Fandom

Math Wiki

Nucleul unei perechi de funcții

1.029pages on
this wiki
Add New Page
Comments0 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Definiţia 1. Fie f, g : A \rightarrow B \! o pereche de funcții. O pereche (K, i) \! formată dintr-o mulțime K şi o funcţie i: K \rightarrow A \! se numeşte nucleul perechii (f, g) \! dacă sunt verificate următoarele două condiţii:

(i) f \circ i = g \circ i; \!

(ii) Pentru oricare alt dublet (K', i') \! cu K' mulţime şi i' : K' \rightarrow A \! a.î. f \circ i' = g \circ i' \! există o unică funcţie u: K' \rightarrow K \! a.î. i \circ u = i'. \!


Teorema 1. Pentru orice pereche de funcţii f, g : A \rightarrow B \! există un nucleu al perechii (f, g) \! unic până la o bijecţie (unicitatea înseamnă că dacă (K, i) \! şi (K', i') \! sunt două nuclee pentru perechea (f, g) \! atunci există o bijecţie u:K \rightarrow K' \! a.î. i' \circ u=i. \!).


Demonstraţie. Să probăm la început existenţa nucleului şi pentru aceasta fie K = \{ x \in A | \; f(x) =g(x) \} \! iar i: K \rightarrow A \! incluziunea (K putând fi chiar \varnothing \!)

În mod evident f \circ i = g \circ i. \! Fie acum (K', i') \! cu i': K' \rightarrow A \! a.î. f \circ i'= g \circ i. \! Pentru a \in K' , \! cum f(i'(a)) =g (i'(a)) \! deducem că i'(a) \in K. \! Definim atunci u: K' \rightarrow K \! prin u(a) = i'(a), \! pentru orice a \in K' \! şi este clar că i \circ u = i'. \!

Dacă u': K' \rightarrow K \! este o altă funcţie a.î. i \circ u' = i', \! atunci pentru a \in K' \! avem i(u'(a)) = u(a), \! de unde u'(a) = i'(a) = u(a), \! adică u=u'. \!

Să probăm acum unicitatea nucleului iar pentru acesta fie (K, i) \! şi (K', i') \! două nuclee pentru perechea (f, g). \!


Teoria multimilor 33.png

Teoria multimilor 34.png

Also on Fandom

Random Wiki