FANDOM


Definiţia 1. Fie $ f, g : A \rightarrow B \! $ o pereche de funcții. O pereche $ (K, i) \! $ formată dintr-o mulțime K şi o funcţie $ i: K \rightarrow A \! $ se numeşte nucleul perechii $ (f, g) \! $ dacă sunt verificate următoarele două condiţii:

(i) $ f \circ i = g \circ i; \! $

(ii) Pentru oricare alt dublet $ (K', i') \! $ cu K' mulţime şi $ i' : K' \rightarrow A \! $ a.î. $ f \circ i' = g \circ i' \! $ există o unică funcţie $ u: K' \rightarrow K \! $ a.î. $ i \circ u = i'. \! $


Teorema 1. Pentru orice pereche de funcţii $ f, g : A \rightarrow B \! $ există un nucleu al perechii $ (f, g) \! $ unic până la o bijecţie (unicitatea înseamnă că dacă $ (K, i) \! $ şi $ (K', i') \! $ sunt două nuclee pentru perechea $ (f, g) \! $ atunci există o bijecţie $ u:K \rightarrow K' \! $ a.î. $ i' \circ u=i. \! $).


Demonstraţie. Să probăm la început existenţa nucleului şi pentru aceasta fie $ K = \{ x \in A | \; f(x) =g(x) \} \! $ iar $ i: K \rightarrow A \! $ incluziunea (K putând fi chiar $ \varnothing \! $)

În mod evident $ f \circ i = g \circ i. \! $ Fie acum $ (K', i') \! $ cu $ i': K' \rightarrow A \! $ a.î. $ f \circ i'= g \circ i. \! $ Pentru $ a \in K' , \! $ cum $ f(i'(a)) =g (i'(a)) \! $ deducem că $ i'(a) \in K. \! $ Definim atunci $ u: K' \rightarrow K \! $ prin $ u(a) = i'(a), \! $ pentru orice $ a \in K' \! $ şi este clar că $ i \circ u = i'. \! $

Dacă $ u': K' \rightarrow K \! $ este o altă funcţie a.î. $ i \circ u' = i', \! $ atunci pentru $ a \in K' \! $ avem $ i(u'(a)) = u(a), \! $ de unde $ u'(a) = i'(a) = u(a), \! $ adică $ u=u'. \! $

Să probăm acum unicitatea nucleului iar pentru acesta fie $ (K, i) \! $ şi $ (K', i') \! $ două nuclee pentru perechea $ (f, g). \! $


Teoria multimilor 33

Teoria multimilor 34