FANDOM


Simple harmonic oscillator

Exemplu de oscilator liniar armonic: Sistem resort-masă neamortizat

Oscilatorul liniar armonic Edit

Mișcarea unui corp este o mișcare oscilatorie dacă se repetă periodic în timp. Mișcarea oscilatorie are loc în jurul unei poziții de echilibru. O deplasare a corpului din poziția de echilibru presupune existența unei forțe care să readucă corpul în poziția de echilibru. În poziția de echilibru această forță este zero (din definiția echilibrului). Considerăm un corp de masă m legat de un resort care oscilează fără frecare în lungul axei Ox.

Un corp care oscileaza orizontal

Studiem mișcarea centrului de masă al corpului. Particularizând formula de definiție a forței de tip conservativ:

\vec F = - \frac {\partial U}{\partial \vec r} \!

la oscilatorul liniar considerat rezultă:

F = - \frac {\partial U}{\partial x} \!

unde U este energia potențială.


Din condiția de echilibru a corpului (F=0 \!) rezultă:

\left ( \frac {\partial U}{\partial x} \right )_{x=x_0} =0. \!   (1)

unde x_0 \! este coordonata poziției de echilibru (x_0 \! este soluția ecuației \frac{\partial U}{\partial x}=0 \!).


Pentru deplasări x-x_0 \! mici, putem dezvolta energia potențială U în serie Taylor în jurul lui x_0: \!

U(x) = U(x_0)+ \left ( \frac {\partial U}{\partial x} \right )_{x=x_0} (x-x_0) + \frac 1 2 \left ( \frac {\partial^2 U}{\partial x^2} \right )_{x=x_0} (x-x_0)^2. \!   (2)

în care am neglijat termenii de ordin superior. Al doilea termen din (2) este zero datorită condiției de echilibru (1).


Mărimea k =\left (  \frac {\partial^2 U}{\partial x^2} \right )_{x=x_0} \! se numește constantă elastică.

Deci:

U(x)= U(x_0)+ \frac{k(x-x_0)^2}{2} \!   (3)


Putem alege x_0=0 \! (translatăm originea axei Ox în centrul de masă al corpului) și U(x_0)=0 \! (energia potențială de referință este nulă). Astfel energia potențială a oscilatorului liniar devine:

U= \frac{kx^2}{2} \!   (4)

care reprezintă grafic o parabolă. Pentru deplasări mici în jurul poziției de echilibru energia potențială reală (curba punctată) poate fi aproximată prin relația (4).

Graficul energiei potentiale a oscilatorului

Forța:

F =- \frac {\partial U}{\partial x} \overset {(4)}{=} -kx \!   (5)

va readuce corpul în poziția de echilibru dacă se opune deplasării. Astfel condiția de echilibru stabil în punctul x_0 \! este:

k>0. \!   (6)


Deoarece pentru valori ale lui x pozitive sau negative dar suficient de mici (pentru a fi valabilă relația (4)) funcția  U(x)\! este crescătoare, rezultă că în poziția de echilibru stabil (x_0 \!) energia potențială U(x) \! are un minim.


Funcția lui Hamilton pentru oscilatorul liniar are expresia:

H=T+ U = \frac {mv^2}{2}+ U= \frac {p^2}{2m}+ \frac {kx^2}{2} \!   (7)


Ecuațiile lui Hamilton sunt:

\begin{cases}
\dot x= \frac {\partial H}{\partial p} = \frac p m \!
\\ \\
\dot p = -\frac{\partial H}{\partial x} = -kx
\end{cases}   (8)


Eliminând p din cele două relații:

p= m \dot x \; \; \; \dot p = m \ddot x \!
\Rightarrow \; \; \Rightarrow \; m \ddot x = -kx \; \Rightarrow \; \ddot x + \frac k m x =0 \!
\dot p = -kx \; \; \dot p = -kx \!


rezultă ecuația:

\ddot x + \omega_0^2 x=0 \!   (9)

unde:

\omega_0=\sqrt {\frac k m} \!   (10)

este pulsația proprie a oscilatorului.

Ecuația (9) este o ecuație diferențială de ordinul doi, fără termenul cu derivata de ordinul întâi și omogenă (fără termenul liber) cu coeficienți constanți.


Soluția generală a ecuației (9) ce descrie o mișcare oscilatorie armonică (amplitudinea și pulsația rămân constante) este:

x= \mathcal C_1 e^{i \omega_0 t} + \mathcal C_2 e^{-i \omega_0 t} \!   (11)

sau una din formulele echivalente:

x=A \cos (\omega_0 t + \varphi) \!   (12)
x=A \sin (\omega_0 t + \varphi) \!   (12')
x=a \sin \omega_0 t + b \cos \omega_0 t \!   (13)
x=A e^{i (\omega_0 t + \varphi)} = A [\cos (\omega_0 t + \varphi) + i \sin (\omega_0 t + \varphi)] \!   (14)


Se poate arăta ușor că relațiile (11) – (14) verifică ecuația (9). Forma (14) este foarte comodă în aplicații, deoarece calculele cu exponenți sunt mai ușor de efectuat. Partea reală a expresiei (14) coincide cu (12). Astfel se poate utiliza reprezentarea oscilațiilor prin numere complexe (1.14), iar în rezultatul final se reține partea reală. În (12), A este amplitudinea oscilației, \omega_0 \! este pulsația oscilației, \varphi \! este faza inițială, iar \omega_0 t + \varphi \! este faza momentană (integrală) a oscilației. Elongația x(t) \! fiind o funcție periodică de timp ia aceeași valoare când timpul crește cu o perioadă T, x(t) = x(t+T), \!

x= A \cos (\omega_0 t + \varphi) = A \cos [\omega_0 (t+T) + \varphi ] = A \cos (\omega_0 t + \varphi + 2 \pi)  \!   (15)

unde am folosit faptul că perioada cosinusului este 2 \pi. \! Din (15) rezultă:

\omega_0 T = 2 \pi \; \Rightarrow \; T_0 = \frac {1}{\nu_0} = \frac {2 \pi}{\omega_0} =  2 \pi \sqrt \frac m k \!   (16)

unde \nu_0 \! este frecvența (numărul de oscilații efectuate în unitatea de timp).

Din (12) rezultă viteza:

v =- \omega_0 A \sin (\omega_0 t + \varphi) \!

Energia totală a oscilatorului este:

E = \frac {mv^2}{2} + \frac {kx^2}{2} = \frac {m \omega_0^2 A^2}{2} \sin^2 (\omega_0 t + \varphi) + \frac {m \omega_0^2 A^2}{2} \cos^2 (\omega_0 t + \varphi) = \frac {m \omega_0^2 A^2}{2} \!   (17)

Din (17) rezultă:

E=E_{c \; max} = U_{max} \!

Pentru x = A \! rezultă U = U_{max} \!, iar pentru x = 0 \! rezultă U = 0 \!.

Graficul energiei potențiale este de forma din figura de mai jos.


Graficul energiei potentiale

În cazul oscilatorului liniar armonic valoarea medie temporală a energiei cinetice este egală cu valoarea medie temporală a energiei potențiale:

\overline E_c = \overline U \!   (18)
\overline E_c = \frac 1 T \int_0^T E_c dt = \frac {m \omega_0^2 A^2}{2} \overline {\sin^2 (\omega_0 t+ \varphi)} = \frac{m \omega_0^2 A^2}{4} \!   (19)
\overline U = \frac 1 T \int_0^T U dt = \frac {m \omega_0 A^2}{2} \cdot \frac 1 T \int_0^T \cos^2 (\omega_0 + \varphi) dt = \frac {m \omega_0 A^2}{4} \!   (20)


În cazul în care intervine frecarea, cele două valori sunt diferite.


Energia oscilatorului liniar armonic Edit

Oscilatorul este scos din pozitia sa de echilibru, acestuia i se transfera energie. Lasat liber, fortele de revenire efectueaza lucru mecanic si modifica energia potentiala a oscilatorului si, totodata, energia sa cinetica.

În cazul unui oscilator armonic, oscilatiile au loc sub actiunea unei forte de tip elastic. Când elongatia este x, energia potentiala (de tip elastic) este:

E_p= \frac 1 2 k \cdot x^2 \!

Daca legea de miscare a oscilatorului armonic este de forma:

x=A \cdot \cos \varphi, \!   (1)

expresia energiei potentiale (de tip elastic) a oscilatorului devine:

Modificarea în timp a energiei potentiale (de tip elastic) a unui oscilator armonic

Modificarea în timp a energiei potentiale (de tip elastic) a unui oscilator armonic

E_p = \frac 1 2 k \cdot A^2 \cdot \cos^2 \varphi \!   (2)

faza \varphi \! modificându-se în timp astfel:

\varphi = \omega \cdot t + \varphi_0 \!

Energia cinetica a oscilatorului este:

E_c= \frac 1 2 m \cdot v^2 \!


Daca legea de miscare a oscilatorului este cea data de expresia (1), viteza oscilatorului este:

v = \omega \cdot A \cdot \cos (\varphi + \frac {\pi}{2}) = - \omega \cdot A \cdot \sin \varphi. \!

Asadar, expresia energiei cinetice a oscilatorului devine:

E_c = \frac 1 2 m \cdot \omega^2 \cdot A^2 \cdot \sin^2 \varphi \!
k=m \cdot \omega^2 \!

astfel ca expresia energiei cinetice a oscilatorului armonic este:

E_c = \frac 1 2 k \cdot A^2 \cdot \sin^2 \varphi \!

Oscilatiile unui oscilator armonic au loc doar sub actiunea unei forte de tip elastic. Aceasta este o forta conservativa (lucrul mecanic efectuat de aceasta este nul pe parcursul unei perioade de oscilatie).

În consecinta, energia mecanica (totala) a unui oscilator armonic nu ar trebui sa se modifice în timp (oscilatiile sunt neamortizate).

Într−adevar, conform expresiilor (2) si (3), energia mecanica a oscilatorului armonic este constanta în timp:

E = E_c + E_p = \frac 1 2 \cdot A^2 (\sin^2 \varphi + \cos^2 \varphi) = \frac 1 2 k \cdot A^2 \!
Energia totala a oscilatorului armonic este constanta în timp

Energia totala a oscilatorului armonic este constanta în timp

În cazul oscilatorilor reali, interactiunile (inevitabile) cu mediul determina transfer de energie între oscilator si mediul sau. Energia mecanica a oscilatorului se "risipeste" treptat în mediu, datorita actiunii fortelor disipative (cum sunt cele de frecare) - oscilatiile se amortizeaza.

Energia totala a unui oscilator real este transferata treptat mediului

Energia totala a unui oscilator real este transferata treptat mediului. Când toata energia initiala a oscilatorului va fi fost transferata mediului, oscilatiile înceteaza.

Abordare analitică Edit

(Vezi și articolul: Mecanică analitică.)

unde:

\frac{\partial L}{\partial \dot x} = m \dot x \; \; \; \; \frac{\partial L}{\partial x} = -kx \!
\Rightarrow \!
\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot q_k} =Q_j - \frac{\partial L}{\partial q_k} \!
\Rightarrow \!
m \ddot x = -c \dot x -kx \!

Vezi și Edit


Resurse Edit

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Also on FANDOM

Random Wiki