Fandom

Math Wiki

Mulțime ordonată

1.029pages on
this wiki
Add New Page
Comments0 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Definiţia 1. O mulțime A împreună cu o relație de ordine parţială în A formează un sistem parţial ordonat şi se notează cu (A, \mathcal R). \! Mulţimea se va numi mulţime parţial ordonată sau pe scurt, mulţime ordonată.


Definiţia 2. O mulţime A împreună cu o relaţie de ordine totală în A se numeşte sistem total ordonat şi se notează tot cu (A, \mathcal R). \!


Mulţimea numerelor reale împreună cu relaţia \mathcal R = \{ (x, y) \in \mathbb R^1 \times \mathbb R^1  \; | \; x-y \le 0 \} \! este un sistem total ordonat.


Definiţia 3. Fie (A, \mathcal R). \! un sistem parţial ordonat şi A' \! o submulţime a lui A: A' \subset A. \! Un element a \in A \! este majorant pentru mulţimea A' \! dacă verifică a' \mathcal R a \! oricare ar fi a' \in A'. \! Un majorant a^* \! pentru A' \! este margine superioară a lui A' \! dacă a^* \! verifică a^* \mathcal R a \! pentru orice majorant a al lui A' .\! Marginea superioară a lui A' \! dacă există se notează cu \sup A'. \!


Definiţia 4. Fie (A, \mathcal R) \! un sistem parţial ordonat şi A' \! o submulţime a lui A: A' \subset A. \! Un element a \in A \! este minorant pentru mulţimea A' \! dacă verifică a \mathcal R a' \! pentru orice a' \in A'. \! Un minorant a_* \! pentru A' \! este margine inferioară pentru A' \! dacă a_* \! verifică a \mathcal R a_* \! pentru orice minorant a al lui A'. \! Marginea inferioară a lui A' \! dacă există se notează cu \inf A'. \!


Definiţia 5. Fie (A, \mathcal R) \! un sistem parţial ordonat. Un element a \in A \! este maximal dacă pentru orice a' \in A \! cu proprietatea a \mathcal R a' \! rezultă a' \mathcal R a. \!


Observaţie: Familia \mathcal P(X) \! a părţilor unei mulţimi X cu relaţia de incluziune \mathcal R =  \!" \subset \!" este un exemplu bun pentru ilustrarea acestor concepte. Sistemul parţial ordonat este (\mathcal P(X); \subset). \! O margine superioară a unei mulţimi \mathcal B \subset \mathcal P(X) \! este orice submulţime a mulţimii X care conţine mulţimea \bigcup_{B \in \mathcal B} B \! iar mulţimea \bigcup_{B \in \mathcal B} B \! este marginea superioară a mulţimii \mathcal B. \! Analog, mulţimea \bigcap_{B \in \mathcal B} B \! este marginea inferioară a mulţimii \mathcal B. \! Singurul element maximal în mulţimea \mathcal P(X) \! este mulţimea X.

Vezi şi Edit

Also on Fandom

Random Wiki