Fandom

Math Wiki

Paranteza lui Poisson

1.029pages on
this wiki
Add New Page
Comments0 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Fie două mărimi mecanice care sunt funcţii de variabilele canonice şi de timp:

\begin{matrix} \varphi = \varphi (p_i, q_i, t) \\ \\ \psi = \psi (p_i, q_i, t)   \end{matrix} \!   (1)

Prin definiţie, paranteza Poisson formată cu aceste două funcţii, notată [\varphi, \psi], \! este dată de expresia:

[\varphi, \psi]= \sum_{i=1}^f \left ( \frac{\partial \varphi}{\partial p_i} \frac{\partial \psi}{\partial q_i} - \frac{\partial \varphi}{\partial q_i} \frac{\partial \psi}{\partial p_i} \right ) \!   (2)

Parantezele Poisson prezintă o serie de proprietăţi care, pornind de la relaţia de definiţie, rezultă imediat:


\ [\varphi, \psi] = - [\psi, \varphi] \!
[\varphi, const]=0 \!
[\varphi, -\psi] =- [\varphi, \psi] = [-\varphi, \psi] \!   (3)
[\varphi_1+ \varphi_2, \psi] = [\varphi_1, \psi] + [\varphi_2, \psi] \!
[\varphi_1 \cdot \varphi_2, \psi] = [\varphi_1, \psi] \varphi_2 + \varphi_1 [\varphi_2, \psi] \!

Derivata în raport cu timpul a unei paranteze Poisson este:

\frac{\partial}{\partial t} [\varphi, \psi] = \left [ \frac{\partial \varphi}{\partial t}, \psi \right ] + \left [ \varphi, \frac{\partial \psi}{\partial t} \right ] . \!   (4)

Dacă una din funcţii este o variabilă canonică, atunci:

 [\varphi, p_k]  = - \frac{\partial \varphi}{\partial q_k}      \!


[\varphi, q_k]  = - \frac{\partial \varphi}{\partial p_k} \!
  (5)

În cazul în care ambele funcţii ale parantezei Poisson sunt variabile canonice, atunci:

[p_k, q_l] = \delta_{kl} \!   (6)

unde  \delta_{kl} este simbolul lui Kronecker:

\begin{cases} 1, & k=l \\ 0, & k \neq l. \end{cases} \!   (7)

O problemă de interes deosebit este calcularea derivatei totale în raport cu timpul a unei mărimi mecanice care, după cum vom vedea, poate fi exprimată cu ajutorul parantezelor Poisson.

Astfel, pentru o mărime mecanică \varphi = \varphi (p_i, q_i, t), \! derivata totală în raport cu timpul este:

\frac{d \varphi}{dt} = \frac{\partial \varphi}{\partial t} + \sum_{i=1}^t \left ( \frac{\partial \varphi}{\partial q_i} \dot q_i + \frac{\partial \varphi}{\partial p_i} \dot p_i \right ). \!

Folosim ecuaţiile Hamilton:

\dot q_i = \frac{\partial H}{\partial p_i} \!
\dot p_i = - \frac{\partial H}{\partial q_i} \!

şi înlocuind \dot p_i \! şi \dot q_i, \! aceasta capătă forma:

\frac{d \varphi}{dt} = \frac{\partial \varphi}{\partial t} + [H, \varphi]. \!   (55)

Astfel, dependenţa explicită de timp a unei variabile mecanice este dată de derivata parţială după timp iar variaţia implicită este dată de paranteza Poisson a hamiltonienei cu variabila mecanică considerată. Folosind rezultatul obţinut, observăm că ecuaţiile Hamilton pot fi scrise şi sub forma:

\begin{matrix} \dot p_i = [H, p_i]  \\ \dot q_i = [H, q_i] \end{matrix} \!   (56)

Trebuie menţionat că pentru o constantă a mişcării C_k \! avem:

[H, C_k] = 0. \!   (8)

Also on Fandom

Random Wiki