Fandom

Math Wiki

Mulțime

1.029pages on
this wiki
Add New Page
Comments0 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Proprietati ale multimilor 1.png Proprietati ale multimilor 2.png


Conceptul de mulţime este unul de bază în matematică. Toate obiectele matematice se reduc în ultimă instanţă la acest concept.

Dacă x este element al mulţimii A spunem că x aparţine lui A şi notăm x \in A \ \! x \notin A înseamnă că x nu aparţine lui A.


Primul matematician care a iniţiat studiul sistematic al mulţimilor a fost Georg Cantor (teoria naivă a mulţimilor).


Definiţia 1. Dacă A şi B sunt două mulţimi, vom spune că A este inclusă în B (sau că A este submulţime a lui B) dacă elementele lui A sunt şi elemente ale lui B; în acest caz vom scrie A \subseteq B \! iar în caz contrar A \not \subseteq B. \!


Avem deci

A \subseteq B \Leftrightarrow \! pentru orice x \in A \Rightarrow x \in B. \!
A \not \subseteq B \Leftrightarrow \! există x \in A \! a.î. x \notin B. \!

Vom spune despre mulţimile A şi B că sunt egale dacă oricare ar fi x, x \in A \Leftrightarrow x \in B. \! Deci, A=B \Leftrightarrow A \subseteq B \! şi B \subseteq A. \!

Vom spune că A este inclusă strict în B şi vom scrie A \subset B \! dacă A \subseteq B \! şi A \neq B. \!

Se acceptă existenţa unei mulţimi ce nu conţine niciun element care se notează prin \varnothing \! şi poartă numele de mulţimea vidă. Se observă că pentru orice mulţime A, \varnothing \subseteq A \! (deoarece în caz contrar ar trebui să existe x \in \varnothing \! a.î. x \notin A \! - absurd!)

O mulţime diferită de mulţimea vidă se zice nevidă. Pentru o mulţime T, vom nota prin \mathcal P(T) \! mulţimea submulţimilor sale (evident \varnothing, T \in \mathcal P(T) \!).


Următorul rezultat este imediat:

Dacă T este o mulţime oarecare iar A, B, C \in \mathcal P(T), \! atunci:

(i) A \subseteq A \!

(ii) Dacă A \subseteq B \! şi B \subseteq A, \! atunci A=B \!

(iii) Dacă A \subseteq B \! şi B \subseteq C, \! atunci A \subseteq C. \!


În continuare vom utiliza deseori noţiunea de familie de elemente a unei mulţimi indexată de o mulţime nevidă de indici I (prin aceasta înţelegând o funcţie definită pe mulţimea I cu valori în mulţimea respectivă).

Astfel, vom scrie de exemplu (x_i)_{i \in I} \! pentru a desemna o familie de elemente ale unei mulţimi sau (A_i)_{i \in I} \! pentru a desemna o familie de mulţimi indexată de mulţimea I. Pentru o mulţime T şi A, B \in \mathcal P(T) \! definim:

A \cap B = \{ x \in T \; | \; x \in A \! şi x \in B \} \!
A \cup B = \{ x \in T \; | \; x \in A \! sau x \in B \} \!
A \setminus B = \{ x \in T \; | \; x \in A \! şi x \notin B \} \!
A \triangle B = (A \setminus B) \cup (B \setminus A) \!

Dacă A \cap B = \varnothing, \! mulţimile A şi B se zic disjuncte.

Operaţiile \cap, \cup, \setminus \! şi \triangle \! poartă numele de intersecţie, reuniune, diferenţă şi diferenţă simetrică.

În particular, T \setminus A \! se notează prin \complement_T (A) \! (sau \complement (A) \! dacă nu este pericol de confuzie) şi poartă numele de complementara lui A în T.

În mod evident, pentru A, B \in \mathcal P(T) \! avem:

A \setminus B = A \cap \complement_T (B) \!
A \triangle B = (A \cup B) \setminus (A \cap B) = (A \cap \complement_T (B)) \cup (\complement_T (A) \cap B) \!
\complement _T (\varnothing)= T, \; \complement_T (T) = \varnothing \!
 \!

A \cup \complement_T(A) = T, \; A \cap \complement_T (A) = \varnothing \! iar \complement_T (\complement_T (A)) = A. \!

De asemenea, pentru x \in T \! avem:

x \notin A \cap B \Leftrightarrow x \notin A \! sau x \notin B \!
x \notin A \cup B \Leftrightarrow x \notin A \! şi x \notin B \!
x \notin A \setminus B \Leftrightarrow x \notin A \! sau x \in B \!
x \notin A \triangle B \Leftrightarrow (x \notin A \; si \; x \notin B) \; sau \; (x \in A \; si \; x \in B) \!
x \notin \complement_T (A) \Leftrightarrow x \in A. \!


Din cele de mai înainte deducem imediat că dacă A, B \in \mathcal P(T), \! atunci:

\complement_T(A \cap B) = \complement_T(A) \cup \complement_T(B) \!
\complement_T(A \cup B) = \complement_T(A) \cap \complement_T(B) \!

Aceste două ultime egalităţi sunt cunoscute sub numele de relaţiile lui De Morgan.

Pentru o familie nevidă (A_i)_{i \in I} \! de submulţimi ale lui T definim:

\bigcap_{i \in I} A_i = \{ x \in T \; | \; x \in A \; pentru \; orice \; i \in I \} \!

şi

\bigcup_{i \in I} A_i = \{ x \in T \; | \; exista \; i \in I \! a.î.  x \in A_i \}. \!

Astfel relaţiile lui De Morgan sunt adevărate într-un context mai general:

Dacă (A_i)_{i \in I} \! este o familie de submulţimi ale mulţimii T, atunci:

\complement_T(\bigcap_{i \in I} A_i) = \bigcup_{i \in I} (A_i) \!
\complement_T(\bigcup_{i \in I} A_i) = \bigcap_{i \in I} (A_i). \!


Următorul rezultat este imediat

Propoziţia 2. Dacă T este o mulţime, iar A, B, C \in \mathcal (T), \! atunci:

(i) A \cap (B \cap C) = (A \cap B) \cap C \! şi A \cup (B \cup C)  = (A \cup B) \cup C \!

(ii) A \cap B = B \cap A \! şi A \cup B = B \cup A \!

(iii) A \cap T = A \! şi A \cup \varnothing = A \!

(iv) A \cap A = A \! şi A \cup A=A. \!


Observaţia 1. 1. Din (i) deducem că operaţiile \cup \! şi \cap \! sunt asociative, din (ii) deducem că ambele sunt comutative, din (iii) deducem că T şi \varnothing \! sunt elementele neutre pentru \cap \! şi respectiv pentru \cup \!, iar din (iv) deducem că \cap \! şi \cup \! sunt operaţii idempotente pe \mathcal P(T). \!

2. Prin dublă incluziune se probează imediat că pentru oricare A, B, C \in \mathcal P(T) \! avem:

A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C) \!

şi

A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C) \!,

adică operaţiile de intersecţie şi reuniune sunt distributive una faţă de cealaltă.


Propoziţia 3. Dacă A, B, C \in \mathcal P(T), \! atunci:

(i) A \triangle (B \triangle C) = (A \triangle B) \triangle C  \!

(ii) A \triangle B = B \triangle A \!

(iii) A \triangle \varnothing =A \! iar A \triangle A =\varnothing \!

(iv) A \cap (B \triangle C) = (A \cap B) \triangle (A \cap C). \!

Demonstraţie. (i). Prin dublă incluziune se arată imediat că:

A \triangle (B \triangle C)= (A \triangle B) \triangle C= [A \cap \complement_T (B) \cap \complement_T (C)] \cup \!
\cup [\complement_T (A) \cap B \cap \complement_T (C)] \cup [\complement_T (A) \cap \complement_T (B) \cap C] \cup (A \cap B \cap C). \!

(ii), (iii) sunt evidente.

(iv). Se probează fie prin dublă incluziune, fie ţinând cont de distributivitatea intersecţiei faţă de reuniune. QED.


Definiţia 2. Fiind date două obiecte x şi y, se numeşte pereche ordonată a obiectelor x şi y mulţimea notată (x, y) \! şi definită astfel:

(x, y) = \{ \{ x \} , \{ x, y \} \}. \!

Se verifică acum imediat că dacă x şi y sunt două obiecte a.î. x \neq y, \! atunci (x, y) \neq (y, x) \! iar dacă (x, y) \! şi (u, v) \! sunt două perechi ordonate, atunci (x, y) = (u, v) \; \Leftrightarrow \; x=u \! şi y=v; \! în particular, (x, y) = (y, x) \; \Rightarrow \; x=y. \!


Definiţia 3. Dacă A şi B sunt două mulţimi, mulţimea notată A \times B = \{ (a, b) \; | \; a \in A \! şi b \in B \} \! se va numi produsul cartezian al mulţimilor A şi B.

În mod evident:

A \times B \neq \varnothing  \; \Leftrightarrow \; A \neq \varnothing \! şi B \neq \varnothing \!
A \times B = \varnothing  \; \Leftrightarrow \; A = \varnothing \! sau B = \varnothing \!
A \times B = B \times A \; \Leftrightarrow \; A=B \!
A' \subseteq A \! şi  B' \subseteq B \; \Rightarrow \; A' \times B' \subseteq A \times B. \!


Dacă A, B, C sunt trei mulţimi, vom defini produsul lor cartezian prin egalitatea: A \times B \times C = (A \times B) \times C. \! Elementul ((a, b), c) \! din A \times B \times C \! îl vom nota mai simplu prin (a, b, c). \!

Mai general, dacă A_1, A_2, \cdots , A_n \; (n \ge 3) \! sunt mulţimi, punem:

A_1 \times A_2 \times \cdots \times A_n = (( \cdots (( A_1 \times A_2 ) \times A_3 ) \times \cdots ) \times A_n ). \!


Dacă A este o mulţime finită, vom nota prin |A| \! numărul de elemente ale lui A. În mod evident, dacă A şi B sunt submulţimi finite ale unei mulţimi M, atunci şi A \cup B \! este o submulţime finită a lui M iar

|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|. \!


Vom prezenta în continuare un rezultat mai general cunoscut sub numele de principiul includerii şi al excluderii:

Propoziţia 4. Fie M o mulţime finită iar M_1, M_2, \cdots , M_n \! submulţimi ale lui M. Atunci:

\left | \bigcup_{i=1}^n M_i  \right | = \sum_{1 \le i \le n} |M_i| - \sum_{1 \le i <j \le n} |M_i \cap M_j| + \sum_{1 \le i < j \le n} |M_i \cap M_j \cap M_k| -  \!
- \cdots + (-1)^{n-1} |M_1 \cap M_2 \cap \cdots \cap M_n|. \!

Demonstraţie. Facem inducţie matematică după n. Pentru n=1 \! egalitatea din enunţ se reduce la |M_1| = |M_1|, \! ceea ce este evident. Pentru n=2 \! trebuie demonstrată egalitatea:

(1)   |M_1 \cup M_2| = |M_1| + |M_2| - |M_1 \cap M_2| \!

care de asemenea este adevărată, deoarece elementele din M_1 \cap M_2 \! apar atât la M_1 \! cât şi la M_2. \!


Presupunem egalitatea din enunţ adevărată pentru oricare m submulţimi ale lui M cu m<n \! şi să o demonstrăm pentru n submulţimi M_1, M_2, \cdots , M_n. \!


Dacă notăm N = \bigcup_{i=1}^{n-1} M_i, \! atunci conform relaţiei (1) putem scrie:

(2)   \left | \bigcup_{i=1}^n M_i \right | = |N \cup M_n| = |N| + |M_n| - |N \cap M_n|. \!


Însă N \cap M_n = \left (  \bigcup_{i=1}^{n-1} M_i \right ) \cap M_n = \bigcup_{i=1}^{n-1} (M_i \cap M_n),  \! deci aplicând ipoteza de inducţie pentru \bigcup_{i=1}^{n-1} (M_i \cap M_n) \! şi ţinând seama de faptul că:

(M_i \cap M_n) \cap (M_j \cap M_n) = (M_i \cap M_j) \cap M_n, \!
(M_i \cap M_n) \cap (M_j \cap M_n) \cap (M_k \cap M_n) = (M_i \cap M_j \cap M_k) \cap M_n, \! etc,

obţinem

(3)    |N \cap M_n| = \left | \bigcup_{i=1}^{n-1} (M_i \cap M_n) \right | = \sum_{i=1}^{n-1} |M_i \cap M_n| - \sum_{1 \le i < j \le n-1} |M_i \cap M_j \cap M_n| + \!
+ \sum_{1 \le i<j <k \le n-1} |M_i \cap M_j \cap M_k \cap M_n|  - \cdots + (-1)^{n-2} \left | \bigcap_{i=1}^n  M_i \right |. \!

Aplicând ipoteza de inducţie şi pentru |N| \! obţinem:

(4)   |N| = \left | \bigcup_{i=1}^{n-1} M_i \right | = \sum_{i=1}^{n-1} |M_i| - \sum_{1 \le i<j \le n-1} |M_i \cap M_j| + \!
+ \sum_{1 \le i<j<k \le n-1} |M_i \cap M_j \cap M_k| - \cdots + (-1)^{n-2} \left |  \bigcap_{i=1}^{n-1} M_i \right | \!

astfel că ţinând cont de (3) şi (4) relaţia (2) devine:

\left | \bigcup_{i=1}^n M_i \right |  = |N| + |M_n| - |N \cap M_n| =  \!

= \left ( \sum_{=1}^{n-1} |M_i| + |M_n|  \right ) - \left (  \sum_{1 \le i<j \le n-1} |M_i \cap M_j| + \sum_{i=1}^{n-1} |M_i \cap M_n| \right ) + \!

+ \left ( \sum_{1 \le i<j<k \le n-1} |M_i \cap M_j \cap M_k| + \sum_{1 \le i<j \le n-1} |M_i \cap M_j \cap M_n|  \right ) -  \cdots + \!
+ \left [ (-1)^{n-2} \left | \bigcap_{i=1}^{n-1} M_i \right | \right ] - \!
- (-1)^{n-3}  \sum_{1 \le i_1 < i_2 < \cdots < i_{n-2} \le n-1} |M_{i_1} \cap M_{i_2} \cap \cdots \cap M_{i_{n-2}} \cap M_n | -  \!
-(-1)^{n-2} \left | \bigcap_{i=1}^n M_i  \right | = \sum_{i=1}^n |M_i| - \sum_{1 \le i<j \le n} |M_i \cap M_j| + \!
+ \sum_{1 \le i<j<k \le n} |M_i \cap M_j \cap M_k| - \cdots + (-1)^{n-1} \left | \bigcap_{i=1}^n M_i \right |. \!

Conform principiului inducţiei matematice, egalitatea din enunţ este adevărată pentru orice număr natural n nenul. QED.

Vezi şi Edit

Resurse Edit

Also on Fandom

Random Wiki