FANDOM


În alte limbi
* English

Un element din mulţimea numerelor naturale se numeşte număr prim dacă este mai mare strict decât 1 şi nu admite alţi divizor afară de 1 şi de el însuşi.

Teorema 1 Edit

Orice număr natural, mai mare decât 1, are cel puţin un divizor prim.

Demonstraţie.

Presupunem prin reducere la absurd că există un număr $ n>1 \! $ care nu are divizori primi. Notăm cu $ \mathcal S $ mulţimea acestor numere pe care deci am presupus-o nevidă şi cum $ \mathbb N \! $ este bine ordonată, există un cel mai mic element în $ \mathcal S $ pe care îl notăm $ n_0 \! $. Atunci $ n_0 \! $ este număr compus, deci există $ a, b \in \mathbb N \! $, cu $ 1< a, b < n_0 \! $ şi $ n_0 = ab. \! $

Pentru a nu contrazice alegerea lui $ n_0 \! $, avem $ a \notin \mathcal S $, adică a are un divizor prim care va fi un divizor şi pentru $ n_0 \! $, ceea ce contrazice faptul că $ n_0 \in \mathcal S. \! $

Teorema 2 Edit

Dacă n este un număr compus, atunci are cel puţin un divizor prim mai mic strict decât $ \sqrt n. \! $

Demonstraţie

Cum n este compus, fie $ n=ab $ cu $ 1< a \le b < n.\! $ Dacă $ a> \sqrt n, \! $ atunci $ n= ab> n, \! $ ceea ce este fals. Deci $ a< \sqrt n. \! $ Conform teoremei 1, a are un divizor prim. Deci n are un divizor prim $ \le \sqrt n \! $


Vezi şi Edit

Resurse Edit


Numere
Complexe $ \mathbb{C} $
Reale $ \mathbb{R} $
Raţionale $ \mathbb{Q} $
Întregi $ \mathbb{Z} $
Naturale $ \mathbb{N} $
Unu
Prime
Compuse
Zero
Negative
Fracţionare
Fracţie proprie
Fracţie improprie
Iraţionale
Algebrice iraţionale
Transcendente
Imaginare