FANDOM


Fie o curbă spaţială dată prin ecuaţia ei vectorială: \Gamma: \; \vec r = \vec r(t), \; \; M_0(t_0) \! un punct regulat de pe curbă şi T_{M_0} (\Gamma) \! dreapta tangentă la curbă în punctul M_0. \!


Definiţie. Un plan care conţine dreapta tangentă c se numeşte plan tangent şi se notează \pi_{M_0} (\Gamma). \!


Fie un punct M'(t_0+k) \! de pe \Gamma, \! vecin cu M_0, \! k fiind o creştere mică astfel ca t_0+k \in I. \! Fie D(M_0, M'_0) \! dreapta determinată de aceste puncte, secantă pentru curba \Gamma. \!


Observaţie. Dreapta obţinută ca limită a poziţiilor secantelor D(M_0, M'_0) \! când M_0 \to M'_0 \! (adică k \to 0 \!) este tangenta la \Gamma \! în punctul M_0. \!


Definiţie. Planul determinat de dreapta T_{M_0} (\Gamma) \! şi de un punct M'_0 \! de pe curba \Gamma \! din vecinătatea lui M_0, \! se numeşte plan osculator al curbei \Gamma \! în punctul M_0, \! şi se notează P^o_{M_0} (\Gamma). \!


Planul osculator este determinat de M_0, \! direcţia tangentei \dot \vec r (t_0) \! şi de direcţia \overrightarrow {M_0 M'_0} = \vec r (t_0 + k) - \vec r (t_0). \! Remarcăm că vectorul \frac 1 k [\vec r (t_0 + k) - \vec r (t_0)] \! este coliniar cu vectorul \overrightarrow {M_0 M'_0}. \!

Planul osculator la o curba spatiala

Planul osculator la o curbă spaţială

Fie t_k \! un punct intermediar din intervalul (t_0, t_0+k). \! Conform ipotezei că \vec r(t) \! este o funcţie de clasă \mathcal C^2 \! pe intervalul real I, putem considera aproximarea de ordinul II a expresiei \vec r(t_0+k): \!

\vec r(t _0+k) = \vec r (t_0) + k \cdot \dot \vec r (t_0) + \frac{k^2}{2!} \cdot \ddot \vec r (t_k) \; \; t_k \in (t_0, t_0+k) \!

care se obţine din formula Taylor cu restul Lagrange aplicată funcţiei vectoriale \vec r. \!

În plus, în baza continuităţii funcţiei \ddot \vec r, \! avem \lim_{k \to 0} \ddot \vec r (t_k) = \ddot \vec r (t_0). \! Obţinem astfel:

\frac{\vec r(t_0+k) - \vec r (t_0)}{k} = \dot \vec r (t_0) + \frac{k}{2!} \cdot \ddot \vec r (t_k). \!


Cum membrul drept al egalităţii de mai sus este un vector coliniar cu \overrightarrow {M_0 M'_0}, \! rezultă că vectorul \ddot \vec r (t_k) \! aparţine planului osculator, pentru orice k. Trecând la limită pentru k \to 0, \! obţinem că vectorul \ddot \vec r (t_0) \! aparţine planului osculator.


Aşadar, cunoaştem doi vectori directori ai planului osculator: \dot \vec r(t_0) \! şi \ddot \vec r(t_0). \! Ecuaţia vectorială a planului osculator este:

P^o_{M_0} (\Gamma): \; (\vec R - \vec r (t_0); \dot \vec r (t_0); \ddot \vec r (t_0)) = 0 \!

iar ecuaţia carteziană a planului osculator este:

P^O_{M_0} (\Gamma): \; \begin{vmatrix} X-x(t_0) & Y-y(t_0) & Z-z(t_0) \\ \dot x(t_0) & \dot y(t_0) & \dot z(t_0) \\ \ddot x(t_0) & \ddot y(t_0) & \ddot z(t_0) \end{vmatrix} =0 \!


Dacă curba \Gamma \! este dată sub formă parametrică, atunci ecuaţia planului osculator poate fi scrisă sub forma:

P^O_{M_0} (\Gamma): \begin{cases} X=x(t_0)+ \alpha \dot x(t_0) + \beta \ddot x(t_0) \\ Y=y(t_0)+ \alpha \dot y(t_0) + \beta \ddot y(t_0) \\ Z=z(t_0)+ \alpha \dot z(t_0) + \beta \ddot z(t_0) \end{cases} \!      \alpha, \beta \! - parametrii

sau

P^O_{M_0} (\Gamma) : \; A[x-x(t_0)] + B[y-y(t_0)] + C[z-z(t_0)]=0 \!


unde A, B, C \! sunt complemenţii algebrici ai matricei: \begin{bmatrix} \dot x(t_0) & \dot y(t_0) & \dot z(t_0) \\ \ddot x(t_0) & \ddot y(t_0) & \ddot z(t_0)  \end{bmatrix} \!


Observaţii.

1. Planul osculator al unei curbe plane este chiar planul curbei.

2. Direcţia normală a planului osculator P^O_{M_0} (\Gamma) \! este vectorul:

\begin{bmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ \dot x(t_0) & \dot y(t_0) & \dot z(t_0) \\ \ddot x(t_0) & \ddot y(t_0) & \ddot z(t_0)  \end{bmatrix} = A \vec i + B \vec j + C \vec k. \!

Dreapta normală pe planul osculator (adică dreapta de direcţie \dot \vec (t_0) \times \ddot \vec (t_0) \!) în punctul M_0 \! se numeşte binormală, şi se notează cu B_{M_0} (\Gamma). \!

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Also on FANDOM

Random Wiki