FANDOM


Definiţia 1. O mulțime A împreună cu o relație de ordine parţială în A formează un sistem parţial ordonat şi se notează cu $ (A, \mathcal R). \! $ Mulţimea se va numi mulţime parţial ordonată sau pe scurt, mulţime ordonată.


Definiţia 2. O mulţime A împreună cu o relaţie de ordine totală în A se numeşte sistem total ordonat şi se notează tot cu $ (A, \mathcal R). \! $


Mulţimea numerelor reale împreună cu relaţia $ \mathcal R = \{ (x, y) \in \mathbb R^1 \times \mathbb R^1 \; | \; x-y \le 0 \} \! $ este un sistem total ordonat.


Definiţia 3. Fie $ (A, \mathcal R). \! $ un sistem parţial ordonat şi $ A' \! $ o submulţime a lui A: $ A' \subset A. \! $ Un element $ a \in A \! $ este majorant pentru mulţimea $ A' \! $ dacă verifică $ a' \mathcal R a \! $ oricare ar fi $ a' \in A'. \! $ Un majorant $ a^* \! $ pentru $ A' \! $ este margine superioară a lui $ A' \! $ dacă $ a^* \! $ verifică $ a^* \mathcal R a \! $ pentru orice majorant a al lui $ A' .\! $ Marginea superioară a lui $ A' \! $ dacă există se notează cu $ \sup A'. \! $


Definiţia 4. Fie $ (A, \mathcal R) \! $ un sistem parţial ordonat şi $ A' \! $ o submulţime a lui A: $ A' \subset A. \! $ Un element $ a \in A \! $ este minorant pentru mulţimea $ A' \! $ dacă verifică $ a \mathcal R a' \! $ pentru orice $ a' \in A'. \! $ Un minorant $ a_* \! $ pentru $ A' \! $ este margine inferioară pentru $ A' \! $ dacă $ a_* \! $ verifică $ a \mathcal R a_* \! $ pentru orice minorant a al lui $ A'. \! $ Marginea inferioară a lui $ A' \! $ dacă există se notează cu $ \inf A'. \! $


Definiţia 5. Fie $ (A, \mathcal R) \! $ un sistem parţial ordonat. Un element $ a \in A \! $ este maximal dacă pentru orice $ a' \in A \! $ cu proprietatea $ a \mathcal R a' \! $ rezultă $ a' \mathcal R a. \! $


Observaţie: Familia $ \mathcal P(X) \! $ a părţilor unei mulţimi X cu relaţia de incluziune $ \mathcal R = \! $"$ \subset \! $" este un exemplu bun pentru ilustrarea acestor concepte. Sistemul parţial ordonat este $ (\mathcal P(X); \subset). \! $ O margine superioară a unei mulţimi $ \mathcal B \subset \mathcal P(X) \! $ este orice submulţime a mulţimii X care conţine mulţimea $ \bigcup_{B \in \mathcal B} B \! $ iar mulţimea $ \bigcup_{B \in \mathcal B} B \! $ este marginea superioară a mulţimii $ \mathcal B. \! $ Analog, mulţimea $ \bigcap_{B \in \mathcal B} B \! $ este marginea inferioară a mulţimii $ \mathcal B. \! $ Singurul element maximal în mulţimea $ \mathcal P(X) \! $ este mulţimea X.

Vezi şi Edit