FANDOM


Number Set

$ \mathbb{N} $ - mulţimea numerelor naturale

Teorema 1. Există o unică operaţie algebrică pe $ \mathbb N \! $ pe care o vom nota prin "$ + \! $" şi o vom numi adunarea numerelor naturale a.î. pentru orice $ m, n \in \mathbb N \! $ să avem:


  $ \mathbf{A_1}: \; 0+m=m \! $

  $ \mathbf{A_2}: \; s(n)+m=s(m+n). \! $[1]


Demonstraţie. Să probăm la început unicitatea şi pentru aceasta să presupunem că mai există o operaţie algebrică $ \oplus \! $ pe $ \mathbb N \! $ ce verifică $ A_1 \! $ şi $ A_2. \! $

Fie $ P = \{ n \in \mathbb N | \; n+m=n \oplus m, \; pentru \; orice \; m \in \mathbb N \} \subseteq \mathbb N. $

Din $ A_1 \! $ deducem că $ 0 \in P \! $ iar din $ A_2 \! $ deducem că dacă $ n \in P, \! $ atunci:

$ s(n)+ m = s(n) \oplus m \; \; \Leftrightarrow \; \; s(n+m) = s (n \oplus m), $

ceea ce este adevărat deoarece s este injectivă şi am presupus că $ n \in P. \! $ Deci $ P = \mathbb N, $ adică cele două operaţii coincid.


Considerăm un element $ m \in \mathbb N \! $ (pe care îl fixăm) şi tripletul $ (\mathbb N, m, s). \! $ Atunci există o unică funcţie $ f_m : \mathbb N \rightarrow \mathbb N \! $ a.î. $ f_m(0)=m $ şi $ s(f_m(n))= f_m(s(n)) $ pentru orice $ n \in \mathbb N. \! $ [2]


Pentru $ n \in \mathbb N \! $ definim $ n+m= f_m(n). \! $ Atunci $ 0+m=f_m(0)=m \! $ iar $ s(n)+m=f_m(s(n)) = s(f_m(n)) = s(n+m). \! $ QED.


Observaţie. Axiomele $ A_1 - A_2 \! $ poartă numele de axiomele adunării numerelor naturale.


Propoziţia 1. Pentru orice $ m,n \in \mathbb N \! $ avem:

  $ A_1^0: \; m+0=m $

  $ A_2^0: \; n+s(m)=s(n+m). $


Demonstraţie Fie $ P = \{ m \in \mathbb N : \; m+0=m \} \subseteq \mathbb N. \! $ Dacă în $ A_1 \! $ facem pe $ m=0, \! $ deducem că $ 0+0=0, \! $ adică $ 0 \in P. $ Dacă $ m \in P, \! $ (adică $ m+0 = m \! $), atunci $ s(m) + 0 = s(m+0) = s(m), \! $ adică $ s(m) \in P, \! $ deci $ P = \mathbb N. \! $ Analog se probează şi a doua relaţie. QED.


Propoziţia 2. Dubletul $ (\mathbb N, +) \! $ este monoid comutativ cu proprietatea de simplificare.


Demonstraţie. Din cele stabilite anterior, deducem că $ 0 \! $ este element neutru pentru adunarea numerelor naturale.

Pentru a proba comutativitatea adunării, să considerăm:

$ P= \{ n \in \mathbb N \; : \; n+m=m+n \; pentru \; orice \; m \in \mathbb N \} \subseteq \mathbb N. \! $

Evident $ 0 \in P. \! $ Dacă $ n \in P, \! $ adică $ n+m=m+n \! $ pentru orice $ m \in \mathbb N, \! $ atunci $ s(n) + m = m+ s(n) \; \Leftrightarrow \; s(n+m) = s(m+n) \; \Leftrightarrow \; n+m=m+n, \! $ ceea ce este adevărat (deoarece s este injecţie). Deducem că $ P = \mathbb N, \! $ adică adunarea numerelor naturale este comutativă.


Pentru a demonstra asociativitatea adunării numerelor naturale, să considerăm:

$ P= \{ n \in \mathbb N \; : \; (n+m)+p=n+(m+p) \; pentru \; orice \; m, p \in \mathbb N \} \subseteq \mathbb N. \! $

Evident, $ 0 \in P. \! $ Fie acum $ n \in P. \! $ Atunci $ (s(n) + m) + p = s(n+m) + p = s((n+m) +p) \! $ iar $ s(n)+ (m+p) = s(n+(m+p)) \! $ şi cum $ (n+m) + p= n+(m+p) \! $ deducem că $ s(n) \in P, \! $ adică $ P = \mathbb N. \! $

Pentru partea finală fie:

$ P = \{ p \in \mathbb N \; : \; daca \; m+p=n+p \; \Leftrightarrow \; m=n \} \subseteq \mathbb N. \! $

Evident $ 0 \in P \! $ şi să presupunem că $ p \in P. \! $ Atunci $ m+ s(p) = n+ s(p) \; \Leftrightarrow \; s(m+p) = s(n+p) \; \Leftrightarrow \; m+p=n+p \; \Leftrightarrow \; m=n \! $ (căci $ p \in P \! $), adică $ s(p \in P) \! $ şi astfel din nou $ P = \mathbb N. \! $ QED.

Note Edit

  1. Prin $ s(n) \! $ am notat succesorul numărului natural n.
  2. Conform unei teoreme de la mulţimea numerelor naturale care susţine că dacă $ (\mathbf N, 0, s) \! $ este un triplet Peano iar $ (\mathbf N', 0', s') $ un alt triplet format dintr-o mulţime nevidă $ \mathbf N', \! $ un element $ 0' \in \mathbf N' \! $ şi o funcţie $ s' : \mathbf N' \rightarrow \mathbf N', \! $ atunci:
    (i) Există o unică funcţie $ f: \mathbf N \rightarrow \mathbf N' \! $ astfel încât $ f(0)= 0' \! $ iar $ f \circ s = s' \circ f. \! $
    (ii) Dacă $ (\mathbf N', 0', s') \! $ este un triplet Peano, atunci f este bijecţie.

Resurse Edit

Vezi şi Edit


În alte limbi
* English


Numere
Complexe $ \mathbb{C} $
Reale $ \mathbb{R} $
Raţionale $ \mathbb{Q} $
Întregi $ \mathbb{Z} $
Naturale $ \mathbb{N} $
Unu
Prime
Compuse
Zero
Negative
Fracţionare
Fracţie proprie
Fracţie improprie
Iraţionale
Algebrice iraţionale
Transcendente
Imaginare