FANDOM


Fie $ \mathbb R^n \! $ spaţiul vectorial n-dimensional. Spunem că vectorii $ \vec x, \vec y \in \mathbb R^n \! $ sunt ortogonali dacă produsul scalar al acestora este nul.


Observaţie. Vectorul nul este ortogonal faţă de orice vector.

Deoarece:

$ ( \vec x + \vec y )^2 = \vec x^2 + 2 \vec x \cdot \vec y + \vec y^2 \! $

rezultă:

Teoremă. (Teorema lui Pitagora pentru spaţii vectoriale) Doi vectori $ \vec x , \vec y \in \mathbb R^n \! $ sunt ortogonali dacă şi numai dacă:

$ \| \vec x + \vec y \|^2 = \| \vec x \|^2 + \| \vec y \|^2. \! $


Definiţie. O familie de vectori $ (\vec v_1, \vec v_2, \cdots , \vec v_d) \! $ se numeşte liberă dacă $ \lambda_1 \vec v_1 + \lambda_2 \vec v_2 + \cdots + \lambda_n \vec v_d = \vec 0 \! $ implică $ \lambda_1 = \lambda_2 = \cdots = \lambda_d=0. \! $


Teoremă. O familie liberă de vectori din $ E \subset \mathbb R^n \! $ în care nu sunt toţi nuli şi care sunt ortogonali doi câte doi, este o familie liberă.

Demonstraţie. Considerăm scalarii $ \lambda_1, \lambda_2, \cdots , \lambda_d \in \mathbb R \! $ şi combinaţia liniară:

$ \lambda_1 \vec v_1 + \lambda_2 \vec v_2 + \cdots + \lambda_d \vec v_d = \sum_{i=1}^n \lambda_i \vec v_i. \! $

Presupunem că rezultatul este vectorul nul şi să înmulţim scalar suma cu vectorul $ \vec v_i \! $ pentru i de la 1 la n. Utilizând biliniaritatea produsului scalar:

$ 0= \langle \vec v_i \; | \; \lambda_1 \vec v_1 + \lambda_2 \vec v_2 + \cdots + \lambda_d \vec v_d \rangle = \lambda_1 \langle v_i | v_1 \rangle + \lambda_2 \langle v_i | v_2 \rangle + \cdots + \lambda_d \langle v_i | v_d \rangle. \! $

Cum însă vectorul $ \vec v_i \! $ este ortogonal faţă de toţi ceilalţi:

$ 0 = \langle \vec v_i | \lambda_1 \vec v_1 + \lambda_2 \vec v_2 + \cdots + \lambda_d \vec v_d \rangle = \lambda_i \langle \vec v_i | \vec v_i \rangle = \lambda_i \| \vec v_i \|^2. \! $

Dar $ \vec v_i \! $ nu este vectorul nul, deci lungimea sa nu este nulă. Rezultă $ \lambda_i =0 \! $

Vezi şi Edit


Resurse Edit