Fandom

Math Wiki

Operator diferențial

1.029pages on
this wiki
Add New Page
Comments0 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Definiţie Edit

Numim operator diferenţial liniar orice aplicație liniară:

f \mapsto \sum_{p \le q} \; \; \sum_{j_1, \cdots , j_p \in \{1, \cdots ,n \}} \alpha_{j_1, \cdots , j_p} (x) \frac{\partial^p f}{\partial x_{j_1} \cdots \partial x_{j_p}}. \!


definită pe \mathcal C^k (I, \mathbb R^p) \! cu valori în \mathcal C^0 (I, \mathbb R^p) \! unde I \in \mathbb R^n \! este un interval deschis, iar \alpha_{j_1, \cdots , j_p} \! sunt funcţii continue pe I.

Conform teoremei lui Schwarz, operatorul mai poate fi scris:

\sum_{p \le q} \; \; \sum_{j_1, \cdots , j_p \in \{1, \cdots ,n \}} \alpha_{j_1, \cdots , j_p} (x) \frac{\partial^p f}{\partial x_{j_1} \cdots \partial x_{j_p}} = \sum_{p_1 + \cdots + p_m \le q} \alpha_{p_1 \cdots , p_m} \frac{\partial^{p_1 + \cdots + p_m}}{\partial x_1^{p_1} \cdots \partial x_m^{p_m}}. \!

Exemple Edit

  • operatorul Euler:
E = \sum_{j=1}^n x_j \frac{\partial}{\partial x_j}. \!

Intervine mai ales în studiul aplicaţiilor pozitive şi omogene.

  • operatorul Riemann:
R= \frac{\partial}{\partial x} + i \frac{\partial}{\partial y}. \!
  • laplacianul pe \mathbb R^n \!:
\Delta(f) = \sum_{j=1}^n \frac{\partial^2}{\partial x_j^2}. \!
  • d'Alembertianul pe \mathbb R^{n+1} = \mathbb R^n \times \mathbb R \!:
\Box = \frac{\partial^2}{\partial t^2} - \frac{1}{c^2} \sum_{j=1}^n \frac{\partial^2}{\partial x_j^2} \!

Ecuaţia \Box (f) =0 \! se numeşte ecuația undei.

F = \frac{\partial}{\partial t} - k \sum_{j=1}^n \frac{\partial^2}{\partial x_j^2}. \!

Ecuaţia Ff= 0 \! se numeşte ecuaţia căldurii.

Vezi şi Edit


Resurse Edit

Also on Fandom

Random Wiki