FANDOM


A nu se confunda cu termenul funcţională liniară!

Definiţii Edit

DEFINIŢIA 1. Fie V şi W două spaţii vectoriale de dimensiune finită peste un corp comutativ K. O funcţie $ U: V \rightarrow W \! $ se numeşte operator liniar (sau transformare liniară, sau morfism de spaţii vectoriale) dacă îndeplineşte următoarele condiţii:

(1) $ U (x+y) = U(x) + U(y), \; \forall x, y \in V; \! $ aditivitate
(2) $ U (\alpha x) = \alpha U(x), \; \forall \alpha \in K, \; x \in V. \! $ omogenitate de gradul întâi.

În cazul în care $ V=W, \! $ operatorul liniar $ U: V \rightarrow V \! $ se numeşte endomorfism. Mulţimea operatorilor liniari definiţi pe V cu valori în W se notează $ L_K(V, W) \! $ (sau $ L(V, W) \! $ când corpul K se subînţelege). Dacă $ V=W, \! $ vom scrie $ L_K(V) \! $ (respectiv $ L(V) \! $) în loc de $ L(V, W) \! $ (respectiv $ L(V, W) \! $).

OBSERVAŢIA 1.

a) Restricţia unui operator $ U \in L_K (V, W) \! $ la un subspaţiu vectorial $ V_1 \! $ al domeniului său de definiţie este tot un operator liniar, notat $ U| \; V_1; \! $ b) $ U(0)=0; \! $ c) $ U (-x) = - U(x). \! $

Afirmaţiile de la punctele b) şi c) se rezultă direct din definiţia de mai sus. De exemplu, pentru a demonstra b), luăm $ \alpha=0 \! $ în relaţia $ U(\alpha x) = \alpha U(x) \! $ şi obţinem $ U(0) = 0 \cdot U(x) = 0, \! $ adică ceea ce trebuia demontrat. Observând că $ U(0)=U(x+(-x)) = U(x) + U (-x), \! $ aplicăm b) şi obţinem c).

OBSERVAŢIA 2.

Fie V şi W două spaţii vectoriale peste un corp comutativ K. O funcţie $ U: V \rightarrow W \! $ este operator liniar dacă şi numai dacă pentru orice $ x, y \in V \! $ şi orice $ \alpha, \beta \in K \! $ este îndeplinită condiţia

(3) $ U(\alpha x + \beta y) = \alpha U (x) + \beta U(y). \! $

Într-adevăr, dacă $ U: V \rightarrow W \! $ este operator liniar, atunci aplicăm definiţia şi avem $ U(\alpha x + \beta y) = U (\alpha x) + U(\beta y) = \alpha U(x) + \beta U(y),\! $ pentru orice $ x, y \in V \! $ şi orice $ \alpha, \beta \in K. \! $

Reciproc, presupunem că pentru orice $ x, y \in V \! $ şi orice $ \alpha, \beta \in K. \! $ are loc (*). Luând $ \alpha = \beta = 1 \! $ în (*), obţinem $ U(x+y)=U(x)+U(y). \! $ Pe de altă parte, dacă facem $ \beta=0 \! $ în (*), avem $ U (\alpha x) = \alpha U(x). \! $ Deci cele două condiţii din definiţia transformării liniare sunt îndeplinite.

PROPOZIŢIE

Dacă $ U: V \rightarrow W \! $ este operator liniar, atunci:

(4)   $ U(0_V) = 0_W. \! $


EXEMPLU

Considerăm spaţiile vectoriale $ \mathbb R^2 \! $ şi $ \mathbb R^3 \! $ peste corpul numerelor reale $ \mathbb R. \! $ Verificaţi dacă aplicaţiile definite mai jos sunt operatori liniari.

a) $ U: \mathbb R^2 \rightarrow \mathbb R^3, \; U(x ) =( x_1+2x_2, x_2, x_1-x_2),\; \; x = (x_1, x_2) \in \mathbb R^2.\! $

b) $ U: \mathbb R^3 \rightarrow \mathbb R^2, \; U(x ) =( x_1+x_3, x_2, x_3),\; \; x = (x_1, x_2, x_3) \in \mathbb R^3.\! $


Rezolvare. a) Vom arăta că U este un operator liniar, Într-adevăr, fie $ \alpha, \beta \in \mathbb R \! $ şi $ x= (x_1, x_2), \; y= (y_1, y_2) \in \mathbb R^3. \! $ Atunci $ \alpha x + \beta y = (\alpha x_1 + \beta y_1, \alpha x_2 + \beta y_2). \! $

Folosind Observaţia 3.1.2, avem $ U (\alpha x + \beta y) =\! $

$ = (\alpha x_1 + \beta y_1 + 2 \alpha x_2 + 2 \beta y_2, \alpha x_2 + \beta y_2, \alpha x_1 + \beta y_1 - (\alpha x_2 + \beta y_2)) =\! $

$ =( \alpha x_1 + 2 x_2 + \beta (y_1 +2y_2), \alpha x_2 + \beta y_2, \alpha(x_1-x_2) + \beta(y_1-y_2))=\! $

$ = (\alpha (x_1+2x_2), \alpha x_2, \alpha (x_1-x_2) + \beta (y_1+2y_2), \beta y_2, \beta (y_1-y_2)) = \! $

$ = \alpha (x_1+2x_2, x_2, x_1-x_2) + \beta (y_1+y_2, y_2, y_1-y_2) =\! $

$ = \alpha U(x) + \beta U(y). \! $

b) Deoarece, pentru $ x= (1, 1, 1) \in \mathbb R^3 \! $ şi $ \alpha = 3 \in \mathbb R \! $ avem $ U (\alpha x) = (6, 9) \neq 3(2, 1) = \alpha U (x) \! $, rezultă că U nu este un operator liniar.


DEFINIŢIA 2.

Fie spaţiile vectoriale $ (V, K) \! $ şi $ (W, K), \! $ cu $ dim \; V = m, \; dim \; W=n, \; m,n \in \mathbb N \! $ şi $ U: V \rightarrow W \! $ un operator liniar. Fie $ F = \{ f_1, f_2, \cdots , f_m \} \! $ o bază a lui $ (V, K) \! $ şi $ G = \{ g_1, g_2, \cdots , g_n \} \! $ o bază a lui $ (W, K) .\! $ Se numeşte matricea operatorului liniar V corespunzătoare bazelor F şi G matricea $ A \in M_{m, n} (K) \! $ ale cărei linii sunt componentele vectorilor $ U(f_1), U(f_2), \cdots , U(f_m) \! $ în baza G, adică $ A = (U(f_1)_G \;U(f_2)_G \; \cdots \;U(f_m)_G \; )^t. \! $

Reprezentarea operatorului liniar U în bazele F şi G este dată de formula:

$ U(x)_G= A^t x_F. \! $


Dacă F şi G sunt bazele canonice ale spaţiilor $ (V, K) \! $ şi $ (W, K), \! $ atunci reprezentarea operatorului liniar U este: $ U(x ) = A^t x. \! $

Modificarea matricei unui operator liniar la schimbarea bazelor în care se reprezintă Edit

Fie $ U: V \rightarrow W \! $ un operator liniar, F, F' două baze ale spaţiului liniar $ (V, K) \! $ şi G, G' două baze ale spaţiului liniar $ (W, K). \! $

Fie $ A = A_{F, G} \! $ şi $ B = A_{F', G'} \! $ matricele operatorului liniar corespunzătoare bazelor F şi G, respectiv bazelor F' şi G'. Fie C matricea de trecere de la baza F la baza F' şi D este matricea de trecere de la baza G la baza G'. Atunci $ B^t = D^{-1} \cdot A^t \cdot C. \! $

Probleme rezolvate Edit

  1. Să se determine care dintre următoarele aplicaţii defineşte un operator liniar:

  a) $ U: \mathbb R^3 \rightarrow \mathbb R^2, \; U(x) = \begin{pmatrix} 4 x_1 - x_2 + 3 x_3 \\ -x_1 + 2 x_2 + x_3 \end{pmatrix} \! $

  b) $ U: \mathbb R^2 \rightarrow \mathbb R^3, \; U(x) = \begin{pmatrix} x_1 - 4 _2 \\ -2 x_1 + 3 \\ 5 x_1 - x_2 \end{pmatrix}. \! $

Rezolvare:

a) Fie $ \alpha, \beta \in \mathbb R^3; \! $ avem că:
$ U (\alpha x + \beta y) = U \begin{pmatrix} \alpha x_1 + \beta y_1 \\ \alpha x_2 + \beta y_2 \\ \alpha x_3 + \beta y_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4(\alpha x_1 + \beta x_1) - (\alpha x_2 + \beta x_2) +3 (\alpha x_3 + \beta x_3) \\ -(\alpha x_1 + \beta x_1) +2 (\alpha x_2 + \beta x_2) + (\alpha x_3 + \beta x_3) \end{pmatrix} = \! $

$ = \begin{pmatrix} 4 \alpha x_1 - \alpha x_2 + 3 \alpha x_3 \\ - \alpha x_1 +2 \alpha x_2 + \alpha x_3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 4 \beta x_1 - \beta x_2 + 3 \beta x_3 \\ - \beta x_1 +2 \beta x_2 + \beta x_3 \end{pmatrix} = \alpha U(x) + \beta U(y); \! $


b) Metoda I.

Fie $ \alpha , \beta \in \mathbb R^2, \; x, y \in \mathbb R^2. \! $ Avem că:

$ U(\alpha x + \beta y) = U \begin{pmatrix} \alpha x_1 + \beta y_1 \\ \alpha x_2 + \beta y_2 \end{pmatrix}= \! $

$ = \begin{pmatrix} (\alpha x_1 + \beta y_1) - 4 (\alpha x_2 + \beta y_2) \\ -2 (\alpha x_1 + \beta y_1) +3 \\ 5 (\alpha x_1 + \beta y_1) - (\alpha x_2 + \beta y_2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha x_1 + \beta y_1 - 4 \alpha x_2 -4 \beta y_2 \\ -2 \alpha x_1 -2 \beta y_1 +3 \\ 5 \alpha x_1 +5 \beta y_1 - \alpha x_2 - \beta y_2 \end{pmatrix} \! $   (1)


$ \alpha U(x) + \beta U(y) = \alpha \begin{pmatrix} x_1 - 4 x_2 \\ -2 x_1 +3 \\ 5 x_1 - x_2 \end{pmatrix} + \beta \begin{pmatrix} y_1 - 4 y_2 \\ -2 y_1 +3 \\ 5 y_1 - y_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha x_1 + \beta y_1 - 4 \alpha x_2 -4 \beta y_2 \\ -2 \alpha x_1 -2 \beta y_1 +3 \alpha + 3 \beta \\ 5 \alpha x_1 +5 \beta y_1 - \alpha x_2 - \beta y_2 \end{pmatrix} \! $   (2)

Din (1) şi (2) rezultă că relaţia (3) din definiţia operatorului liniar nu este îndeplinită $ \forall \alpha, \beta \in \mathbb R, \! $ prin urmare U nu este operator liniar.


Metoda II.

Dacă U ar f operator liniar, conform (4) ar trebui ca $ U(0_{\mathbb R^2}) = 0_{\mathbb R^2}. \! $

Dar $ U(0_{\mathbb R^2}) = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} \neq 0_{\mathbb R^2}, \! $ prin urmare U nu este operator liniar.

2. Se consideră operatorul liniar $ U: \mathbb R^3 \rightarrow \mathbb R^2, \! $
$ U(x) = \begin{pmatrix} 3 x_1 - x_2 - 2x_3 \\ - x_1 + x_2 + x_3 \end{pmatrix}. \! $

Să se determine:

    a) matricea operatorului corespunzătoare bazelor canonice ale spaţiilor liniare $ (\mathbb R^3, R) \! $ şi $ (\mathbb R^2, R); \! $

    b) matricea operatorului corespunzătoare bazelor

$ F= \{ f_1 = (1, \; -1, \; 2)^t, f_2 = (3, \; 0, \; 1)^t, f_3 = (1, \; 2, \; -1)^t \} \! $

şi

$ G = \{ g_1 = (-1, \; 2)^t , g_2 = (0, \; 1)^t \}. \! $


Rezolvare:

a) Fie A matricea operatorului corespunzătoare

bazelor canonice ale spaţiilor $ \mathbb R^3 \! $ şi $ \mathbb R^2. \! $

Operator liniar 4 Operator liniar 5 Operator liniar 6 Operator liniar 7 Operator liniar 8 Operator liniar 9 Operator liniar 10 Operator liniar 11 Operator liniar 12 Operator liniar 13

Vezi şi Edit

Resurse Edit