FANDOM


Proprietati ale multimilor 1 Proprietati ale multimilor 2


Conceptul de mulţime este unul de bază în matematică. Toate obiectele matematice se reduc în ultimă instanţă la acest concept.

Dacă x este element al mulţimii A spunem că x aparţine lui A şi notăm $ x \in A \ \! $ $ x \notin A $ înseamnă că x nu aparţine lui A.


Primul matematician care a iniţiat studiul sistematic al mulţimilor a fost Georg Cantor (teoria naivă a mulţimilor).


Definiţia 1. Dacă A şi B sunt două mulţimi, vom spune că A este inclusă în B (sau că A este submulţime a lui B) dacă elementele lui A sunt şi elemente ale lui B; în acest caz vom scrie $ A \subseteq B \! $ iar în caz contrar $ A \not \subseteq B. \! $


Avem deci

$ A \subseteq B \Leftrightarrow \! $ pentru orice $ x \in A \Rightarrow x \in B. \! $
$ A \not \subseteq B \Leftrightarrow \! $ există $ x \in A \! $ a.î. $ x \notin B. \! $

Vom spune despre mulţimile A şi B că sunt egale dacă oricare ar fi x, $ x \in A \Leftrightarrow x \in B. \! $ Deci, $ A=B \Leftrightarrow A \subseteq B \! $ şi $ B \subseteq A. \! $

Vom spune că A este inclusă strict în B şi vom scrie $ A \subset B \! $ dacă $ A \subseteq B \! $ şi $ A \neq B. \! $

Se acceptă existenţa unei mulţimi ce nu conţine niciun element care se notează prin $ \varnothing \! $ şi poartă numele de mulţimea vidă. Se observă că pentru orice mulţime A, $ \varnothing \subseteq A \! $ (deoarece în caz contrar ar trebui să existe $ x \in \varnothing \! $ a.î. $ x \notin A \! $ - absurd!)

O mulţime diferită de mulţimea vidă se zice nevidă. Pentru o mulţime T, vom nota prin $ \mathcal P(T) \! $ mulţimea submulţimilor sale (evident $ \varnothing, T \in \mathcal P(T) \! $).


Următorul rezultat este imediat:

Dacă T este o mulţime oarecare iar $ A, B, C \in \mathcal P(T), \! $ atunci:

(i) $ A \subseteq A \! $

(ii) Dacă $ A \subseteq B \! $ şi $ B \subseteq A, \! $ atunci $ A=B \! $

(iii) Dacă $ A \subseteq B \! $ şi $ B \subseteq C, \! $ atunci $ A \subseteq C. \! $


În continuare vom utiliza deseori noţiunea de familie de elemente a unei mulţimi indexată de o mulţime nevidă de indici I (prin aceasta înţelegând o funcţie definită pe mulţimea I cu valori în mulţimea respectivă).

Astfel, vom scrie de exemplu $ (x_i)_{i \in I} \! $ pentru a desemna o familie de elemente ale unei mulţimi sau $ (A_i)_{i \in I} \! $ pentru a desemna o familie de mulţimi indexată de mulţimea I. Pentru o mulţime T şi $ A, B \in \mathcal P(T) \! $ definim:

$ A \cap B = \{ x \in T \; | \; x \in A \! $ şi $ x \in B \} \! $
$ A \cup B = \{ x \in T \; | \; x \in A \! $ sau $ x \in B \} \! $
$ A \setminus B = \{ x \in T \; | \; x \in A \! $ şi $ x \notin B \} \! $
$ A \triangle B = (A \setminus B) \cup (B \setminus A) \! $

Dacă $ A \cap B = \varnothing, \! $ mulţimile A şi B se zic disjuncte.

Operaţiile $ \cap, \cup, \setminus \! $ şi $ \triangle \! $ poartă numele de intersecţie, reuniune, diferenţă şi diferenţă simetrică.

În particular, $ T \setminus A \! $ se notează prin $ \complement_T (A) \! $ (sau $ \complement (A) \! $ dacă nu este pericol de confuzie) şi poartă numele de complementara lui A în T.

În mod evident, pentru $ A, B \in \mathcal P(T) \! $ avem:

$ A \setminus B = A \cap \complement_T (B) \! $
$ A \triangle B = (A \cup B) \setminus (A \cap B) = (A \cap \complement_T (B)) \cup (\complement_T (A) \cap B) \! $
$ \complement _T (\varnothing)= T, \; \complement_T (T) = \varnothing \! $
$ \! $

$ A \cup \complement_T(A) = T, \; A \cap \complement_T (A) = \varnothing \! $ iar $ \complement_T (\complement_T (A)) = A. \! $

De asemenea, pentru $ x \in T \! $ avem:

$ x \notin A \cap B \Leftrightarrow x \notin A \! $ sau $ x \notin B \! $
$ x \notin A \cup B \Leftrightarrow x \notin A \! $ şi $ x \notin B \! $
$ x \notin A \setminus B \Leftrightarrow x \notin A \! $ sau $ x \in B \! $
$ x \notin A \triangle B \Leftrightarrow (x \notin A \; si \; x \notin B) \; sau \; (x \in A \; si \; x \in B) \! $
$ x \notin \complement_T (A) \Leftrightarrow x \in A. \! $


Din cele de mai înainte deducem imediat că dacă $ A, B \in \mathcal P(T), \! $ atunci:

$ \complement_T(A \cap B) = \complement_T(A) \cup \complement_T(B) \! $
$ \complement_T(A \cup B) = \complement_T(A) \cap \complement_T(B) \! $

Aceste două ultime egalităţi sunt cunoscute sub numele de relaţiile lui De Morgan.

Pentru o familie nevidă $ (A_i)_{i \in I} \! $ de submulţimi ale lui T definim:

$ \bigcap_{i \in I} A_i = \{ x \in T \; | \; x \in A \; pentru \; orice \; i \in I \} \! $

şi

$ \bigcup_{i \in I} A_i = \{ x \in T \; | \; exista \; i \in I \! $ a.î. $ x \in A_i \}. \! $

Astfel relaţiile lui De Morgan sunt adevărate într-un context mai general:

Dacă $ (A_i)_{i \in I} \! $ este o familie de submulţimi ale mulţimii T, atunci:

$ \complement_T(\bigcap_{i \in I} A_i) = \bigcup_{i \in I} (A_i) \! $
$ \complement_T(\bigcup_{i \in I} A_i) = \bigcap_{i \in I} (A_i). \! $


Următorul rezultat este imediat

Propoziţia 2. Dacă T este o mulţime, iar $ A, B, C \in \mathcal (T), \! $ atunci:

(i) $ A \cap (B \cap C) = (A \cap B) \cap C \! $ şi $ A \cup (B \cup C) = (A \cup B) \cup C \! $

(ii) $ A \cap B = B \cap A \! $ şi $ A \cup B = B \cup A \! $

(iii) $ A \cap T = A \! $ şi $ A \cup \varnothing = A \! $

(iv) $ A \cap A = A \! $ şi $ A \cup A=A. \! $


Observaţia 1. 1. Din (i) deducem că operaţiile $ \cup \! $ şi $ \cap \! $ sunt asociative, din (ii) deducem că ambele sunt comutative, din (iii) deducem că T şi $ \varnothing \! $ sunt elementele neutre pentru $ \cap \! $ şi respectiv pentru $ \cup \! $, iar din (iv) deducem că $ \cap \! $ şi $ \cup \! $ sunt operaţii idempotente pe $ \mathcal P(T). \! $

2. Prin dublă incluziune se probează imediat că pentru oricare $ A, B, C \in \mathcal P(T) \! $ avem:

$ A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C) \! $

şi

$ A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C) \! $,

adică operaţiile de intersecţie şi reuniune sunt distributive una faţă de cealaltă.


Propoziţia 3. Dacă $ A, B, C \in \mathcal P(T), \! $ atunci:

(i) $ A \triangle (B \triangle C) = (A \triangle B) \triangle C \! $

(ii) $ A \triangle B = B \triangle A \! $

(iii) $ A \triangle \varnothing =A \! $ iar $ A \triangle A =\varnothing \! $

(iv) $ A \cap (B \triangle C) = (A \cap B) \triangle (A \cap C). \! $

Demonstraţie. (i). Prin dublă incluziune se arată imediat că:

$ A \triangle (B \triangle C)= (A \triangle B) \triangle C= [A \cap \complement_T (B) \cap \complement_T (C)] \cup \! $
$ \cup [\complement_T (A) \cap B \cap \complement_T (C)] \cup [\complement_T (A) \cap \complement_T (B) \cap C] \cup (A \cap B \cap C). \! $

(ii), (iii) sunt evidente.

(iv). Se probează fie prin dublă incluziune, fie ţinând cont de distributivitatea intersecţiei faţă de reuniune. QED.


Definiţia 2. Fiind date două obiecte x şi y, se numeşte pereche ordonată a obiectelor x şi y mulţimea notată $ (x, y) \! $ şi definită astfel:

$ (x, y) = \{ \{ x \} , \{ x, y \} \}. \! $

Se verifică acum imediat că dacă x şi y sunt două obiecte a.î. $ x \neq y, \! $ atunci $ (x, y) \neq (y, x) \! $ iar dacă $ (x, y) \! $ şi $ (u, v) \! $ sunt două perechi ordonate, atunci $ (x, y) = (u, v) \; \Leftrightarrow \; x=u \! $ şi $ y=v; \! $ în particular, $ (x, y) = (y, x) \; \Rightarrow \; x=y. \! $


Definiţia 3. Dacă A şi B sunt două mulţimi, mulţimea notată $ A \times B = \{ (a, b) \; | \; a \in A \! $ şi $ b \in B \} \! $ se va numi produsul cartezian al mulţimilor A şi B.

În mod evident:

$ A \times B \neq \varnothing \; \Leftrightarrow \; A \neq \varnothing \! $ şi $ B \neq \varnothing \! $
$ A \times B = \varnothing \; \Leftrightarrow \; A = \varnothing \! $ sau $ B = \varnothing \! $
$ A \times B = B \times A \; \Leftrightarrow \; A=B \! $
$ A' \subseteq A \! $ şi $ B' \subseteq B \; \Rightarrow \; A' \times B' \subseteq A \times B. \! $


Dacă A, B, C sunt trei mulţimi, vom defini produsul lor cartezian prin egalitatea: $ A \times B \times C = (A \times B) \times C. \! $ Elementul $ ((a, b), c) \! $ din $ A \times B \times C \! $ îl vom nota mai simplu prin $ (a, b, c). \! $

Mai general, dacă $ A_1, A_2, \cdots , A_n \; (n \ge 3) \! $ sunt mulţimi, punem:

$ A_1 \times A_2 \times \cdots \times A_n = (( \cdots (( A_1 \times A_2 ) \times A_3 ) \times \cdots ) \times A_n ). \! $


Dacă A este o mulţime finită, vom nota prin $ |A| \! $ numărul de elemente ale lui A. În mod evident, dacă A şi B sunt submulţimi finite ale unei mulţimi M, atunci şi $ A \cup B \! $ este o submulţime finită a lui M iar

$ |A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|. \! $


Vom prezenta în continuare un rezultat mai general cunoscut sub numele de principiul includerii şi al excluderii:

Propoziţia 4. Fie M o mulţime finită iar $ M_1, M_2, \cdots , M_n \! $ submulţimi ale lui M. Atunci:

$ \left | \bigcup_{i=1}^n M_i \right | = \sum_{1 \le i \le n} |M_i| - \sum_{1 \le i <j \le n} |M_i \cap M_j| + \sum_{1 \le i < j \le n} |M_i \cap M_j \cap M_k| - \! $
$ - \cdots + (-1)^{n-1} |M_1 \cap M_2 \cap \cdots \cap M_n|. \! $

Demonstraţie. Facem inducţie matematică după n. Pentru $ n=1 \! $ egalitatea din enunţ se reduce la $ |M_1| = |M_1|, \! $ ceea ce este evident. Pentru $ n=2 \! $ trebuie demonstrată egalitatea:

(1)   $ |M_1 \cup M_2| = |M_1| + |M_2| - |M_1 \cap M_2| \! $

care de asemenea este adevărată, deoarece elementele din $ M_1 \cap M_2 \! $ apar atât la $ M_1 \! $ cât şi la $ M_2. \! $


Presupunem egalitatea din enunţ adevărată pentru oricare m submulţimi ale lui M cu $ m<n \! $ şi să o demonstrăm pentru n submulţimi $ M_1, M_2, \cdots , M_n. \! $


Dacă notăm $ N = \bigcup_{i=1}^{n-1} M_i, \! $ atunci conform relaţiei (1) putem scrie:

(2)   $ \left | \bigcup_{i=1}^n M_i \right | = |N \cup M_n| = |N| + |M_n| - |N \cap M_n|. \! $


Însă $ N \cap M_n = \left ( \bigcup_{i=1}^{n-1} M_i \right ) \cap M_n = \bigcup_{i=1}^{n-1} (M_i \cap M_n), \! $ deci aplicând ipoteza de inducţie pentru $ \bigcup_{i=1}^{n-1} (M_i \cap M_n) \! $ şi ţinând seama de faptul că:

$ (M_i \cap M_n) \cap (M_j \cap M_n) = (M_i \cap M_j) \cap M_n, \! $
$ (M_i \cap M_n) \cap (M_j \cap M_n) \cap (M_k \cap M_n) = (M_i \cap M_j \cap M_k) \cap M_n, \! $ etc,

obţinem

(3)   $ |N \cap M_n| = \left | \bigcup_{i=1}^{n-1} (M_i \cap M_n) \right | = \sum_{i=1}^{n-1} |M_i \cap M_n| - \sum_{1 \le i < j \le n-1} |M_i \cap M_j \cap M_n| + \! $
$ + \sum_{1 \le i<j <k \le n-1} |M_i \cap M_j \cap M_k \cap M_n| - \cdots + (-1)^{n-2} \left | \bigcap_{i=1}^n M_i \right |. \! $

Aplicând ipoteza de inducţie şi pentru $ |N| \! $ obţinem:

(4)   $ |N| = \left | \bigcup_{i=1}^{n-1} M_i \right | = \sum_{i=1}^{n-1} |M_i| - \sum_{1 \le i<j \le n-1} |M_i \cap M_j| + \! $
$ + \sum_{1 \le i<j<k \le n-1} |M_i \cap M_j \cap M_k| - \cdots + (-1)^{n-2} \left | \bigcap_{i=1}^{n-1} M_i \right | \! $

astfel că ţinând cont de (3) şi (4) relaţia (2) devine:

$ \left | \bigcup_{i=1}^n M_i \right | = |N| + |M_n| - |N \cap M_n| = \! $

$ = \left ( \sum_{=1}^{n-1} |M_i| + |M_n| \right ) - \left ( \sum_{1 \le i<j \le n-1} |M_i \cap M_j| + \sum_{i=1}^{n-1} |M_i \cap M_n| \right ) + \! $

$ + \left ( \sum_{1 \le i<j<k \le n-1} |M_i \cap M_j \cap M_k| + \sum_{1 \le i<j \le n-1} |M_i \cap M_j \cap M_n| \right ) - \cdots + \! $
$ + \left [ (-1)^{n-2} \left | \bigcap_{i=1}^{n-1} M_i \right | \right ] - \! $
$ - (-1)^{n-3} \sum_{1 \le i_1 < i_2 < \cdots < i_{n-2} \le n-1} |M_{i_1} \cap M_{i_2} \cap \cdots \cap M_{i_{n-2}} \cap M_n | - \! $
$ -(-1)^{n-2} \left | \bigcap_{i=1}^n M_i \right | = \sum_{i=1}^n |M_i| - \sum_{1 \le i<j \le n} |M_i \cap M_j| + \! $
$ + \sum_{1 \le i<j<k \le n} |M_i \cap M_j \cap M_k| - \cdots + (-1)^{n-1} \left | \bigcap_{i=1}^n M_i \right |. \! $

Conform principiului inducţiei matematice, egalitatea din enunţ este adevărată pentru orice număr natural n nenul. QED.

Vezi şi Edit

Resurse Edit