Fandom

Math Wiki

Operator liniar

1.029pages on
this wiki
Add New Page
Comments0 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

A nu se confunda cu termenul funcţională liniară!

Definiţii Edit

DEFINIŢIA 1. Fie V şi W două spaţii vectoriale de dimensiune finită peste un corp comutativ K. O funcţie U: V \rightarrow W \! se numeşte operator liniar (sau transformare liniară, sau morfism de spaţii vectoriale) dacă îndeplineşte următoarele condiţii:

(1) U (x+y) = U(x) + U(y), \; \forall x, y \in V; \! aditivitate
(2) U (\alpha x) = \alpha U(x), \; \forall \alpha \in K, \; x \in V. \! omogenitate de gradul întâi.

În cazul în care V=W, \! operatorul liniar U: V \rightarrow V \! se numeşte endomorfism. Mulţimea operatorilor liniari definiţi pe V cu valori în W se notează L_K(V, W) \! (sau L(V, W) \! când corpul K se subînţelege). Dacă V=W, \! vom scrie L_K(V) \! (respectiv L(V) \!) în loc de L(V, W) \! (respectiv L(V, W) \!).

OBSERVAŢIA 1.

a) Restricţia unui operator U \in L_K (V, W) \! la un subspaţiu vectorial V_1 \! al domeniului său de definiţie este tot un operator liniar, notat U| \; V_1; \! b) U(0)=0; \! c)  U (-x) = - U(x). \!

Afirmaţiile de la punctele b) şi c) se rezultă direct din definiţia de mai sus. De exemplu, pentru a demonstra b), luăm \alpha=0 \! în relaţia U(\alpha x) = \alpha U(x) \! şi obţinem U(0) = 0 \cdot U(x) = 0, \! adică ceea ce trebuia demontrat. Observând că U(0)=U(x+(-x)) = U(x) + U (-x), \! aplicăm b) şi obţinem c).

OBSERVAŢIA 2.

Fie V şi W două spaţii vectoriale peste un corp comutativ K. O funcţie U: V \rightarrow W \! este operator liniar dacă şi numai dacă pentru orice x, y \in V \! şi orice \alpha, \beta \in K \! este îndeplinită condiţia

(3) U(\alpha x + \beta y) = \alpha U (x) + \beta U(y). \!

Într-adevăr, dacă U: V \rightarrow W \! este operator liniar, atunci aplicăm definiţia şi avem U(\alpha x + \beta y) = U (\alpha x) + U(\beta y) = \alpha U(x) + \beta U(y),\! pentru orice x, y \in V \! şi orice \alpha, \beta \in K. \!

Reciproc, presupunem că pentru orice x, y \in V \! şi orice \alpha, \beta \in K. \! are loc (*). Luând \alpha = \beta = 1 \! în (*), obţinem U(x+y)=U(x)+U(y). \! Pe de altă parte, dacă facem \beta=0 \! în (*), avem U (\alpha x) = \alpha U(x). \! Deci cele două condiţii din definiţia transformării liniare sunt îndeplinite.

PROPOZIŢIE

Dacă U: V \rightarrow W \! este operator liniar, atunci:

(4)   U(0_V) = 0_W. \!


EXEMPLU

Considerăm spaţiile vectoriale \mathbb R^2 \! şi \mathbb R^3 \! peste corpul numerelor reale \mathbb R. \! Verificaţi dacă aplicaţiile definite mai jos sunt operatori liniari.

a) U: \mathbb R^2 \rightarrow \mathbb R^3, \; U(x ) =( x_1+2x_2, x_2, x_1-x_2),\; \;  x = (x_1, x_2) \in \mathbb R^2.\!

b) U: \mathbb R^3 \rightarrow \mathbb R^2, \; U(x ) =( x_1+x_3, x_2, x_3),\; \;  x = (x_1, x_2, x_3) \in \mathbb R^3.\!


Rezolvare. a) Vom arăta că U este un operator liniar, Într-adevăr, fie \alpha, \beta \in \mathbb R \! şi x= (x_1, x_2), \; y= (y_1, y_2) \in \mathbb R^3. \! Atunci \alpha x + \beta y = (\alpha x_1 + \beta y_1, \alpha x_2 + \beta y_2). \!

Folosind Observaţia 3.1.2, avem U (\alpha x + \beta y) =\!

= (\alpha x_1 + \beta y_1 + 2 \alpha x_2 + 2 \beta y_2, \alpha x_2 + \beta y_2, \alpha x_1 + \beta y_1 - (\alpha x_2 + \beta y_2)) =\!

=( \alpha x_1 + 2 x_2 + \beta (y_1 +2y_2), \alpha x_2 + \beta y_2, \alpha(x_1-x_2) + \beta(y_1-y_2))=\!

= (\alpha (x_1+2x_2), \alpha x_2, \alpha (x_1-x_2) + \beta (y_1+2y_2), \beta y_2, \beta (y_1-y_2)) = \!

= \alpha (x_1+2x_2, x_2, x_1-x_2) + \beta (y_1+y_2, y_2, y_1-y_2) =\!

= \alpha U(x) + \beta U(y). \!

b) Deoarece, pentru x= (1, 1, 1) \in \mathbb R^3 \! şi \alpha = 3 \in \mathbb R \! avem U (\alpha x) = (6, 9) \neq 3(2, 1) = \alpha U (x) \!, rezultă că U nu este un operator liniar.


DEFINIŢIA 2.

Fie spaţiile vectoriale (V, K) \! şi (W, K), \! cu dim \; V = m, \; dim \; W=n, \; m,n \in \mathbb N \! şi U: V \rightarrow W \! un operator liniar. Fie F = \{ f_1, f_2, \cdots , f_m \} \! o bază a lui (V, K) \! şi G = \{ g_1, g_2, \cdots , g_n \} \! o bază a lui (W, K) .\! Se numeşte matricea operatorului liniar V corespunzătoare bazelor F şi G matricea A \in M_{m, n} (K) \! ale cărei linii sunt componentele vectorilor U(f_1), U(f_2), \cdots , U(f_m) \! în baza G, adică A = (U(f_1)_G \;U(f_2)_G \; \cdots \;U(f_m)_G \; )^t. \!

Reprezentarea operatorului liniar U în bazele F şi G este dată de formula:

U(x)_G= A^t x_F. \!


Dacă F şi G sunt bazele canonice ale spaţiilor (V, K) \! şi (W, K), \! atunci reprezentarea operatorului liniar U este: U(x ) = A^t x. \!

Modificarea matricei unui operator liniar la schimbarea bazelor în care se reprezintă Edit

Fie U: V \rightarrow W \! un operator liniar, F, F' două baze ale spaţiului liniar (V, K) \! şi G, G' două baze ale spaţiului liniar (W, K). \!

Fie A = A_{F, G} \! şi B = A_{F', G'} \! matricele operatorului liniar corespunzătoare bazelor F şi G, respectiv bazelor F' şi G'. Fie C matricea de trecere de la baza F la baza F' şi D este matricea de trecere de la baza G la baza G'. Atunci B^t = D^{-1} \cdot A^t \cdot C. \!

Probleme rezolvate Edit

  1. Să se determine care dintre următoarele aplicaţii defineşte un operator liniar:

  a) U: \mathbb R^3 \rightarrow \mathbb R^2, \; U(x) = \begin{pmatrix} 4 x_1 - x_2 + 3 x_3 \\ -x_1 + 2 x_2 + x_3  \end{pmatrix} \!

  b) U: \mathbb R^2 \rightarrow \mathbb R^3, \; U(x) = \begin{pmatrix} x_1 - 4 _2 \\ -2 x_1 + 3 \\ 5 x_1 - x_2  \end{pmatrix}. \!

Rezolvare:

a) Fie \alpha, \beta \in \mathbb R^3; \! avem că:
U (\alpha x + \beta y) = U \begin{pmatrix} \alpha x_1 + \beta y_1 \\ \alpha x_2 + \beta y_2 \\ \alpha x_3 + \beta y_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4(\alpha x_1 + \beta x_1) - (\alpha x_2 + \beta x_2) +3  (\alpha x_3 + \beta x_3) \\  -(\alpha x_1 + \beta x_1) +2 (\alpha x_2 + \beta x_2) +  (\alpha x_3 + \beta x_3)  \end{pmatrix} = \!

= \begin{pmatrix} 4 \alpha x_1 - \alpha x_2 + 3 \alpha x_3 \\ - \alpha x_1 +2 \alpha x_2 + \alpha x_3  \end{pmatrix} +  \begin{pmatrix} 4 \beta x_1 - \beta x_2 + 3 \beta x_3 \\ - \beta x_1 +2 \beta x_2 + \beta x_3  \end{pmatrix} = \alpha U(x) + \beta U(y); \!


b) Metoda I.

Fie \alpha , \beta \in \mathbb R^2, \; x, y \in \mathbb R^2. \! Avem că:

U(\alpha x + \beta y) = U \begin{pmatrix} \alpha x_1 + \beta y_1 \\  \alpha x_2 + \beta y_2  \end{pmatrix}= \!

= \begin{pmatrix} (\alpha x_1 + \beta y_1) - 4 (\alpha x_2 + \beta y_2) \\ -2 (\alpha x_1 + \beta y_1) +3 \\ 5 (\alpha x_1 + \beta y_1) - (\alpha x_2 + \beta y_2)   \end{pmatrix} =  \begin{pmatrix} \alpha x_1 + \beta y_1 - 4 \alpha x_2 -4 \beta y_2 \\ -2 \alpha x_1 -2 \beta y_1 +3 \\ 5 \alpha x_1 +5 \beta y_1 - \alpha x_2 - \beta y_2   \end{pmatrix}  \!   (1)


\alpha U(x) + \beta U(y) = \alpha \begin{pmatrix} x_1 - 4 x_2  \\ -2 x_1 +3 \\ 5 x_1 - x_2 \end{pmatrix} +  \beta \begin{pmatrix} y_1 - 4 y_2  \\ -2 y_1 +3 \\ 5 y_1 - y_2 \end{pmatrix} =  \begin{pmatrix} \alpha x_1 + \beta y_1 - 4 \alpha x_2 -4 \beta y_2 \\ -2 \alpha x_1 -2 \beta y_1 +3 \alpha + 3 \beta \\ 5 \alpha x_1 +5 \beta y_1 - \alpha x_2 - \beta y_2   \end{pmatrix} \!   (2)

Din (1) şi (2) rezultă că relaţia (3) din definiţia operatorului liniar nu este îndeplinită \forall \alpha, \beta \in \mathbb R, \! prin urmare U nu este operator liniar.


Metoda II.

Dacă U ar f operator liniar, conform (4) ar trebui ca U(0_{\mathbb R^2}) = 0_{\mathbb R^2}. \!

Dar U(0_{\mathbb R^2}) = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 0  \end{pmatrix} \neq 0_{\mathbb R^2}, \! prin urmare U nu este operator liniar.

2. Se consideră operatorul liniar U: \mathbb R^3 \rightarrow \mathbb R^2, \!
U(x) = \begin{pmatrix} 3 x_1 - x_2 - 2x_3 \\ - x_1 + x_2 + x_3 \end{pmatrix}. \!

Să se determine:

    a) matricea operatorului corespunzătoare bazelor canonice ale spaţiilor liniare (\mathbb R^3, R) \! şi (\mathbb R^2, R); \!

    b) matricea operatorului corespunzătoare bazelor

F= \{ f_1 = (1, \; -1, \; 2)^t,  f_2 = (3, \; 0, \; 1)^t,  f_3 = (1, \; 2, \; -1)^t  \} \!

şi

G = \{ g_1 = (-1, \; 2)^t , g_2 = (0, \; 1)^t \}. \!


Rezolvare:

a) Fie A matricea operatorului corespunzătoare

bazelor canonice ale spaţiilor \mathbb R^3 \! şi \mathbb R^2. \!

Operator liniar 4.png Operator liniar 5.png Operator liniar 6.png Operator liniar 7.png Operator liniar 8.png Operator liniar 9.png Operator liniar 10.png Operator liniar 11.png Operator liniar 12.png Operator liniar 13.png

Vezi şi Edit

Resurse Edit

Also on Fandom

Random Wiki