Fandom

Math Wiki

Număr natural

1.029pages on
this wiki
Add New Page
Comments0 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Number Set.jpg

\mathbb{N} - mulţimea numerelor naturale

Teorema 1. Există o unică operaţie algebrică pe \mathbb N \! pe care o vom nota prin "+ \!" şi o vom numi adunarea numerelor naturale a.î. pentru orice m, n \in \mathbb N \! să avem:


  \mathbf{A_1}: \; 0+m=m  \!

  \mathbf{A_2}: \; s(n)+m=s(m+n).  \![1]


Demonstraţie. Să probăm la început unicitatea şi pentru aceasta să presupunem că mai există o operaţie algebrică \oplus \! pe \mathbb N \! ce verifică A_1 \! şi A_2. \!

Fie P = \{ n \in \mathbb N | \; n+m=n \oplus m, \; pentru \; orice \; m \in \mathbb N \} \subseteq \mathbb N.

Din A_1 \! deducem că 0 \in P \! iar din A_2 \! deducem că dacă n \in P, \! atunci:

s(n)+ m = s(n) \oplus m \; \; \Leftrightarrow \; \; s(n+m) = s (n \oplus m),

ceea ce este adevărat deoarece s este injectivă şi am presupus că n \in P. \! Deci P = \mathbb N, adică cele două operaţii coincid.


Considerăm un element m \in \mathbb N \! (pe care îl fixăm) şi tripletul (\mathbb N, m, s). \! Atunci există o unică funcţie f_m : \mathbb N \rightarrow \mathbb N \! a.î. f_m(0)=m şi s(f_m(n))= f_m(s(n)) pentru orice n \in \mathbb N. \! [2]


Pentru n \in \mathbb N \! definim n+m= f_m(n). \! Atunci 0+m=f_m(0)=m \! iar s(n)+m=f_m(s(n)) = s(f_m(n)) = s(n+m). \! QED.


Observaţie. Axiomele A_1 - A_2 \! poartă numele de axiomele adunării numerelor naturale.


Propoziţia 1. Pentru orice m,n \in \mathbb N \! avem:

  A_1^0: \; m+0=m

  A_2^0: \; n+s(m)=s(n+m).


Demonstraţie Fie P = \{ m \in \mathbb N : \; m+0=m  \} \subseteq \mathbb N. \! Dacă în A_1 \! facem pe m=0, \! deducem că 0+0=0, \! adică 0 \in P. Dacă m \in P, \! (adică m+0 = m \!), atunci s(m) + 0 = s(m+0) = s(m), \! adică s(m) \in P, \! deci P = \mathbb N. \! Analog se probează şi a doua relaţie. QED.


Propoziţia 2. Dubletul (\mathbb N, +) \! este monoid comutativ cu proprietatea de simplificare.


Demonstraţie. Din cele stabilite anterior, deducem că 0 \! este element neutru pentru adunarea numerelor naturale.

Pentru a proba comutativitatea adunării, să considerăm:

P= \{ n \in \mathbb N \; : \; n+m=m+n \; pentru \; orice \; m \in \mathbb N \} \subseteq \mathbb N. \!

Evident 0 \in P. \! Dacă n \in P, \! adică n+m=m+n \! pentru orice m \in \mathbb N, \! atunci s(n) + m = m+ s(n)  \; \Leftrightarrow \; s(n+m) = s(m+n)   \; \Leftrightarrow \; n+m=m+n, \! ceea ce este adevărat (deoarece s este injecţie). Deducem că P = \mathbb N, \! adică adunarea numerelor naturale este comutativă.


Pentru a demonstra asociativitatea adunării numerelor naturale, să considerăm:

P= \{ n \in \mathbb N \; : \; (n+m)+p=n+(m+p) \; pentru \; orice \; m, p \in \mathbb N \} \subseteq \mathbb N. \!

Evident, 0 \in P. \! Fie acum n \in P. \! Atunci (s(n) + m) + p = s(n+m) + p = s((n+m) +p) \! iar  s(n)+ (m+p) = s(n+(m+p)) \! şi cum (n+m) + p= n+(m+p) \! deducem că s(n) \in P, \! adică P = \mathbb N. \!

Pentru partea finală fie:

P = \{ p \in \mathbb N \; : \; daca \; m+p=n+p \; \Leftrightarrow \; m=n \} \subseteq \mathbb N.  \!

Evident 0 \in P \! şi să presupunem că p \in P. \! Atunci m+ s(p) = n+ s(p) \; \Leftrightarrow \; s(m+p) = s(n+p)  \; \Leftrightarrow \;  m+p=n+p   \; \Leftrightarrow \;  m=n \! (căci p \in P \!), adică s(p \in P) \! şi astfel din nou P = \mathbb N. \! QED.

Note Edit

  1. Prin s(n) \! am notat succesorul numărului natural n.
  2. Conform unei teoreme de la mulţimea numerelor naturale care susţine că dacă (\mathbf N, 0, s) \! este un triplet Peano iar (\mathbf N', 0', s') un alt triplet format dintr-o mulţime nevidă \mathbf N', \! un element 0' \in \mathbf N' \! şi o funcţie s' : \mathbf N' \rightarrow \mathbf N', \! atunci:
    (i) Există o unică funcţie f: \mathbf N \rightarrow \mathbf N' \! astfel încât f(0)= 0' \! iar f \circ s = s' \circ f. \!
    (ii) Dacă (\mathbf N', 0', s') \! este un triplet Peano, atunci f este bijecţie.

Resurse Edit

Vezi şi Edit


În alte limbi
* English


Numere
Complexe \mathbb{C}
Reale \mathbb{R}
Raţionale \mathbb{Q}
Întregi \mathbb{Z}
Naturale \mathbb{N}
Unu
Prime
Compuse
Zero
Negative
Fracţionare
Fracţie proprie
Fracţie improprie
Iraţionale
Algebrice iraţionale
Transcendente
Imaginare

Also on Fandom

Random Wiki