FANDOM


Definiţie Edit

Numim operator diferenţial liniar orice aplicație liniară:

$ f \mapsto \sum_{p \le q} \; \; \sum_{j_1, \cdots , j_p \in \{1, \cdots ,n \}} \alpha_{j_1, \cdots , j_p} (x) \frac{\partial^p f}{\partial x_{j_1} \cdots \partial x_{j_p}}. \! $


definită pe $ \mathcal C^k (I, \mathbb R^p) \! $ cu valori în $ \mathcal C^0 (I, \mathbb R^p) \! $ unde $ I \in \mathbb R^n \! $ este un interval deschis, iar $ \alpha_{j_1, \cdots , j_p} \! $ sunt funcţii continue pe I.

Conform teoremei lui Schwarz, operatorul mai poate fi scris:

$ \sum_{p \le q} \; \; \sum_{j_1, \cdots , j_p \in \{1, \cdots ,n \}} \alpha_{j_1, \cdots , j_p} (x) \frac{\partial^p f}{\partial x_{j_1} \cdots \partial x_{j_p}} = \sum_{p_1 + \cdots + p_m \le q} \alpha_{p_1 \cdots , p_m} \frac{\partial^{p_1 + \cdots + p_m}}{\partial x_1^{p_1} \cdots \partial x_m^{p_m}}. \! $

Exemple Edit

  • operatorul Euler:
$ E = \sum_{j=1}^n x_j \frac{\partial}{\partial x_j}. \! $

Intervine mai ales în studiul aplicaţiilor pozitive şi omogene.

  • operatorul Riemann:
$ R= \frac{\partial}{\partial x} + i \frac{\partial}{\partial y}. \! $
  • laplacianul pe $ \mathbb R^n \! $:
$ \Delta(f) = \sum_{j=1}^n \frac{\partial^2}{\partial x_j^2}. \! $
  • d'Alembertianul pe $ \mathbb R^{n+1} = \mathbb R^n \times \mathbb R \! $:
$ \Box = \frac{\partial^2}{\partial t^2} - \frac{1}{c^2} \sum_{j=1}^n \frac{\partial^2}{\partial x_j^2} \! $

Ecuaţia $ \Box (f) =0 \! $ se numeşte ecuația undei.

$ F = \frac{\partial}{\partial t} - k \sum_{j=1}^n \frac{\partial^2}{\partial x_j^2}. \! $

Ecuaţia $ Ff= 0 \! $ se numeşte ecuaţia căldurii.

Vezi şi Edit


Resurse Edit