Fandom

Math Wiki

Paradoxul lui Russell

1.029pages on
this wiki
Add New Page
Comments0 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Paradoxul lui Russell sau paradoxul mulţimii tuturor mulţimilor este un paradox logic şi se referă în special la teoria mulțimilor, la existenţa unei mulţimi a tuturor mulţimilor. Formularea sa, de către Bertrand Russell în 1902, a marcat la un moment de criză în lumea matematicii şi a logicii. Depăşirea acestui moment a condus la revizuiri, dezvoltări şi chiar la apariţia a noi teorii ştiinţifice.

Istoric Edit

În 1872, Georg Cantor, fondatorul teoriei naive a mulţimilor, consideră mulțimea drept o colecţie de obiecte ce posedă o proprietate comună. În primul volum al lucrării Grundgesetze der Arithmetik ("Legile de bază ale aritmeticii"), apărută în 1893, Gottlob Frege se exprimă într-o manieră similară, susţinând că tot ce poate fi exprimat printr-o propritate poate constitui o mulţime. Mai mult, Frege construieşte o teorie axiomatică a mulţimilor, care va sta la baza matematicii şi a logicii începutului de secol XX.

Bertrand Russell îşi manifestă rezervele faţă de această teorie şi pe 8 decembrie 1900, într-o scrisoare adresată lui Louis Couturat, formulează o primă versiune a paradoxului ce ulterior îi va purta numele. Doi ani mai târziu, pe 16 iunie 1902, într-o scrisoare adresată lui Frege, Russell editează o altă versiune a paradoxului, foarte asemănătoare cu cea cunoscută astăzi, ca apoi să o publice în 1903 în celebrul său volum The Principles of Mathematics.

Publicarea paradoxului a stârnit largi ecouri în lumea ştiinţifică a epocii. Frege scria într-o postfaţă a unei lucrări:

"Un om de ştiinţă nu poate să întâlnească nimic mai stânjenitor decât ceva ce, după terminarea unei lucrări, vine să zguduie unul din pilonii contrucţiei sale. O scrisoare a lui Bertrand Russell m-a pus în faţa unei astfel de situaţii, tocmai când tipărirea prezentului volum lua sfârşit."

Se pare că şi Ernst Zermelo formulase anterior acest paradox (motiv pentru care mai este numit şi paradoxul Zermelo-Russell), dar lui Russell aparţine meritul de a-l fi publicat în premieră.

Referindu-se la paradox, Henri Poincaré ironizează teoria lui Giuseppe Peano despre limbajul formal construit pentru matematică precizând în termeni sarcastici:

"Finalmente, logica s-a dovedit că nu este chiar sterilă. Până la urmă a dat naştere unei contradicţii."

Enunţul paradoxului Edit

Pentru a demonstra că teoria naivă a mulţimilor enunţată de Cantor este inconsistentă, Russell a imaginat o mulţime specială, anume mulţimea tuturor mulţimilor care nu se conţin ca element. Notăm cu \mathcal R \! acestă mulţime, pe care o vom numi mulţime Russell. Conform principiului terţului exclus, există două posibilităţi: ca \mathcal R \! să se conţină ca element sau să nu se conţină. Să urmărim ambele situaţii:

  • \mathcal R \in \mathcal R, \! atunci, ţinând cont de modul cum a fost definită mulţimea \mathcal R \!, rezultă că \mathcal R \not \in \mathcal R; \! contradicţie!
  • \mathcal R \not \in \mathcal R, \! atunci, având în vedere definiţia mulţimii Russell, rezultă că \mathcal R \in \mathcal R; \! din nou contradicţie!

Aşadar, noţiunea de mulţime a tuturor mulţimilor este contradictorie.

Variante Edit

Paradoxul bărbierului Edit

În 1919, Russell a formulat o versiune simplă şi amuzantă a paradoxului său:

Figaro, bărbierul satului, încheie un contract cu primăria conform căruia el trebuie să servească numai pe acei care nu se bărbieresc singuri. Se pune problema: Cine îl bărbiereşte pe Figaro?

Avem posibilităţile:

  • Dacă Figaro se bărbiereşte singur, atunci conform convenţiei, nu îl mai bărbierşte pe Figaro. Contradicţie!
  • Dacă Figaro cu se bărbiereşte singur, atunci conform înţelegerii, îl bărbiereşte pe Figaro. Din nou contradicţie!

O altă variantă:

Paradoxul poştaşului: Într-un sat, poştaşul aduce corespondenţa numai sătenilor care nu pot veni la oficiul poştal să-şi ridice corespondenţa. Poate poştaşul să-şi ridice singur scrisorile?

Paradoxul cataloagelor Edit

Biblioteca Naţională solicită tuturor bibliotecilor din ţară să întocmească cataloage cu lista tuturor publicaţiilor găzduite de fiecare. Unele biblioteci înclud în acea listă şi tittlul catalogului.

Responsabilul de resort din cadrul Bibliotecii Naţionale întocmeşte la rându-i două astfel de cataloage: unul cu cataloagele care se conţin ca titlu şi altul cu cele care nu se conţin. Se pune problema: în care din acestea două poate fi inserat titlurile celor două cataloage ale cataloagelor?

Paradoxul colecţionarului Edit

O persoană vrea să întocmească o colecţie de lucruri (obiecte) care nu fac parte din nicio colecţie. Să o notăm cu \mathcal C. \!

Când colecţionarul studiază ce fel de lucruri \mathfrak l \! trebuie să conţină această colecţie, are de analizat cazurile:

  • \mathfrak l \in \mathcal C. \! Atunci \mathfrak l \! nu trebuie să figureze în nicio colecţie conform definiţiei, deci nici în colecţia \mathcal C. \! Contradicţie!
  • \mathfrak l \not \in \mathcal C. \! Atunci, conform definiţiei, \mathfrak l \! trebuie să se afle într-o colecţie, deci nu mai avem contradicţie.

În acest caz, avem de-a face cu un semi-paradox.

Studiul riguros al paradoxului Edit

Mecanismul paradoxului este demontat în trei elemente:

  • libertatea excesivă în formarea mulţimilor în teoria lui Cantor.
  • autoreferinţa, cea care constituie un tip de cerc vicios
  • negaţia existentă într-o definiţie de tipul: mulţimea tuturor mulţimilor care nu îşi aparţin.

Însemnătatea paradoxului Edit

Deşi a generat un moment de criză, paradoxul lui Russell a condus la realizarea unor progrese în anumite ramuri ale matematicii.

S-a pus problema dacă un sistem axiomatic precum cel al lui Zermelo-Fraenkel este supus contradicţiilor şi dacă este suficient de tare pentru a demonstra sau confirma orice prepoziţie.

Ulterior s-a constatat că acest tip de probleme nu sunt de natură pur matematică, ci mai degrabă de limbaj şi de structură a matematicii. Astfel se naşte o disciplină logico-matematică, numită metamatematică, acesta reprezentând cel mai mare progres din domeniul epistemologiei datorat paradoxului lui Russell. Printre fondatorii acestui nou domeniu se pot enumera: David Hilbert (prin programul lui Hilbert, 1920 - 1922), Kurt Gödel (prin teorema de incompletitudine, 1931) şi Willard Van Orman Quine (prin teoria stratificării).

Resurse Edit

Also on Fandom

Random Wiki