Wikia

Math Wiki

Plan înclinat

Comments9
1.004pages on
this wiki
Plan inclinat (simplu)
Planul înclinat este un plan care formează unghiul \alpha \! cu orizontala
Nicolae ComanAdded by Nicolae Coman

Planul înclinat este un dispozitiv mecanic simplu, care serveşte la ridicarea şi coborârea corpurilor, folosind un cablu sau un troliu (exemplu rampele de încarcare-descarcare).

Notaţii:

  • \vec G \! - greutatea corpului care trebuie ridicat sau coborât
  • \vec F \! - forţa motoare
  • \alpha \! - unghiul format de plan cu orizontala
  • F_f \! - forţa de frecare dintre corp şi plan
  • l \! - lungimea planului
  • h \! - înălţimea planului.

Componenta normală a greutăţii \vec G \! este:

 G_n = G \cos \alpha.   (1)

Componenta tangenţială a greutăţii \vec G \! este:

 G_t = G \sin \alpha.   (2)

Avem cazurile:

I). F_f =0, \; F \neq 0 \!
(Alunecare fără frecare)

Plan inclinat fig. 2
Nicolae ComanAdded by Nicolae Coman

Condiţia de echilibru este:

\vec F + \vec G + \vec N= \vec 0.   (3)

unde \vec N \! este forţa normală exercitată de plan asupra corpului conform principiului acțiunii şi reacțiunii, ca reacţiune la componenta G_n \! a greutăţii. Avem:

N = G_n = G \sin \alpha. \!   (4)

Proiectată de-a lungul planului înclinat şi apoi per direcţie perpendiculară, condiţia de echilibru (3) furnizează următoarele relaţii:

F = G_t \!   (5)
N = G_n \!   (6)

Deducem urmatoarea relaţie:

F = G \frac h l. \!

Forţa activă necesară ridicării unui corp pe plan înclinat, fără frecări, este de atâtea ori mai mică decât greutatea, de câte ori lungimea planului este mai mare decât înălţimea lui.


II). F_f  \neq 0, \; F \neq 0 \!
(Alunecare cu frecare)

Plan inclinat fig. 3
Nicolae ComanAdded by Nicolae Coman

Condiţia de echilibru devine:

\vec F + \vec G + \vec N + \vec F_f= \vec 0.   (7)

Dar

F_f = \mu N = \mu G \sin \alpha. \!   (8)

Componenta de-a lungul planului este în acest caz:

F = G_t + F_f  \!   (9)

Deci:

F = G (\sin \alpha + \mu \cos \alpha) \!   (10)


IiI). F = 0 \!
(Alunecare liberă)

În cazul corpului aflat în alunecare liberă, F= 0 \! şi deci forţa rezultantă care va acţiona asupra corpului este:

\vec F_R = \vec G + \vec F_f + \vec N \!   (11)

Pe direcţie perpendiculară pe plan, N este anihilată de componenta normală G_t \! a greutăţii corpului, deci ne interesează proiecţia ecuaţiei (11) pe direcţia planului:

F_R = G_t - F_f = G \sin \alpha - \mu G \cos \alpha. \!   (12)

Dacă G = mg \! (unde m este masa corplui, iar g acceleraţia gravitaţională), atunci conform principiului fundamental al dinamicii, accelerația pe care o capătă corpul este:

a = g (\sin \alpha + \mu \cos \alpha). \!   (13)

Aplicaţii Edit

Plan inclinat apl 1
Nicolae ComanAdded by Nicolae Coman

1) Un corp alunecă pe un plan înclinat cu unghiul de înclinare de 45^{\circ}. \! Parcurgând distanţa de 36,4 cm, corpul atinge viteza de 2 \; \frac m s. \! Se cere coeficientul de frecare a corpului pe plan.


Soluţie.

Asupra corpului acţionează forţele de frecare \vec F_{fr}, \! de greutate m \vec g \! şi de reacţiune \vec N. \!

Corpul se mişcă pe plan cu accelerația \vec a. \! Aplicăm legea a doua a lui Newton:

\vec F_{fr} + \vec N + m \vec g = m \vec a. \!

Orientăm axa Ox în sensul mişcării şi axa Oy în sensul forţei \vec N. \! Proiectăm ecuaţia pe cele două axe:

- F_{fr} + mg \sin \alpha = ma, \!
N - mg \cos \alpha=0. \!

Luând în consideraţie că F_{fr} = \mu N, \! obţinem:

\begin{cases} - \mu N + mg \sin \alpha = ma, \\  N - mg \cos \alpha=0. \end{cases} \!

Din ecuaţia a doua N = mg \cos \alpha \! şi, substituind în prima, obţinem:

- \mu mg \cos \alpha + mg \sin \alpha = ma, \!

de unde:

\mu = \frac {g \sin \alpha - a}{g \cos \alpha}. \!

Vom determina acceleraţia din expresia pentru drumul parcurs:

S = \frac {v^2 - v_0^2}{2a} \; \Leftarrow \; a= \frac {v^2 - v_0^2}{2S}, \!

deoarece v_0=0. \! Atunci:

\mu = \frac {g \sin \alpha- \frac {v^2}{2S}}{g \cos \alpha} = \frac {2 Sg \sin \alpha - v^2}{2 Sg \cos \alpha} \!

sau:

\mu = \tan \alpha - \frac {v^2}{2 Sg \cos \alpha}, \!
\mu = \tan 45^{\circ} - \frac {2^2}{2 \cdot 0,364 \cdot 9,81 \cdot \frac {\sqrt 2}{2}} = 0,2. \!

Resurse Edit

Around Wikia's network

Random Wiki