Fandom

Math Wiki

Ortogonalitate

1.029pages on
this wiki
Add New Page
Comments0 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Fie \mathbb R^n \! spaţiul vectorial n-dimensional. Spunem că vectorii \vec x, \vec y \in \mathbb R^n \! sunt ortogonali dacă produsul scalar al acestora este nul.


Observaţie. Vectorul nul este ortogonal faţă de orice vector.

Deoarece:

( \vec x + \vec y )^2 = \vec x^2 + 2 \vec x \cdot \vec y + \vec y^2 \!

rezultă:

Teoremă. (Teorema lui Pitagora pentru spaţii vectoriale) Doi vectori \vec x , \vec y \in \mathbb R^n \! sunt ortogonali dacă şi numai dacă:

\| \vec x + \vec y \|^2 = \| \vec x \|^2  + \| \vec y \|^2. \!


Definiţie. O familie de vectori (\vec v_1, \vec v_2, \cdots , \vec v_d) \! se numeşte liberă dacă \lambda_1 \vec v_1 + \lambda_2 \vec v_2 + \cdots + \lambda_n \vec v_d = \vec 0 \! implică \lambda_1 = \lambda_2 = \cdots = \lambda_d=0. \!


Teoremă. O familie liberă de vectori din E \subset \mathbb R^n \! în care nu sunt toţi nuli şi care sunt ortogonali doi câte doi, este o familie liberă.

Demonstraţie. Considerăm scalarii \lambda_1, \lambda_2, \cdots , \lambda_d \in \mathbb R \! şi combinaţia liniară:

\lambda_1 \vec v_1 + \lambda_2 \vec v_2 + \cdots + \lambda_d \vec v_d = \sum_{i=1}^n \lambda_i \vec v_i. \!

Presupunem că rezultatul este vectorul nul şi să înmulţim scalar suma cu vectorul \vec v_i \! pentru i de la 1 la n. Utilizând biliniaritatea produsului scalar:

0= \langle \vec v_i \; | \; \lambda_1 \vec v_1 + \lambda_2 \vec v_2 + \cdots + \lambda_d \vec v_d  \rangle = \lambda_1 \langle v_i | v_1 \rangle + \lambda_2 \langle v_i | v_2 \rangle + \cdots + \lambda_d \langle v_i | v_d \rangle.  \!

Cum însă vectorul \vec v_i \! este ortogonal faţă de toţi ceilalţi:

0 = \langle  \vec v_i | \lambda_1 \vec v_1 + \lambda_2 \vec v_2 + \cdots + \lambda_d \vec v_d \rangle = \lambda_i \langle \vec v_i | \vec v_i \rangle = \lambda_i \| \vec v_i \|^2. \!

Dar \vec v_i \! nu este vectorul nul, deci lungimea sa nu este nulă. Rezultă \lambda_i =0 \!

Vezi şi Edit


Resurse Edit

Also on Fandom

Random Wiki