Fandom

Math Wiki

Pendul gravitațional neliniar

1.029pages on
this wiki
Add New Page
Comments0 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Examinăm un pendul gravitațional de masă m și de lungime l care oscilează în jurul axei ce trece prin punctul de suspensie al pendulului (fig. 1). Notăm cu unghiul de deviație a pendulului de la poziția de echilibru.

Viteza unghiulară și viteza liniară ale pendulului sunt determinate de relațiile:

Pendul gravitational neliniar.png
v = \Omega l = \dot \theta l, \!   (1)

unde \dot {\theta} \! este derivata în raport cu timpul.

La abaterea cu unghiul \theta \! de la verticală, pendulul se ridică la înălțimea h de la poziția de echilibru. În acest caz, energia potențială, energia cinetică și cea totală se determină din relațiile:

E_{pot} = mgh = mg(l - \cos \theta) \!   (2)
E_{cin} = \frac{mv^2}{2} = \frac{ml^2 { \dot {\theta}}^2}{2} \!   (3)
E = \frac{ml^2 { \dot {\theta}}^2}{2} + mg(l - \cos \theta) \!   (4)

În cazul neglijării amortizării, relația (4) exprimă legea conservării energiei totale a pendulului. Mărimea E este o constantă, adică este integrala mișcării. Derivând relația (4) în raport cu timpul, cu condiția că E=const., \! obținem:

\ddot {\theta} + \omega_0^2 \sin \theta =0 , \! unde \omega_0^2 = \frac g l \!   (5)

Relația (5) este o ecuație diferențială neliniară de ordinul doi care determină mișcarea pendulului gravitațional neliniar.

Pentru valori mici ale lui \theta \! (\theta \ll 1 \; rad \!) avem \sin \theta \approx \theta, \! de unde obținem cunoscuta ecuație a oscilatorului liniar:

\ddot {\theta} + \omega_0^2 \theta =0 \!   (6)

Fie, pentru t=0, \; \; \theta= \theta_0 \! și \dot {\theta} = 0. \! Prezentăm soluția ecuației (6) sub forma:

\theta =c e^{\lambda t}  \!   (7)

unde c \! și \lambda \! sunt mărimi constante.

Derivăm \theta \! în raport cu timpul:

\dot {\theta} = c \lambda e^{\lambda t}, \; \; \ddot {\theta} = c \lambda^2 e^{\lambda t} \!   (8)

și substituim (7) - (8) în ecuația (6). Reducând expresia prin factorul comun ce^{\lambda t}, \! obținem ecuația caracteristică pentru \lambda \!:

\lambda^2 - \omega^2_0 = 0 \!   (9)

soluțiile căreia sunt:

\lambda_1 = i \omega_0 \!
\lambda_2 =- i \omega_0 \!   (10)

Astfel obținem două soluții particulare:

\theta_1= c_1 e^{\lambda_1 t}, \; \theta_1= c_2 e^{\lambda_2 t} \!   (11)

Soluția generală a ecuației (6) ia forma:

\theta(t) = c_1 e^{i \omega_0 t} +  c_2 e^{-i \omega_0 t} \!   (12)

Luând în considerație condițiile inițiale, pentru c_1 \! și c_2 \! obținem:

c_1=c_2 =c, \; \; \theta_0 = 2c,  \! de unde c= \frac{\theta_0}{2}, \!   (13)

iar pentru \theta(t) \! din (12) găsim:

\theta(t) = \theta_0 \cos \omega_0 t \!   (14)

Astfel, la valori mici ale lui \theta, \! în vecinătatea poziției de echilibru, pendulul gravitațional liniar efectuează o mișcare oscilatorie armonică cu perioada:

T= \frac{2 \pi}{\omega_0} = 2 \pi \sqrt {\frac l g}. \!   (15)

În general, pentru alte condiții inițiale, constantele c_1 \! și c_2 \! pot fi mărimi complexe. Deoarece \theta \! este o mărime reală, ca soluție generală pentru (6) se va lua partea reală a sumei soluțiilor particulare independente \theta_1 \! și \theta_2 \!:

\theta(t) = \mathbf {Re} [c_1 e^{i  \omega_0 t}+ c_2 e^{-i  \omega_0 t}] \!   (16)


Grafic pentru pendul neliniar.png


Vom examina în continuare mișcarea pendulului gravitațional neliniar. Din ecuația (4) pentru \dot {\theta} \! găsim:

\dot {\theta} = \left (\frac{d \theta}{dt} \right )^2 = 2 \omega_0^2 \cos \theta + D, \!   (17)

unde:

\omega_0^2 = \frac g l, \; \; D= \left ( \frac{2E}{ml^2}  \right ) \!   (18)

Mișcarea pendulului gravitațional neliniar se recomandă să fie studiată cu ajutorul așa-numitului tablou de fază ce reprezintă dependența lui \dot {\theta} \! de \theta. \! În dependență de valorile mărimilor \omega_0 \! și D curbele de fază au forme diferite (fig. 2). În vecinătatea stării de echilibru \theta=0, \; \dot {\theta}=0 \! traiectoriile de fază sunt prezentate prin curbe elipsoidale. Acestea corespund valorilor \omega_0 \! și D pentru care se efectuează mișcări periodice. Curbele de fază deschise corespund mișcării într-un singur sens a pendulului, unde curbele de sus corespund mișcării de rotație în sens contrar mișcării acelor de ceasornic, iar cele de jos - mișcării de rotație în sensul mișcării acelor ceasornicului. În sfârșit, așa numitele separatoare (curbele reprezentate cu linii groase) corespund mișcării din starea instabilă de sus. Mai jos se va arăta că în acest caz pendulului gravitațional neliniar îi trebuie un timp infinit de mare pentru trecerea din starea extremă instabilă de sus în starea de echilibru.

Sărind peste starea de echilibru de jos, teoretic pendululu infinit de mult timp se mișcă către punctul mort. Astfel, mișcarea pe separatoare este caracterizată de o perioadă infinită, iar soluția ecuației (17) are forma unei unde specifice ce se numește soliton.

Întrucât energia totală nu poate fi mărime negativă, D \ge - 2 \omega_0^2. \! Pentru E=0 \! avem D = -2 \omega_0^2. \! În acest caz pendulul se află în starea de repaus, iar în planul fazic \theta, \dot {\theta} \! el este caracterizat de punctul (0, 0). \! Pentru E<2mgl \; \Rightarrow \; -2 \omega_0^2 < D<2 \omega_0^2 \! mișcarea are loc pe curbe închise. Pentru E=2mgl \; \Rightarrow \; D=+ 2 \omega_0^2 \! mișcarea are loc pe separatoare și, în sfârșit, pentru E>2mgl \! mișcarea are loc într-un singur sens.

Condiția \dot {\theta}=0 \! determină valoarea maximă a amplitudinii oscilațiilor neliniare \theta_0 \! care corespund curbelor închise. Din relația (17) pentru constanta D obținem:

D=-2 \omega_0^2 \cos \theta_0 \!  (19)

Substituind (19) în (17), găsim:

\frac{d \theta}{dt} = \sqrt 2 \omega_0 \sqrt {\cos \theta - \cos \theta_0} \!  (20)

Introducând o nouă variabilă:

\sin \psi = \left. \sin \frac{\theta}{2} \right / \sin \frac{\theta_0}{2} \!  (21)

și ținând cont de faptul că:

d \theta = \frac{2 \sin \frac{\theta_0}{2} \cos \psi d \psi}{\cos \frac {\theta}{2}}. \!


\cos 2 \frac{\theta}{2} = \cos^2 \frac{\theta}{2} - \sin^2 \frac{\theta}{2} = 1-2 \sin^2 \frac{\theta}{2}, \!  (22)

la alegerea momentului inițial t_0=0 \! se obține:

t = \frac{1}{\omega_0} \int_{\omega_0}^{\psi} \frac{d \psi}{1-k^2 \sin^2 \psi} = \frac{1}{\omega_0} F(k, \psi) \!  (23)

unde F(k, \psi) \! este integrala eliptică a lui Legendre de ordinul întâi,  k= \sin \frac{\theta_0}{2}. \! Din (23) avem

 \psi = am \; \omega_0 t. \!  (24)

Substituind (24) în (21), obținem:

\sin \frac{\theta}{2} = \sin \frac{\theta_0}{2} \sin \psi= \sin \frac{\theta_0}{2} \sin (am \omega_0 t) = \sin \frac{\theta_0}{2} \; sn \omega_0t,  \!  (25)

de unde pentru \theta(t) \! se obține:

\theta(t) = 2 \arcsin \{ \sin \frac{\theta_0}{2} sn \omega_0 t \}, \!  (26)

unde sn \omega_0 t \! este sinusul eliptic al lui Jacobi.


Perioada oscilațiilor poate fi determinată din (20), considerând că ea este de patru ori mai mare decât timpul necesar ca pendulul gravitațional neliniar să se abată din poziția 0 în poziția \theta_0 \!

\int_0^T dt = T = \frac{4}{\sqrt 2 \omega_0} \int_0^{\theta_0} \frac{d \theta}{\sqrt{\cos \theta - \cos \theta_0}} \!  (27)

ținând cont de relația (21), pentru perioada oscilațiilor obținem:

T= \frac{4}{\omega_0} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d \psi}{\sqrt{1-k^2 \sin^2 \psi}} = \frac{4}{\omega_0} K(k). \!  (28)

unde K(k) este integrala eliptică totală de ordinul întâi.


După cum am subliniat, K(k) poate fi reprezentat sub forma:

K(k) = \frac{\pi}{2} \left [ 1 + \left ( \frac 1 2 \right )^2 k^2 + \left ( \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4} \right )^2 k^4 + \cdots \right ] =  \!
= \frac {\pi}{2} \left \{ 1 + \left (\frac 1 2 \right )^2 \left ( \sin \frac {\theta_0}{2} \right )^2+ \left ( \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4} \right ) \left (\sin \frac{\theta_0}{2}  \right )^4+ \cdots  \right \} \!  (29)

Pentru valori mai mici ale lui \theta_0 \! avem k \approx \frac{\theta_0}{2} \! și corespunzător:

K(k) = \frac{\pi}{2} \left \{ 1+ \frac{1}{16} \theta_0^2 + \frac{9}{1024} \theta^4_0 + \cdots \right \}  \!  (30)

Pentru unghiurile mici de devație (\theta_0 \ll 1\!) K(k) =\frac{\pi}{2} \! și atunci pentru perioadă obținem expresia bine cunoscută a aproximației liniare:

T= \frac{2 \pi}{\omega_0}= 2 \pi \sqrt {\frac{l}{g}} \!  (31)

Dacă k \to 1, \! adică dacă amplitudinea oscilațiilor pendlului tinde spre \pi \! (k=\sin \frac{\theta_0}{2}), atunci din (29) rezultă că funcția K(k) tinde către infinit. Dependența integralei eliptice totale K de argumentul k este reprezentată în fig. 3. Astfel pentru k \to 1 \! perioada oscilațiilor tinde către infinit. Această soluție corespunde mișcării pendulului pe separatoare.

După cum am menționat mai sus, mișcarea pe separatoare are loc când energia totală E=2 mgl, \! iar constanta D=2 \omega_0^2. \! În acest caz, din (17) avem:

\frac{d \theta}{dt} = \sqrt 2 \omega_0 \sqrt{1+ \cos \theta} \!  (32)

ținând cont de faptul că:

1 + \cos \theta = 2 \cos^2 \frac{\theta}{2} \! și x=\frac{\theta}{2} \!  (33)

după integrare, din (32) obținem:

t = \frac{1}{\omega_0} \int \frac{dx}{\cos x} \!  (34)

sau

\omega_0 t = \ln \tan \left ( \frac  x2 + \frac {\pi}{4} \right ) \!  (35)
\tan \left ( \frac x 2 + \frac {\pi}{4} \right ) = e^{\omega_0 t}\!  (36)
\frac x 2 + \frac{\pi}{4}= \arctan e^{\omega_0 t} \!  (37)
\theta (t)= 4\arctan e^{\omega_0 t} - \pi \!  (38)


Ecuația (38) se numește ecuația separatoarei. A doua ramură se obține prin substituția lui t \! cu -t \! în (38).

Expresia pentru viteza unghiulară se obține prin derivarea ecuației (38) în raport cu timpul:

\Omega = \dot {\theta(t)} = \frac{4 \omega_0}{e^{\omega_0 t} + e^{-\omega_0 t}} = \frac{2 \omega_0 }{ch \; \omega_0t}= 2 \omega_0 \sec h \omega_0t. \!  (39)

unde ch \; \omega_0t = \frac{e^{\omega_0t}+e^{-\omega_0t}}{2}  \! este cosinusul hiperbolic. Soluția (39) se numește soliton. În fig. 4 este reprezentată dependența de timp a vitezei unghiulare. Din figură se observă că, pentru t=0, \! valoarea maximă a solitonului este 2 \omega_0, \! iar pentru t = \pm \infty \! viteza unghiulară tinde exponențial către zero. Astfel, mișcarea pe separatoare se caracterizează prin micșorarea vitezei unghiulare, adică pendulul gravitațional neliniar se mișcă cu accelerația unghiulară:

W = \frac{d \Omega}{dt} = -2 \omega_0 \sec h(\omega_0t) \cdot th \; \omega_0t \!  (40)

unde

sec \; \omega_0t = \frac{1}{ch \; \omega_0t} = \frac{2}{e^{\omega_0t} + e^{-\omega_0t}} \!
th \; \omega_0t =\frac{e^{\omega_0t} - e^{-\omega_0t}}{e^{\omega_0t} + e^{-\omega_0t}} . \!


Modelul pentru pendul neliniar Edit

Model pendul neliniar.png

Mişcarea unui pendul poate fi descrisă modelând greutatea cu un punct material de masă m şi tija cu un segment de dreaptă. Poziţia punctului material de masă m pe cercul de rază l situat în planul vertical este reperată prin unghiul \varphi \! pe care-l face tija cu verticala.

Din legea lui Newton rezultă că dacă nu există frecare în O, atunci această variabilă de model \varphi \! satisface ecuaţia:

\ddot \varphi + k^2 \cdot \sin \varphi =0 \!  (41)

unde k^2 = \frac g l , \; g = 9,81 \frac {m}{s^2}. \!

Analiza modelului revine la analiza ecuaţiei (41). Dacă \varphi (t) \! este o soluţie a ecuaţiei (41), atunci funcţia u(\varphi) \! definită prin u(\varphi) = \dot \varphi (t) \! verifică ecuaţia:

u \cdot \frac{du}{d \varphi} + k^2 \cdot \sin \varphi = 0. \!  (42)

Această ecuaţie este una cu variabile separate şi orice soluţie a acesteia verifică ecuația implicită:

\frac{u^2}{2} = k \cos \varphi + c' \!

unde c' \! este o constantă sau ecuaţia implicită:

u^2 = 2 \cdot k^2 \cos \varphi + c \!

cu c= 2 c' \! constantă.

Deoarece u = \dot \varphi \! rezultă că derivata \dot \varphi \! a unei soluţii a ecuaţiei (41) verifică ecuaţia:

\dot \varphi^2 = 2 \cdot k^2 \cos \varphi + c.  \!  (43)

Semnificaţia constantei c rezultă dacă se scrie (43) la momentul iniţial t=0 \! (când începe mişcarea). Se obţine de aici:

c= \dot \varphi^2 - 2 k \cos \varphi_0 \!

unde \varphi_0 = \varphi(0) \!: \varphi (0) \! este "poziţia" iniţială a punctului material şi \dot \varphi(0) \! este "viteza" iniţială a pendulului.


Model pendul neliniar 2.png Model pendul neliniar 3.png Model pendul neliniar 4.png

Resurse Edit

Also on Fandom

Random Wiki