FANDOM


Fie două mărimi mecanice care sunt funcţii de variabilele canonice şi de timp:

$ \begin{matrix} \varphi = \varphi (p_i, q_i, t) \\ \\ \psi = \psi (p_i, q_i, t) \end{matrix} \! $   (1)

Prin definiţie, paranteza Poisson formată cu aceste două funcţii, notată $ [\varphi, \psi], \! $ este dată de expresia:

$ [\varphi, \psi]= \sum_{i=1}^f \left ( \frac{\partial \varphi}{\partial p_i} \frac{\partial \psi}{\partial q_i} - \frac{\partial \varphi}{\partial q_i} \frac{\partial \psi}{\partial p_i} \right ) \! $   (2)

Parantezele Poisson prezintă o serie de proprietăţi care, pornind de la relaţia de definiţie, rezultă imediat:


$ \ [\varphi, \psi] = - [\psi, \varphi] \! $
$ [\varphi, const]=0 \! $
$ [\varphi, -\psi] =- [\varphi, \psi] = [-\varphi, \psi] \! $   (3)
$ [\varphi_1+ \varphi_2, \psi] = [\varphi_1, \psi] + [\varphi_2, \psi] \! $
$ [\varphi_1 \cdot \varphi_2, \psi] = [\varphi_1, \psi] \varphi_2 + \varphi_1 [\varphi_2, \psi] \! $

Derivata în raport cu timpul a unei paranteze Poisson este:

$ \frac{\partial}{\partial t} [\varphi, \psi] = \left [ \frac{\partial \varphi}{\partial t}, \psi \right ] + \left [ \varphi, \frac{\partial \psi}{\partial t} \right ] . \! $   (4)

Dacă una din funcţii este o variabilă canonică, atunci:

$ [\varphi, p_k] = - \frac{\partial \varphi}{\partial q_k} \! $


$ [\varphi, q_k] = - \frac{\partial \varphi}{\partial p_k} \! $
  (5)

În cazul în care ambele funcţii ale parantezei Poisson sunt variabile canonice, atunci:

$ [p_k, q_l] = \delta_{kl} \! $   (6)

unde $ \delta_{kl} $ este simbolul lui Kronecker:

$ \begin{cases} 1, & k=l \\ 0, & k \neq l. \end{cases} \! $   (7)

O problemă de interes deosebit este calcularea derivatei totale în raport cu timpul a unei mărimi mecanice care, după cum vom vedea, poate fi exprimată cu ajutorul parantezelor Poisson.

Astfel, pentru o mărime mecanică $ \varphi = \varphi (p_i, q_i, t), \! $ derivata totală în raport cu timpul este:

$ \frac{d \varphi}{dt} = \frac{\partial \varphi}{\partial t} + \sum_{i=1}^t \left ( \frac{\partial \varphi}{\partial q_i} \dot q_i + \frac{\partial \varphi}{\partial p_i} \dot p_i \right ). \! $

Folosim ecuaţiile Hamilton:

$ \dot q_i = \frac{\partial H}{\partial p_i} \! $
$ \dot p_i = - \frac{\partial H}{\partial q_i} \! $

şi înlocuind $ \dot p_i \! $ şi $ \dot q_i, \! $ aceasta capătă forma:

$ \frac{d \varphi}{dt} = \frac{\partial \varphi}{\partial t} + [H, \varphi]. \! $   (55)

Astfel, dependenţa explicită de timp a unei variabile mecanice este dată de derivata parţială după timp iar variaţia implicită este dată de paranteza Poisson a hamiltonienei cu variabila mecanică considerată. Folosind rezultatul obţinut, observăm că ecuaţiile Hamilton pot fi scrise şi sub forma:

$ \begin{matrix} \dot p_i = [H, p_i] \\ \dot q_i = [H, q_i] \end{matrix} \! $   (56)

Trebuie menţionat că pentru o constantă a mişcării $ C_k \! $ avem:

$ [H, C_k] = 0. \! $   (8)