Fandom

Math Wiki

Număr complex

1.029pages on
this wiki
Add New Page
Comments0 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Notiuni introductive despre numere complexe 1.png Notiuni introductive despre numere complexe 2.png Notiuni introductive despre numere complexe 3.png Notiuni introductive despre numere complexe 4.png


Ecuaţia

2+x=1 \!

nu admite soluţie în mulţimea numerelor naturale.

\mathbb N = \{ 0, 1, 2, 3, \cdots  \} \!

dar admite soluţia x= -1 \! în mulţimea numerelor întregi

\mathbb Z = \{ \cdots, -2, -1, 0, 1, 2, \cdots \} \!

care este o extensie a lui \mathbb N \! obţinută prin adăugare întregilor negativi -1, -2, -3, \cdots \!

Ecuaţia

2x=1 \!

nu admite soluţie în \mathbb Z \! dar admite soluţie în mulţimea numerelor raţionale:

\mathbb Q = \left \{ \frac n k | \; n \in \mathbb Z, \; k \in \{ 1, 2, 3, \cdots \} \right \} \!

formată din clase de fracţii echivalente:

\frac n k \sim \frac {n'}{k'} \! dacă nk' = n'k. \!

Soluţia ecuaţiei considerate este numărul raţional care se poate reprezenta folosind oricare dintre fracţiile echivalente:

\frac 1 2 \sim \frac 2 4 \sim \frac 3 6 \sim \frac 4 8 \sim \cdots \!


Fiecare număr întreg n se identifică cu numărul raţional pentru care fracţia \frac n 1 \! este reprezentant. Mulţimea numerelor raţionale devine în acest caz o extensie a mulţimii numerelor întregi \mathbb Z. \! În afară de reprezentarea sub formă de fracţie, pentru fiecare număr raţional se utilizează reprezentarea sub formă de fracţie zecimală obţinută prin efectuarea împărţirii numărătorului la numitor. De exemplu,

\frac 1 2 = 0,5000 \cdots = 0,5 \; \; \frac 2 3 = 0, 666 \cdots \; \; \frac {2}{15} = 0, 1333 \cdots = 0, 1(3). \!

Deoarece în cazul numărului \frac n k \! pe parcursul efectuării împărţirii lui n la k singurele resturi posibile sunt 0, 1, \cdots , k-1 \! rezultă că în cazul reprezentării unui număr raţional sub formă de fracţie zecimală pot apărea doar fracţiile zecimale finite, cele periodice şi cele periodice mixte, Se poate constata că, de exemplu, fracţiile 0,5 şi 0,4(9) reprezintă acelaşi număr raţional:

0,4(9)= \frac {49 -4}{90} = \frac 1 2 = 0, 5. \!

Pentru ca reprezentarea numerelor raţionale sub formă de fracţie zecimală să fie unică este suficient să eliminăm fracţiile zecimale cu perioada 9. Ecuaţia:

x^2=2 \!

nu admite soluţie în \mathbb Q \! dar admite soluţiile x= \pm \sqrt 2 \! în mulţimea numerelor reale.

\mathbb R = \left \{n, a_1a_2a_3 \cdots  | n \in \mathbb Z \; si \; nu \; exista \; k \; astfel \; incat \; a_j=9  \; oricare \; ar \; fi \; j \ge k  \right \} \!


care este o extindere a mulţimi numerelor raţionale. Se ştie că în cazul \Delta = b^2 - 4ac \ge 0 \! ecuaţia de gradul al doilea (a \neq 0 \!)

ax^2+bx+c=0 \!

admite sloluţiile reale

x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt {\Delta}}{2a} \!

şi că în cazul \Delta b^2-4ac <0 \! ecuaţia considerată nu admite rădăcini reale.

Admiţând că în afară de numerele reale există un "număr imaginar" i astfel încât

i^2=-1 \!

ecuaţia considerată admite în cazul \Delta = b^2-4ac <0 \! soluţiile

x_{1, 2} = \frac {-b \pm \sqrt{- \Delta}}{2a} \!


aparţinând mulţimii numerelor complexe:

\mathbb C= \mathbb R + \mathbb Ri = \{ z=x+yi | \; x, y \in \mathbb R  \}. \!

Mulţimea \mathbb C \! reprezintă o extindere a mulţimii numerlor reale \mathbb R, \! fiecare număr real x putând fi identificat în mod natural cu numărul complex x+0 i. \! Avem astfel relaţia

\mathbb N \subset \mathbb Z \subset \mathbb Q \subset \mathbb R \subset \mathbb C.  \!

Mulţimea numerelor complexe \mathbb C \! considerată împreună cu operaţiile de adunare a numerelor complexe

(x+yi) + (x' + y'i) = (x+x') + (y+y')i \!

şi de înmulţire cu un un număr real

\alpha (x+yi) = \alpha x + \alpha yi \!

este un spaţiu vectorial de dimensiune 2. Scrierea unui număr complex sub forma z= x+yi \! reprezintă dezvoltarea lui în raport cu baza \{1, i \}. \! Aplicaţia

\mathbb R^2 \longrightarrow \mathbb C : \; (x, y) \mapsto x+yi \!

este un izomorfism care permite identificarea celor două spaţii vectoriale. Relaţia i^2=-1 \! permite definirea unei operaţii suplimentare pe \mathbb C, \! fără analog în \mathbb R^2 \!

(x+yi)(x'+y'i) = (xx' - yy') + (xy' + yx') i. \!

numită înmulţirea numerelor complexe. Mulţimea \mathbb C \! considerată împreună cu operaţiile de adunare şi înmulţire a numerelor complexe este un corp comutativ. În particular, fiecare număr complex nenul admite un invers:

(x+yi)^{-1} = \frac {1}{x+yi} = \frac {x-yi}{x+yi} = 
\frac {x}{x^2+y^2} - \frac {y}{x^2+y^2}i. \!


Definiţia 1. Fie z= x+yi \! un număr complex.

Numărul \mathfrak {Re}z = x \! se numeşte parte reală a lui z.

Numărul \mathfrak {Im}z = x \! se numeşte parte imaginară a lui z.

Numărul \overline z = x-yi \! se numeşte conjugatul lui z.

Numărul |z| = \sqrt {x^2+y^2} \! se numeşte modulul lui z.


Propoziţia 1. Relaţiile

\overline {z_1 \pm z_2} = \overline z_1 \pm \overline z_2 \;\; \overline {z_1 z_2} = \overline z_1 \overline z_2  \; \; \overline {(z^n)} = (\overline z)^n \!
|\overline z| = |z| \; \; |z|^2 = z \overline z \; \; \overline {(\overline z)} =z \!
 \mathfrak {Re} z = \frac {z+ \overline z}{2} \; \; \mathfrak {Im} z = \frac {z- \overline z}{2i} \; \; z= \mathfrak {Re} z + \mathfrak {Im} z \; i. \!

au loc oricare ar fi numerele complexe z_1, z_2 \! şi z. \!


Demonstraţie. Relaţiile rezultă direct din definiţia anterioară.


Propoziţia 2. Oricare ar fi numărul complex z=x+yi \! avem

\left. \begin{matrix} |x| \\ \\ |y| \end{matrix} \right \} \le |x+yi| \le |x| + |y| \!

adică

\left. \begin{matrix} |\mathfrak {Re}z| \\ \\ |\mathfrak{Im}z| \end{matrix} \right \} \le |z| \le |\mathfrak {Re}z| + |\mathfrak{Im}z|. \!

Demonstraţie. Avem

|x+yi| = \sqrt{x^2+y^2} =\ge \sqrt {x^2} = |x| \!
|x+yi| =  \sqrt{x^2+y^2} =\ge \sqrt {y^2} = |y| \!

iar relaţia

\sqrt{x^2 + y^2} \le |x|+|y| \!

este echivalentă cu relaţia evident adevărată

x^2+y^2 \le (|x|+ |y|)^2 \!

QED.


Propoziţia 3 Aplicaţia modul

|\;| \; : \mathbb C \longrightarrow \mathbb R, \; |z|=|x+yi|=\sqrt {x^2+y^2} \!

este o normă pe spaţiul vectorial real \mathbb C, \! iar

\mathbf d : \mathbb C \times \mathbb C \longrightarrow \mathbb R, \; \mathbf d (z_1, z_2) = |z_1-z_2|= \sqrt {(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2} \!

este distanţa asociată.

Demonstraţie. Oricare ar fi numărul complex x+y \! avem

|z|= \sqrt {x^2+y^2} \ge 0 \!

şi

|z|=0 \; \Leftrightarrow \; z=0. \!

Dacă \alpha \! este un număr real atunci:

|\alpha z| = |(\alpha x)+(\alpha y)i| = \sqrt {(\alpha x)^2 + (\alpha y)^2} = \sqrt {\alpha^2 (x^2+y^2)}= |\alpha | |z|.  \!


Oricare ar fi numerele z_1=x_1+y_1i \! şi z_2=x_2+y_2i \! avem relaţia:

|z_1+z_2|^2 = (z_1+z_2) (\overline z_1 + \overline z_2) = |z_1|^2 + |z_2|^2 + z_1 \overline z_2 + \overline z_1 z_2 = \!
= |z_1|^2 +|z_2|^2 + 2 \mathfrak{Re}(z_1 \overline z_2) \le |z_1|^2+ |z_2|^2 + 2 |\mathfrak{Re} (z_1 \overline z_2)| \le \!
 \le |z_1|^2 +|z_2|^2 + 2 |z_1 \overline z_2| = (|z_1|+|z_2|)^2 \!

din care rezultă că

|z_1+z_2| \le |z_1| + |z_2|. \!

QED.


Observaţia 1. Dacă considerăm \mathbb R^2 \! înzestrat cu norma uzuală

\| \; \| : \mathbb R^2 \longrightarrow \mathbb R, \; \| (x, y) \| = \sqrt {x^2+y^2} \!

atunci

\|(x, y) \| = \sqrt{x^2+y^2} = |x+yi| \!

ceea ce arată că aplicaţia liniară

\mathbb R^2 \longrightarrow \mathbb C \; : \;  (x, y) \mapsto x+yi \!

este un izomorfism de spaţii vectoriale normate care permite identificarea spaţiilor normate (\mathbb R^2, \| \|) \! şi (\mathbb C, \| \|). \! Dacă se are în vedere doar structura de spaţiu vectorial normat, spaţiile (\mathbb R^2, \| \|) \! şi (\mathbb C, \| \|) \! diferă doar prin notaţiile utilizate. Distanţa

\mathbf d(z_1, z_2) = |z_1-z_2| = \sqrt {(x_1-x_2)^2 + (y_1-y_2)^2} \!

dintre două numere z_1=x_1+y_1i \! şi z_2=x_2+y_2i \! în planul complex corespunde distanţei dintre punctele corespunzătoare din planul euclidian:

\mathbf d((x_1, y_1), (x_2, y_2)) = \sqrt {(x_1-x_2)^2 + (y_1-y_2)^2}. \!


Observaţia 2.

|z_1-z_2| = \! distanţa în planul complex între z_1 \! şi z_2. \!
|z|= |z-0| = \! distanţa în planul complex între z_1 \! şi origine.

Fie a \in \mathbb C \! fixat şi r \in (0, \infty). \! Mulţimea

\mathbf B_r(a)= \{ z \; | \; |z-a| <r \} \!

se numeşte discul (deschis) de centru a şi rază r. \!


Definiţia 5. Spunem că o mulţime M \subset \mathbb C \! este mărginită dacă există a \in \mathbb C \! şi r \in (0, \infty) \! astfel încât M \subseteq \mathbf B_r(a). \!


Exerciţiul 1. Mulţimea M este mărginită dacă şi numai dacă există r \in (0, \infty) \! astfel încât |z| \le r,  \! oricare ar fi z \in M. \!


Definiţia 6. O mulţime D \subseteq \mathbb C \! este numită mulţime deschisă dacă oricare ar fi a \in D \! există r \in (0, \infty) \! astfel încât \mathbf B_r (a) \subset D. \! Spunem despre o mulţime F \subseteq \mathbb C \! că este închisă dacă mulţimea \mathbb C \setminus F \! este deschisă.


Numar complex 8.png

Numar complex 9.png

Numar complex 10.png

Numar complex 11.png



Un număr complex poate fi scris sub formă polară:

x + y i = \rho (\cos \theta + i \sin \theta) \!

sau sub formă exponenţială:

x + y i = \rho e^{i \theta} \!

Vezi şi Edit

Resurse Edit

Numere
Complexe \mathbb{C}
Reale \mathbb{R}
Raţionale \mathbb{Q}
Întregi \mathbb{Z}
Naturale \mathbb{N}
Unu
Prime
Compuse
Zero
Negative
Fracţionare
Fracţie proprie
Fracţie improprie
Iraţionale
Algebrice iraţionale
Transcendente
Imaginare
WikipediaRom.png
Vezi şi articolul Număr complex de la Wikipedia
În alte limbi
* English

Also on Fandom

Random Wiki