Fie $ t_k \! $ un punct intermediar din intervalul $ (t_0, t_0+k). \! $ Conform ipotezei că $ \vec r(t) \! $ este o funcţie de clasă $ \mathcal C^2 \! $ pe intervalul real I, putem considera aproximarea de ordinul II a expresiei $ \vec r(t_0+k): \! $

$ \vec r(t _0+k) = \vec r (t_0) + k \cdot \dot \vec r (t_0) + \frac{k^2}{2!} \cdot \ddot \vec r (t_k) \; \; t_k \in (t_0, t_0+k) \! $

care se obţine din formula Taylor cu restul Lagrange aplicată funcţiei vectoriale $ \vec r. \! $

În plus, în baza continuităţii funcţiei $ \ddot \vec r, \! $ avem $ \lim_{k \to 0} \ddot \vec r (t_k) = \ddot \vec r (t_0). \! $ Obţinem astfel:

$ \frac{\vec r(t_0+k) - \vec r (t_0)}{k} = \dot \vec r (t_0) + \frac{k}{2!} \cdot \ddot \vec r (t_k). \! $


Cum membrul drept al egalităţii de mai sus este un vector coliniar cu $ \overrightarrow {M_0 M'_0}, \! $ rezultă că vectorul $ \ddot \vec r (t_k) \! $ aparţine planului osculator, pentru orice k. Trecând la limită pentru $ k \to 0, \! $ obţinem că vectorul $ \ddot \vec r (t_0) \! $ aparţine planului osculator.


Aşadar, cunoaştem doi vectori directori ai planului osculator: $ \dot \vec r(t_0) \! $ şi $ \ddot \vec r(t_0). \! $ Ecuaţia vectorială a planului osculator este:

$ P^o_{M_0} (\Gamma): \; (\vec R - \vec r (t_0); \dot \vec r (t_0); \ddot \vec r (t_0)) = 0 \! $

iar ecuaţia carteziană a planului osculator este:

$ P^O_{M_0} (\Gamma): \; \begin{vmatrix} X-x(t_0) & Y-y(t_0) & Z-z(t_0) \\ \dot x(t_0) & \dot y(t_0) & \dot z(t_0) \\ \ddot x(t_0) & \ddot y(t_0) & \ddot z(t_0) \end{vmatrix} =0 \! $


Dacă curba $ \Gamma \! $ este dată sub formă parametrică, atunci ecuaţia planului osculator poate fi scrisă sub forma:

$ P^O_{M_0} (\Gamma): \begin{cases} X=x(t_0)+ \alpha \dot x(t_0) + \beta \ddot x(t_0) \\ Y=y(t_0)+ \alpha \dot y(t_0) + \beta \ddot y(t_0) \\ Z=z(t_0)+ \alpha \dot z(t_0) + \beta \ddot z(t_0) \end{cases} \! $     $ \alpha, \beta \! $ - parametrii

sau

$ P^O_{M_0} (\Gamma) : \; A[x-x(t_0)] + B[y-y(t_0)] + C[z-z(t_0)]=0 \! $


unde $ A, B, C \! $ sunt complemenţii algebrici ai matricei: $ \begin{bmatrix} \dot x(t_0) & \dot y(t_0) & \dot z(t_0) \\ \ddot x(t_0) & \ddot y(t_0) & \ddot z(t_0) \end{bmatrix} \! $


Observaţii.

1. Planul osculator al unei curbe plane este chiar planul curbei.

2. Direcţia normală a planului osculator $ P^O_{M_0} (\Gamma) \! $ este vectorul:

$ \begin{bmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ \dot x(t_0) & \dot y(t_0) & \dot z(t_0) \\ \ddot x(t_0) & \ddot y(t_0) & \ddot z(t_0) \end{bmatrix} = A \vec i + B \vec j + C \vec k. \! $

Dreapta normală pe planul osculator (adică dreapta de direcţie $ \dot \vec (t_0) \times \ddot \vec (t_0) \! $) în punctul $ M_0 \! $ se numeşte binormală, şi se notează cu $ B_{M_0} (\Gamma). \! $